Rezolvare BAC 2016 Matematică M2 (științe ale naturii) — Simulare națională

Rezolvarea completă a simulării pentru clasa a XII-a, Bacalaureat 2016, la Matematică M_șt-nat. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rația progresiei aritmetice cu $2a_{10} = a_5 + a_6 + 36$

$2(a_1 + 9r) = (a_1 + 4r) + (a_1 + 5r) + 36 \iff 18r = 9r + 36 \iff r = 4.$

Răspuns: $r = 4$. Barem: 3p, 2p.

2. Abscisele punctelor de intersecție ale graficului lui $f(x) = x^2 + 3x - 1$ cu dreapta $y = x - 1$

$x^2 + 3x - 1 = x - 1 \iff x^2 + 2x = 0 \iff x(x + 2) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-2, 0\}$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\log_2\dfrac{x - 1}{x + 1} + \log_2(x^2 - 1) = 4$

Condiții: $\frac{x-1}{x+1} > 0$ și $x^2 - 1 > 0$, adică $|x| > 1$.

$\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\cdot(x-1)(x+1)\right) = 4 \iff (x - 1)^2 = 16 \iff x - 1 = \pm 4.$

$x = 5$ și $x = -3$ verifică $|x| > 1$.

Răspuns: $x \in \{-3, 5\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Probabilitatea ca produsul cifrelor unui număr de două cifre să fie divizibil cu 10

Cazuri posibile: 90. Produsul cifrelor este divizibil cu 10 dacă:

• cifra unităților este $0$ (produs $0$): $10, 20, \dots, 90$ — 9 numere;
• cifra zecilor $5$ și unităților pară nenulă: $52, 54, 56, 58$ — 4;
• cifra unităților $5$ și zecilor pară: $25, 45, 65, 85$ — 4.

Total 17 cazuri favorabile: $p = \dfrac{17}{90}$.

Barem: 1p, 2p, 2p.

5. Centrul cercului circumscris triunghiului cu $A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(5,1)$

$AB \parallel Oy$ ($x = 1$) și $AC \parallel Ox$ ($y = 1$), deci triunghiul este dreptunghic în $A$. Centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei $BC$:

$O\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{4 + 1}{2}\right) = O\left(3, \frac52\right).$

Răspuns: $\left(3, \dfrac52\right)$. Barem: 2p, 3p.

6. $\dfrac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x} = \operatorname{ctg}^2 x$ pentru $x \in \left(0, \frac\pi2\right)$

$1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ și $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x \ne 0$, deci

$\frac{2\cos^2 x}{2\sin^2 x} = \operatorname{ctg}^2 x.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ x & 2x - 1 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det(M(0))$

$\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} = 3 + 0 - 2 - 0 + 1 - 2 = 0.$

Răspuns: $0$. Barem: 3p, 2p.

b) $2M(x) - M(-x) = M(3x)$

Primele două linii: $2(1,1,1) - (1,1,1) = (1,1,1)$, $2(2,3,1) - (2,3,1) = (2,3,1)$. Linia a treia:

$2(x, 2x - 1, 1) - (-x, -2x - 1, 1) = (3x, 6x - 1, 1) = (3x, 2\cdot 3x - 1, 1).$

Deci $2M(x) - M(-x) = M(3x)$. Barem: 3p, 2p.

c) Aria triunghiului $OAB$, $A(n, 2n - 1)$, $B(n^2, 2n^2 - 1)$, este număr natural

$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ n & 2n - 1 & 1\\ n^2 & 2n^2 - 1 & 1\end{vmatrix} = n(2n^2 - 1) - n^2(2n - 1) = n^2 - n = n(n - 1).$

$\mathcal A_{OAB} = \frac12|\Delta| = \frac{n(n-1)}{2}$. Produsul a două numere consecutive este par, deci aria este număr natural. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $x \circ y = 6xy - 2x - 2y + 1$ (asociativă)

Observăm că $x \circ y = 6\left(x - \frac13\right)\left(y - \frac13\right) + \frac13$.

a) $1\circ\frac13$

$1\circ\frac13 = 2 - 2 - \frac23 + 1 = \frac13.$

Răspuns: $\dfrac13$. Barem: 2p, 3p.

b) Elementul neutru

$x \circ e = x \iff 6xe - 2x - 2e + 1 = x \iff (3x - 1)(2e - 1) = 0$ pentru orice $x$, deci $e = \frac12$ (iar legea e comutativă).

