Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2016 la Matematică M_șt-nat (filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Primul termen al progresiei geometrice cu b 5 = 48 b_5 = 48 b 5 = 48 b 8 = 384 b_8 = 384 b 8 = 384
b 1 q 4 = 48 b_1q^4 = 48 b 1 q 4 = 48 b 1 q 7 = 384 b_1q^7 = 384 b 1 q 7 = 384 q 3 = 8 ⇒ q = 2 q^3 = 8 \Rightarrow q = 2 q 3 = 8 ⇒ q = 2 b 1 = 48 16 = 3 b_1 = \dfrac{48}{16} = 3 b 1 = 16 48 = 3
Răspuns: b 1 = 3 b_1 = 3 b 1 = 3 Barem: 3p, 2p.
2. Distanța dintre punctele de intersecție ale graficului lui f ( x ) = x 2 − 7 x + 6 f(x) = x^2 - 7x + 6 f ( x ) = x 2 − 7 x + 6 O x Ox O x
x 2 − 7 x + 6 = 0 ⟺ x ∈ { 1 , 6 } x^2 - 7x + 6 = 0 \iff x \in \{1, 6\} x 2 − 7 x + 6 = 0 ⟺ x ∈ { 1 , 6 } ( 1 , 0 ) (1, 0) ( 1 , 0 ) ( 6 , 0 ) (6, 0) ( 6 , 0 ) 6 − 1 = 5 6 - 1 = 5 6 − 1 = 5
Răspuns: 5 5 5 Barem: 3p, 2p.
3. Ecuația 32 x = 16 ⋅ 2 x 32^x = 16\cdot 2^x 3 2 x = 16 ⋅ 2 x
2 5 x = 2 4 + x ⟺ 5 x = 4 + x ⟺ x = 1. 2^{5x} = 2^{4 + x} \iff 5x = 4 + x \iff x = 1. 2 5 x = 2 4 + x ⟺ 5 x = 4 + x ⟺ x = 1.
Răspuns: x = 1 x = 1 x = 1 Barem: 3p, 2p.
4. Probabilitatea ca n ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } n \in \{1, 2, 3, 4, 5\} n ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } n 2 − 5 n + 6 = 0 n^2 - 5n + 6 = 0 n 2 − 5 n + 6 = 0
n 2 − 5 n + 6 = ( n − 2 ) ( n − 3 ) = 0 ⟺ n ∈ { 2 , 3 } n^2 - 5n + 6 = (n - 2)(n - 3) = 0 \iff n \in \{2, 3\} n 2 − 5 n + 6 = ( n − 2 ) ( n − 3 ) = 0 ⟺ n ∈ { 2 , 3 }
p = 2 5 . p = \frac25. p = 5 2 .
Barem: 1p, 2p, 2p.
5. a a a u ⃗ = ( a + 1 ) i ⃗ + ( a − 1 ) j ⃗ \vec u = (a + 1)\vec i + (a - 1)\vec j u = ( a + 1 ) i + ( a − 1 ) j v ⃗ = 6 i ⃗ + 2 j ⃗ \vec v = 6\vec i + 2\vec j v = 6 i + 2 j
a + 1 6 = a − 1 2 ⟺ 2 a + 2 = 6 a − 6 ⟺ a = 2. \frac{a + 1}{6} = \frac{a - 1}{2} \iff 2a + 2 = 6a - 6 \iff a = 2. 6 a + 1 = 2 a − 1 ⟺ 2 a + 2 = 6 a − 6 ⟺ a = 2.
Răspuns: a = 2 a = 2 a = 2 Barem: 3p, 2p.
6. ( 2 sin x + cos x ) 2 + ( sin x + 2 cos x ) 2 − 4 sin 2 x = 5 (2\sin x + \cos x)^2 + (\sin x + 2\cos x)^2 - 4\sin 2x = 5 ( 2 sin x + cos x ) 2 + ( sin x + 2 cos x ) 2 − 4 sin 2 x = 5
( 2 sin x + cos x ) 2 = 4 sin 2 x + 4 sin x cos x + cos 2 x , (2\sin x + \cos x)^2 = 4\sin^2 x + 4\sin x\cos x + \cos^2 x, ( 2 sin x + cos x ) 2 = 4 sin 2 x + 4 sin x cos x + cos 2 x , ( sin x + 2 cos x ) 2 = sin 2 x + 4 sin x cos x + 4 cos 2 x . (\sin x + 2\cos x)^2 = \sin^2 x + 4\sin x\cos x + 4\cos^2 x. ( sin x + 2 cos x ) 2 = sin 2 x + 4 sin x cos x + 4 cos 2 x .
