Rezolvare BAC 2015 Matematică M2 (științe ale naturii) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2015 la Matematică M_șt-nat (filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice cu $a_1 = 3$, $r = 2$

$a_1 + a_2 + a_3 = 3 + 5 + 7 = 15.$

Răspuns: $15$. Barem: 3p, 2p.

2. Vârful parabolei asociate funcției $f(x) = x^2 + 2x - 2$

$x_V = -\frac{b}{2a} = -1, \qquad \Delta = 4 + 8 = 12, \qquad y_V = -\frac{\Delta}{4a} = -3.$

Răspuns: $V(-1, -3)$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 - 4x + 5} = 1$

$x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 > 0$ mereu. Ridicând la pătrat: $x^2 - 4x + 5 = 1 \iff (x - 2)^2 = 0 \iff x = 2$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p, 2p.

4. Numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

$C_5^3 = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!} = 10.$

Răspuns: $10$. Barem: 3p, 2p.

5. $A(2, 3)$, $B(-2, 1)$, $C(-2, 5)$; lungimea vectorului $\overrightarrow{AM}$, $M$ mijlocul lui $BC$

$M\left(\frac{-2 - 2}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = M(-2, 3)$, deci

$AM = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 2p, 3p.

6. $\operatorname{ctg} a$, știind că $\sin a = \frac13$ și $a \in \left(0, \frac\pi2\right)$

$\cos a = \sqrt{1 - \frac19} = \sqrt{\frac89} = \frac{2\sqrt2}{3}$ (pozitiv în cadranul I).

$\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{2\sqrt2/3}{1/3} = 2\sqrt2.$

Răspuns: $2\sqrt2$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x) = \begin{pmatrix} 2 & x\\ 1 & 3\end{pmatrix}$

a) $\det(A(3))$

$\det A(3) = 2\cdot 3 - 3\cdot 1 = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

b) $A(-2015) + A(2015) = 2A(0)$

$\begin{pmatrix} 2 & -2015\\ 1 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2015\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 2 & 6\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 2A(0).$

Barem: 2p, 3p.

c) $x$ cu $\det(A(x)) = x^2$

$\det A(x) = 6 - x = x^2 \iff x^2 + x - 6 = 0 \iff (x + 3)(x - 2) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-3, 2\}$. Barem: 2p, 3p.

2. În $\mathbb Z_5[X]$: $f = X^3 + aX$, $a \in \mathbb Z_5$

a) $f(\hat 0)$

$f(\hat 0) = \hat 0 + a\cdot\hat 0 = \hat 0$.

Răspuns: $\hat 0$. Barem: 2p, 3p.

b) $a$ știind că $f(\hat 3) = \hat 3$

$\hat 3^3 = \widehat{27} = \hat 2$, deci $f(\hat 3) = \hat 2 + \hat 3a = \hat 3 \iff \hat 3a = \hat 1$. Cum $\hat 3\cdot\hat 2 = \hat 6 = \hat 1$, rezultă $a = \hat 2$.

Răspuns: $a = \hat 2$. Barem: 2p, 3p.

c) Dacă $f(\hat 1) = f(\hat 2)$, atunci $f(\hat 3) = f(\hat 4)$

$f(\hat 1) = \hat 1 + a$, $f(\hat 2) = \hat 8 + \hat 2a = \hat 3 + \hat 2a$. Egalitatea dă $\hat 1 + a = \hat 3 + \hat 2a$, adică $a = -\hat 2 = \hat 3$.

Pentru $a = \hat 3$:

$f(\hat 3) = \hat 2 + \hat 9 = \widehat{11} = \hat 1, \qquad f(\hat 4) = \widehat{64} + \widehat{12} = \hat 4 + \hat 2 = \hat 1.$

Deci $f(\hat 3) = f(\hat 4)$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x + \ln x}{x}$

a) $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$

$f'(x) = \frac{\left(1 + \frac1x\right)x - (x + \ln x)}{x^2} = \frac{x + 1 - x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}.$

Barem: 2p, 3p.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x_0 = 1$

$f(1) = 1$, $f'(1) = 1$:

$y - 1 = 1\cdot(x - 1) \iff y = x.$

Răspuns: $y = x$. Barem: 2p, 3p.

c) Intervalele de monotonie

$f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e$.

• pe $(0, e]$: $\ln x \le 1$, $f' \ge 0$, $f$ crescătoare;
• pe $[e, +\infty)$: $f' \le 0$, $f$ descrescătoare.

Barem: 1p, 2p, 2p.

2. $f:(-1, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = x + \dfrac{1}{x + 1}$

a) $\displaystyle\int_0^1\left(f(x) - \frac{1}{x+1}\right)dx$

$\int_0^1 x\,dx = \frac12.$

Răspuns: $\dfrac12$. Barem: 3p, 2p.

b) $\displaystyle\int_0^1 xf(x)\,dx = \frac43 - \ln 2$

$xf(x) = x^2 + \dfrac{x}{x + 1} = x^2 + 1 - \dfrac{1}{x + 1}$:

$\int_0^1\left(x^2 + 1 - \frac{1}{x+1}\right)dx = \left(\frac{x^3}{3} + x - \ln(x + 1)\right)\Big|_0^1 = \frac13 + 1 - \ln 2 = \frac43 - \ln 2.$

Barem: 2p, 3p.

c) $n \in \mathbb N^*$ pentru care aria delimitată de $G_f$, $Ox$, $x = 0$, $x = 1$ este $\frac12 + \ln(n^2 + n)$

$f > 0$ pe $[0, 1]$:

$\mathcal A = \int_0^1\left(x + \frac{1}{x+1}\right)dx = \left(\frac{x^2}{2} + \ln(x + 1)\right)\Big|_0^1 = \frac12 + \ln 2.$

$\frac12 + \ln 2 = \frac12 + \ln(n^2 + n) \iff n^2 + n - 2 = 0 \iff (n + 2)(n - 1) = 0.$

$n = -2$ nu este natural, deci $n = 1$.

Răspuns: $n = 1$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$15$
I.2	$V(-1, -3)$
I.3	$x = 2$
I.4	$10$
I.5	$4$
I.6	$2\sqrt2$
II.1.a	$3$
II.1.c	$x \in \{-3, 2\}$
II.2.b	$a = \hat 2$
III.1.b	$y = x$
III.1.c	crescătoare pe $(0, e]$, descrescătoare pe $[e, +\infty)$
III.2.a	$\tfrac12$
III.2.c	$n = 1$

Ce merită reținut din model

• Calcul în $\mathbb Z_5$: reduci la fiecare pas modulo 5; inversul lui $\hat 3$ este $\hat 2$.
• Funcția $\frac{\ln x}{x}$ (și variantele ei) are maximul în $x = e$.
• $\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$ — rescriere utilă la integrare.
• Ecuații cu parametru natural: verifică la final apartenența la $\mathbb N^*$.