Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 (științe ale naturii) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2022 la Matematică M_șt-nat. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $N = \log_2 24 - \log_2 12 + 3$ este pătratul unui număr natural

$N = \log_2\frac{24}{12} + 3 = \log_2 2 + 3 = 1 + 3 = 4 = 2^2.$

Barem: 3p + 2p.

2. $a$ real cu $A(a, a^2) \in G_f$, $f(x) = 2x - 1$

$f(a) = a^2 \iff 2a - 1 = a^2 \iff (a - 1)^2 = 0 \iff a = 1.$

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 - 2x - 2} = x - 2$

Condiție: $x - 2 \ge 0$. Ridicăm la pătrat:

$x^2 - 2x - 2 = x^2 - 4x + 4 \iff 2x = 6 \iff x = 3.$

Verificare: $\sqrt{9 - 6 - 2} = 1 = 3 - 2$ ✔.

Răspuns: $x = 3$. Barem: 3p + 2p.

4. Probabilitatea ca un element din $A = \{1!, 2!, \dots, 10!\}$ să fie divizibil cu 9

10 cazuri posibile. $n!$ e divizibil cu $9$ dacă conține factorul $3$ de două ori, adică $n \ge 6$ ($6! = 720 = 9\cdot80$; $5! = 120$ nu e divizibil cu 9). Favorabile: $6!, 7!, 8!, 9!, 10!$ — 5 cazuri.

$p = \frac{5}{10} = \frac12.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

5. $D$ mijlocul lui $BC$, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{FD}$; arătați că $2\left(\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC}\right) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC},$

deoarece $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} = -\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FD} = \vec 0$. Cum $D$ e mijlocul lui $BC$, $2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC}$:

$2\left(\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC}\right) = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.\ \blacksquare$

Barem: 2p + 3p.

6. $(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2 = 2\cos\left(\frac\pi2 - 2x\right)$

Diferența de pătrate (sau dezvoltare directă) dă $4\sin x\cos x = 2\sin 2x$, iar $\sin 2x = \cos\left(\frac\pi2 - 2x\right)$. $\blacksquare$

Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x) = \begin{pmatrix}x^2 & 1\\ x - 1 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det A(-1) = 3$

$A(-1) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -2 & 1\end{pmatrix},\quad \det A(-1) = 1 + 2 = 3.$

Barem: 2p + 3p.

b) $A(x)$ este inversabilă pentru orice $x$ real

$\det A(x) = x^2 - (x - 1) = x^2 - x + 1 = \left(x - \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 > 0.$

Determinantul este nenul, deci $A(x)$ e inversabilă. Barem: 3p + 2p.

c) $X$ cu $A(1)\cdot X\cdot A(1) = A(2)$

$A(1) = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $A(1)^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$, $A(2) = \begin{pmatrix}4&1\\1&1\end{pmatrix}$.

$X = A(1)^{-1}A(2)A(1)^{-1} = \begin{pmatrix}3&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&-3\\1&0\end{pmatrix}.$

Barem: 2p inversa, 3p matricea $X$.

2. Legea asociativă $x\circ y = xy - \sqrt2(x + y - 1) + 2$, cu element neutru

a) $\sqrt2\circ0 = \sqrt2$

$\sqrt2\circ0 = 0 - \sqrt2(\sqrt2 - 1) + 2 = -2 + \sqrt2 + 2 = \sqrt2.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x$ cu $(x - \sqrt2)\circ(x + \sqrt2) = x$

$x^2 - 2 - \sqrt2(2x - 1) + 2 = x \iff x^2 - (2\sqrt2 + 1)x + \sqrt2 = 0.$

$\Delta = (2\sqrt2 + 1)^2 - 4\sqrt2 = 9$, deci $x = \dfrac{2\sqrt2 + 1 \pm 3}{2}$.