Suma: 5 ( sin 2 x + cos 2 x ) + 8 sin x cos x = 5 + 4 sin 2 x 5(\sin^2 x + \cos^2 x) + 8\sin x\cos x = 5 + 4\sin 2x 5 ( sin 2 x + cos 2 x ) + 8 sin x cos x = 5 + 4 sin 2 x 4 sin 2 x 4\sin 2x 4 sin 2 x 5 5 5 Barem: 2p, 3p.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. A = ( 1 2 4 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 4 & 1\end{pmatrix} A = ( 1 4 2 1 ) B = ( 0 x y 0 ) B = \begin{pmatrix} 0 & x\\ y & 0\end{pmatrix} B = ( 0 y x 0 )
a) det ( 2 A ) = − 28 \det(2A) = -28 det ( 2 A ) = − 28
2 A = ( 2 4 8 2 ) , det ( 2 A ) = 4 − 32 = − 28. 2A = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 8 & 2\end{pmatrix}, \quad \det(2A) = 4 - 32 = -28. 2 A = ( 2 8 4 2 ) , det ( 2 A ) = 4 − 32 = − 28.
Barem: 3p, 2p.
b) x , y x, y x , y A + 2 B = I 2 A + 2B = I_2 A + 2 B = I 2
A + 2 B = ( 1 2 + 2 x 4 + 2 y 1 ) = ( 1 0 0 1 ) ⟺ x = − 1 , y = − 2. A + 2B = \begin{pmatrix} 1 & 2 + 2x\\ 4 + 2y & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \iff x = -1,\ y = -2. A + 2 B = ( 1 4 + 2 y 2 + 2 x 1 ) = ( 1 0 0 1 ) ⟺ x = − 1 , y = − 2.
Răspuns: x = − 1 x = -1 x = − 1 y = − 2 y = -2 y = − 2 Barem: 2p, 3p.
c) Dacă A B = B A AB = BA A B = B A det B ≤ 0 \det B \le 0 det B ≤ 0
A B = ( 2 y x y 4 x ) , B A = ( 4 x x y 2 y ) . AB = \begin{pmatrix} 2y & x\\ y & 4x\end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} 4x & x\\ y & 2y\end{pmatrix}. A B = ( 2 y y x 4 x ) , B A = ( 4 x y x 2 y ) .
A B = B A ⟺ 2 y = 4 x ⟺ y = 2 x AB = BA \iff 2y = 4x \iff y = 2x A B = B A ⟺ 2 y = 4 x ⟺ y = 2 x
det B = − x y = − 2 x 2 ≤ 0. ■ \det B = -xy = -2x^2 \le 0. \ \blacksquare det B = − x y = − 2 x 2 ≤ 0. ■
Barem: 2p, 3p.
2. x ∘ y = 3 x y + 3 x + 3 y + 2 x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2 x ∘ y = 3 x y + 3 x + 3 y + 2
a) ( − 1 ) ∘ 1 = − 1 (-1)\circ 1 = -1 ( − 1 ) ∘ 1 = − 1
( − 1 ) ∘ 1 = − 3 − 3 + 3 + 2 = − 1. (-1)\circ 1 = -3 - 3 + 3 + 2 = -1. ( − 1 ) ∘ 1 = − 3 − 3 + 3 + 2 = − 1.
Barem: 3p, 2p.
b) Ecuația x ∘ x = x x \circ x = x x ∘ x = x
3 x 2 + 6 x + 2 = x ⟺ 3 x 2 + 5 x + 2 = 0 ⟺ ( 3 x + 2 ) ( x + 1 ) = 0. 3x^2 + 6x + 2 = x \iff 3x^2 + 5x + 2 = 0 \iff (3x + 2)(x + 1) = 0. 3 x 2 + 6 x + 2 = x ⟺ 3 x 2 + 5 x + 2 = 0 ⟺ ( 3 x + 2 ) ( x + 1 ) = 0.
