Rezolvare BAC 2025 Matematică M1 (mate-info) — Rezervă, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2025 la Matematică M_mate-info, subiectul de rezervă al sesiunii iunie–iulie, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 4$

Diferența de logaritmi în aceeași bază este logaritmul câtului: $\log_5 10 - \log_5 2 = \log_5\dfrac{10}{2} = \log_5 5 = 1$.

Iar $\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$.

$2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 2\cdot1 + 2 = 4.$

Barem: 3p aplicarea proprietăților logaritmilor, 2p finalizarea.

2. $f(x) = x - 4$: determinați $m$ cu $f(2 + m) = 2 - m$

$f(2 + m) = (2 + m) - 4 = m - 2$. Ecuația: $m - 2 = 2 - m \iff 2m = 4 \iff m = 2$.

Răspuns: $m = 2$. Barem: 2p $f(2+m) = m - 2$, 3p rezolvarea ecuației.

3. Ecuație exponențială: $8^x\cdot 2^{1-x} = 2^7$

Scriem totul ca puteri ale lui 2: $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$. Atunci

$2^{3x}\cdot 2^{1-x} = 2^{3x + 1 - x} = 2^{2x+1}.$

Funcția exponențială este injectivă, deci $2^{2x+1} = 2^7 \iff 2x + 1 = 7 \iff x = 3$.

Verificare: $8^3\cdot 2^{-2} = 512/4 = 128 = 2^7$ ✔.

Răspuns: $x = 3$. Barem: 3p ecuația $2x + 1 = 7$, 2p soluția.

4. Câte numere de trei cifre distincte, cu cifre din $A = \{1,2,3,4,5,6\}$, sunt divizibile cu 5?

Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5. Cifra 0 nu e în $A$, deci cifra unităților este 5 — un singur mod.

• Cifra sutelor: orice cifră din $A$ diferită de 5 — 5 moduri.
• Cifra zecilor: diferită de 5 și de cifra sutelor — 4 moduri.

Regula produsului: $1\cdot5\cdot4 = 20$.

Răspuns: 20 de numere. Barem: 2p cifra unităților, 3p numărarea celorlalte cifre.

5. Dreapta $d$ prin $A(0,1)$, paralelă cu $BC$, unde $B(2,0)$, $C(4,6)$

Panta lui $BC$: $m_{BC} = \dfrac{6 - 0}{4 - 2} = 3$. Drepte paralele au aceeași pantă, deci $m_d = 3$.

Ecuația dreptei prin $A(0,1)$ cu panta 3: $y - 1 = 3(x - 0)$, adică $y = 3x + 1$.

Răspuns: $d: y = 3x + 1$ (sau $3x - y + 1 = 0$). Barem: 3p panta, 2p ecuația dreptei.

6. $E(x) = \operatorname{tg}x\cdot\left(\cos\dfrac{3x}{4}\right)^2 - \cos\dfrac x2$; arătați că $E\left(\dfrac\pi3\right) = 0$

Pentru $x = \dfrac\pi3$: $\dfrac{3x}{4} = \dfrac\pi4$ și $\dfrac x2 = \dfrac\pi6$. Valori:

$\operatorname{tg}\frac\pi3 = \sqrt3,\qquad \cos\frac\pi4 = \frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}.$

$E\left(\frac\pi3\right) = \sqrt3\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3\cdot\frac12 - \frac{\sqrt3}{2} = 0.$

Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix}a & 1 & -2\\ 0 & a & 1\\ 2 & 4 & 1\end{pmatrix}$ și sistemul $\begin{cases}ax + y - 2z = 4\\ ay + z = 1\\ 2x + 4y + z = 4\end{cases}$

a) $\det(A(1)) = 3$

$\det(A(1)) = \begin{vmatrix}1 & 1 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 1\end{vmatrix} = 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot2 + (-2)\cdot0\cdot4 - (-2)\cdot1\cdot2 - 1\cdot1\cdot4 - 1\cdot0\cdot1.$