Răspuns: $x \in \{\sqrt2 - 1,\ \sqrt2 + 2\}$. Barem: 3p + 2p.

c) Numerele raționale al căror simetric este rațional

Legea se scrie $x\circ y = (x - \sqrt2)(y - \sqrt2) + \sqrt2$, deci neutrul este $e = \sqrt2 + 1$. $a'$ este simetricul lui $a$ dacă

$aa' - \sqrt2(a + a' - 1) + 2 = \sqrt2 + 1 \iff (aa' + 1) - \sqrt2(a + a') = 0.$

Cu $a, a' \in \mathbb Q$ și $\sqrt2$ irațional, trebuie $a + a' = 0$ și $aa' = -1$, deci $-a^2 = -1$, $a = \pm1$ (cu $a' = \mp1$, raționale).

Răspuns: $a \in \{-1, 1\}$. Barem: 2p neutrul, 3p finalizarea.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$, $f(x) = x\left(1 - \frac1x\ln(x^2+1)\right) = x - \ln(x^2+1)$

a) $f'(x) = \dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$

$f'(x) = 1 - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2+1} = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}.$

Barem: 3p + 2p.

b) $n \in \mathbb N^*$ cu tangenta în $A(n, f(n))$ paralelă cu $y = \frac15x + 1$

Condiția: $f'(n) = \frac15$:

$5(n-1)^2 = n^2 + 1 \iff 2n^2 - 5n + 2 = 0 \iff n \in \left\{\tfrac12, 2\right\}.$

Răspuns: $n = 2$. Barem: 3p + 2p.

c) $f$ este bijectivă

$f'(x) > 0$ pe $(0,1)$ și pe $(1,\infty)$, $f'(1) = 0$ și $f$ continuă, deci $f$ este strict crescătoare pe $(0,\infty)$ — injectivă.

$\lim\limits_{x\to0} f(x) = 0 - \ln 1 = 0$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \lim x\left(1 - \frac{\ln(x^2+1)}{x}\right) = +\infty$. Fiind continuă și strict crescătoare, $f\big((0,\infty)\big) = (0, \infty)$ — surjectivă. Deci $f$ este bijectivă. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

2. $f(x) = \frac1{x^3} - \frac{2\ln x}{x^3}$, cu primitiva $F(x) = \frac{\ln x}{x^2}$

a) $\displaystyle\int_1^e x^2\left(f(x) + \frac{2\ln x}{x^3}\right)dx = 1$

$\int_1^e x^2\cdot\frac1{x^3}dx = \int_1^e\frac1x dx = \ln x\Big|_1^e = 1.$

Barem: 3p + 2p.

b) $\displaystyle\int_1^{\sqrt5} x f(x^2+3)\,dx = -\frac{5\ln2}{128}$

Cu $(x^2 + 3)' = 2x$:

$\int_1^{\sqrt5}xf(x^2+3)dx = \frac12F(x^2+3)\Big|_1^{\sqrt5} = \frac12\big(F(8) - F(4)\big) = \frac12\left(\frac{3\ln2}{64} - \frac{2\ln 2}{16}\right) = \frac12\cdot\frac{-5\ln2}{64} = -\frac{5\ln2}{128}.$

Barem: 3p + 2p.

c) $a$ cu $\displaystyle\int_e^{e^2}xF(x)\,dx = \frac{a^2 - 1}{2}$

$\int_e^{e^2}\frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2x}{2}\Big|_e^{e^2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac32.$

$\dfrac{a^2-1}{2} = \dfrac32 \iff a^2 = 4$.

Răspuns: $a \in \{-2, 2\}$. Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 1$
I.3	$x = 3$
I.4	$p = \frac12$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}3&-3\\1&0\end{pmatrix}$
II.2.b	$x \in \{\sqrt2-1, \sqrt2+2\}$
II.2.c	$a \in \{-1,1\}$
III.1.b	$n = 2$
III.2.c	$a \in \{-2, 2\}$

Ce merită reținut din model

• Ecuații iraționale: pune condiția $x - 2 \ge 0$ și verifică soluția la final.
• Egalitatea $p + q\sqrt2 = 0$ cu $p, q$ raționale impune $p = q = 0$.
• Integrale cu $f(x^2+3)$: recunoaște $2x$ ca derivata argumentului și folosește primitiva dată.