Răspuns: x ∈ { − 1 , − 2 3 } x \in \left\{-1, -\dfrac23\right\} x ∈ { − 1 , − 3 2 } Barem: 3p, 2p.
c) Perechile de numere întregi ( a , b ) (a, b) ( a , b ) a ∘ b = 8 a \circ b = 8 a ∘ b = 8
a ∘ b = 3 ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1 a \circ b = 3(a + 1)(b + 1) - 1 a ∘ b = 3 ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1
3 ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1 = 8 ⟺ ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 3. 3(a + 1)(b + 1) - 1 = 8 \iff (a + 1)(b + 1) = 3. 3 ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1 = 8 ⟺ ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 3.
Descompunerile lui 3 în Z \mathbb Z Z 1 ⋅ 3 1\cdot 3 1 ⋅ 3 3 ⋅ 1 3\cdot 1 3 ⋅ 1 ( − 1 ) ( − 3 ) (-1)(-3) ( − 1 ) ( − 3 ) ( − 3 ) ( − 1 ) (-3)(-1) ( − 3 ) ( − 1 )
Răspuns: ( a , b ) ∈ { ( 0 , 2 ) , ( 2 , 0 ) , ( − 2 , − 4 ) , ( − 4 , − 2 ) } (a, b) \in \{(0, 2), (2, 0), (-2, -4), (-4, -2)\} ( a , b ) ∈ {( 0 , 2 ) , ( 2 , 0 ) , ( − 2 , − 4 ) , ( − 4 , − 2 )} Barem: 3p, 2p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. f ( x ) = ( x − 2 ) e x f(x) = (x - 2)e^x f ( x ) = ( x − 2 ) e x
a) f ′ ( x ) = ( x − 1 ) e x f'(x) = (x - 1)e^x f ′ ( x ) = ( x − 1 ) e x
f ′ ( x ) = e x + ( x − 2 ) e x = ( x − 1 ) e x . f'(x) = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x. f ′ ( x ) = e x + ( x − 2 ) e x = ( x − 1 ) e x .
Barem: 2p, 3p.
b) Asimptota orizontală spre − ∞ -\infty − ∞
lim x → − ∞ ( x − 2 ) e x = lim x → − ∞ x − 2 e − x = l’H lim x → − ∞ 1 − e − x = 0. \lim_{x\to-\infty}(x - 2)e^x = \lim_{x\to-\infty}\frac{x - 2}{e^{-x}} \overset{\text{l'H}}{=} \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}} = 0. lim x → − ∞ ( x − 2 ) e x = lim x → − ∞ e − x x − 2 = l’H lim x → − ∞ − e − x 1 = 0.
Răspuns: y = 0 y = 0 y = 0 Barem: 3p, 2p.
c) f ′ ( x ) ≥ − 1 f'(x) \ge -1 f ′ ( x ) ≥ − 1 x x x
f ′ ′ ( x ) = e x + ( x − 1 ) e x = x e x f''(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x f ′′ ( x ) = e x + ( x − 1 ) e x = x e x x = 0 x = 0 x = 0 f ′ ′ ≤ 0 f'' \le 0 f ′′ ≤ 0 ( − ∞ , 0 ] (-\infty, 0] ( − ∞ , 0 ] f ′ ′ ≥ 0 f'' \ge 0 f ′′ ≥ 0 [ 0 , + ∞ ) [0, +\infty) [ 0 , + ∞ ) f ′ f' f ′ 0 0 0
f ′ ( x ) ≥ f ′ ( 0 ) = − 1. ■ f'(x) \ge f'(0) = -1. \ \blacksquare f ′ ( x ) ≥ f ′ ( 0 ) = − 1. ■
Barem: 2p, 1p, 2p.