Răspuns: $e = \dfrac12$. Barem: 2p, 3p.

c) $\dfrac{1}{1008}\circ\dfrac{2}{1008}\circ\dots\circ\dfrac{2016}{1008}$

$x \circ \frac13 = \frac13 \circ y = \frac13$ (element absorbant). Printre factori se află $\frac{336}{1008} = \frac13$, deci prin asociativitate rezultatul este $\frac13$.

Răspuns: $\dfrac13$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{x}{x^4 + 3}$

a) $f'(x) = -\dfrac{3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{(x^4 + 3)^2}$

$f'(x) = \frac{x^4 + 3 - 4x^4}{(x^4+3)^2} = \frac{3(1 - x^4)}{(x^4+3)^2} = -\frac{3(x-1)(x+1)(x^2+1)}{(x^4+3)^2}.$

Barem: 3p, 2p.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 0$

$f(0) = 0$, $f'(0) = \frac39 = \frac13$: $y = \dfrac13x$.

Răspuns: $y = \dfrac13x$. Barem: 2p, 3p.

c) $-\frac14 \le f(x) \le \frac14$

$f' = 0$ în $\pm 1$; $f$ descrescătoare pe $(-\infty, -1]$, crescătoare pe $[-1, 1]$, descrescătoare pe $[1, +\infty)$. Cu $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) = 0$, $f(-1) = -\frac14$, $f(1) = \frac14$:

• pe $(-\infty, -1]$, $f$ coboară de la $0$ la $-\frac14$;
• pe $[-1, 1]$, urcă de la $-\frac14$ la $\frac14$;
• pe $[1, +\infty)$, coboară de la $\frac14$ spre $0$.

Deci $-\frac14 \le f(x) \le \frac14$. $\blacksquare$ Barem: 1p, 1p, 3p.

2. $f(x) = xe^x - 2$

a) Primitiva $F$ cu $F(1) = 0$

$\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x$, deci $F(x) = (x - 1)e^x - 2x + c$; $F(1) = -2 + c = 0 \Rightarrow c = 2$.

Răspuns: $F(x) = (x - 1)e^x - 2x + 2$. Barem: 3p, 2p.

b) $\displaystyle\int_0^1 xf(x)\,dx$

$\int_0^1(x^2e^x - 2x)\,dx = \int_0^1 x^2e^x\,dx - 1.$

Prin părți: $\int_0^1 x^2e^x\,dx = x^2e^x\Big|_0^1 - 2\int_0^1 xe^x\,dx = e - 2\cdot 1 = e - 2$ (căci $\int_0^1 xe^x\,dx = (x-1)e^x\big|_0^1 = 1$).

Răspuns: $e - 3$. Barem: 3p, 2p.

c) $x$ cu $\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt = 0$

$\int_1^x f(t)\,dt = F(x) - F(1) = (x - 1)e^x - 2x + 2 = (x - 1)(e^x - 2).$

$(x - 1)(e^x - 2) = 0 \iff x = 1$ sau $x = \ln 2$.

Răspuns: $x \in \{\ln 2, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$r = 4$
I.2	$x \in \{-2, 0\}$
I.3	$x \in \{-3, 5\}$
I.4	$p = \tfrac{17}{90}$
I.5	$(3, \tfrac52)$
II.1.a	$0$
II.2.a	$\tfrac13$
II.2.b	$e = \tfrac12$
II.2.c	$\tfrac13$
III.1.b	$y = \tfrac13x$
III.2.a	$F(x) = (x-1)e^x - 2x + 2$
III.2.b	$e - 3$
III.2.c	$x \in \{\ln 2, 1\}$

Ce merită reținut din simulare

• Cercul circumscris unui triunghi dreptunghic are centrul în mijlocul ipotenuzei.
• Aria cu determinant: $\mathcal A = \frac12|\Delta|$.
• Formulele unghiului dublu: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.
• Element absorbant al legii $k(x-a)(y-a) + a$: $a$ — caută-l printre factori.