2. f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0, +\infty) \to \mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x 2 + 1 x f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x} f ( x ) = x 2 x 2 + 1
a) ∫ 1 2 ( f ( x ) − 1 x ) d x = 3 \displaystyle\int_1^2\left(f(x) - \frac1x\right)dx = 3 ∫ 1 2 ( f ( x ) − x 1 ) d x = 3
f ( x ) − 1 x = 2 x f(x) - \frac1x = 2x f ( x ) − x 1 = 2 x
∫ 1 2 2 x d x = x 2 ∣ 1 2 = 3. \int_1^2 2x\,dx = x^2\Big|_1^2 = 3. ∫ 1 2 2 x d x = x 2 1 2 = 3.
Barem: 3p, 2p.
b) F ( x ) = x 2 + ln x + 2016 F(x) = x^2 + \ln x + 2016 F ( x ) = x 2 + ln x + 2016 f f f
F ′ ( x ) = 2 x + 1 x = 2 x 2 + 1 x = f ( x ) . F'(x) = 2x + \frac1x = \frac{2x^2 + 1}{x} = f(x). F ′ ( x ) = 2 x + x 1 = x 2 x 2 + 1 = f ( x ) .
Barem: 2p, 3p.
c) Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g = f ∣ [ 1 , 2 ] g = f|_{[1,2]} g = f ∣ [ 1 , 2 ] 14 π 14\pi 14 π
g 2 ( x ) = ( 2 x + 1 x ) 2 = 4 x 2 + 4 + 1 x 2 . g^2(x) = \left(2x + \frac1x\right)^2 = 4x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}. g 2 ( x ) = ( 2 x + x 1 ) 2 = 4 x 2 + 4 + x 2 1 .
V = π ∫ 1 2 ( 4 x 2 + 4 + 1 x 2 ) d x = π ( 4 x 3 3 + 4 x − 1 x ) ∣ 1 2 = π ( 28 3 + 4 + 1 2 ) = 83 π 6 . V = \pi\int_1^2\left(4x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}\right)dx = \pi\left(\frac{4x^3}{3} + 4x - \frac1x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac{28}{3} + 4 + \frac12\right) = \frac{83\pi}{6}. V = π ∫ 1 2 ( 4 x 2 + 4 + x 2 1 ) d x = π ( 3 4 x 3 + 4 x − x 1 ) 1 2 = π ( 3 28 + 4 + 2 1 ) = 6 83 π .
Cum 83 6 < 84 6 = 14 \frac{83}{6} < \frac{84}{6} = 14 6 83 < 6 84 = 14 V < 14 π V < 14\pi V < 14 π ■ \blacksquare ■ Barem: 2p, 3p.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.1 b 1 = 3 b_1 = 3 b 1 = 3 I.2 5 5 5 I.3 x = 1 x = 1 x = 1 I.4 p = 2 5 p = \tfrac25 p = 5 2 I.5 a = 2 a = 2 a = 2 II.1.b x = − 1 x = -1 x = − 1 y = − 2 y = -2 y = − 2 II.2.b x ∈ { − 1 , − 2 3 } x \in \{-1, -\tfrac23\} x ∈ { − 1 , − 3 2 } II.2.c ( 0 , 2 ) , ( 2 , 0 ) , ( − 2 , − 4 ) , ( − 4 , − 2 ) (0,2), (2,0), (-2,-4), (-4,-2) ( 0 , 2 ) , ( 2 , 0 ) , ( − 2 , − 4 ) , ( − 4 , − 2 ) III.1.b y = 0 y = 0 y = 0 III.2.c V = 83 π 6 V = \tfrac{83\pi}{6} V = 6 83 π
Ce merită reținut din model
Progresii geometrice : împarte doi termeni pentru a elimina b 1 b_1 b 1 b 8 b 5 = q 3 \frac{b_8}{b_5} = q^3 b 5 b 8 = q 3 Ecuații exponențiale : aduce totul la aceeași bază (32 = 2 5 32 = 2^5 32 = 2 5 16 = 2 4 16 = 2^4 16 = 2 4 Ecuații în Z \mathbb Z Z ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 3 (a+1)(b+1) = 3 ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 3 : enumeră toți divizorii, inclusiv negativi.Minimul derivatei se găsește cu derivata a doua.