$= 1 + 2 + 0 + 4 - 4 - 0 = 3.$

Barem: 2p scrierea determinantului, 3p calculul.

b) Sistemul are soluție unică pentru orice $a$

Matricea sistemului este exact $A(a)$. Cu Sarrus:

$\det(A(a)) = a\cdot a\cdot1 + 1\cdot1\cdot2 + (-2)\cdot0\cdot4 - (-2)\cdot a\cdot2 - a\cdot1\cdot4 - 1\cdot0\cdot1 = a^2 + 2 + 4a - 4a = a^2 + 2.$

Cum $a^2 \ge 0$, avem $a^2 + 2 \ge 2 > 0$, deci $\det(A(a)) \ne 0$ pentru orice $a$: sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.

Barem: 3p determinantul, 2p justificarea.

c) $a$ pentru care $y_0 \ge 1$

Cu regula lui Cramer, $y_0 = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}$, unde $\Delta = a^2 + 2$ și $\Delta_y$ se obține înlocuind coloana a doua cu termenii liberi:

$\Delta_y = \begin{vmatrix}a & 4 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 1\end{vmatrix} = a + 8 + 0 - (-4) - 4a - 0 = 12 - 3a.$

(Detaliat: $a\cdot1\cdot1 + 4\cdot1\cdot2 + (-2)\cdot0\cdot4 - (-2)\cdot1\cdot2 - a\cdot1\cdot4 - 4\cdot0\cdot1$.)

Deci $y_0 = \dfrac{12 - 3a}{a^2 + 2}$. Cum numitorul este pozitiv, putem înmulți fără să schimbăm sensul:

$\frac{12 - 3a}{a^2 + 2} \ge 1 \iff 12 - 3a \ge a^2 + 2 \iff a^2 + 3a - 10 \le 0 \iff (a + 5)(a - 2) \le 0.$

Trinomul are rădăcinile $-5$ și $2$ și este $\le 0$ între ele.

Răspuns: $a \in [-5, 2]$. Barem: 3p calculul lui $y_0$, 2p rezolvarea inecuației.

2. Legea asociativă $x * y = 4 - \dfrac12(x - 4)(y - 4)$

a) $6 * 7 = 1$

$6 * 7 = 4 - \frac12(6 - 4)(7 - 4) = 4 - \frac12\cdot2\cdot3 = 4 - 3 = 1.$

b) $x$ real cu $x * (x + 4) = 6$

$x * (x + 4) = 4 - \frac12(x - 4)(x + 4 - 4) = 4 - \frac12x(x - 4).$

Ecuația: $4 - \dfrac12x(x - 4) = 6 \iff x(x - 4) = -4 \iff x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x - 2)^2 = 0$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 2p expresia, 3p rezolvarea.

c) Tripletele $(m, n, p)$ de numere naturale, $m < n < p$, cu $m * n * p = 3$

Pas 1. Notăm $m * n = 4 - \frac12(m-4)(n-4)$, deci $(m * n) - 4 = -\frac12(m-4)(n-4)$.

Pas 2. $(m * n) * p = 4 - \dfrac12\big((m*n) - 4\big)(p - 4) = 4 - \dfrac12\cdot\left(-\dfrac12\right)(m-4)(n-4)(p-4) = 4 + \dfrac14(m-4)(n-4)(p-4).$

Pas 3. $4 + \dfrac14(m-4)(n-4)(p-4) = 3 \iff (m-4)(n-4)(p-4) = -4$.

Notăm $u = m - 4 < v = n - 4 < w = p - 4$, numere întregi cu $u, v, w \ge -4$ și $uvw = -4$. Toți trebuie să fie divizori ai lui 4, distincți, cu produsul negativ:

• un singur factor negativ ($u < 0 < v < w$): $v, w$ pozitivi distincți, $|u|\cdot v\cdot w = 4$. Cu $v < w$ divizori ai lui 4: $(v, w) = (1, 2)$ dă $|u| = 2$, $u = -2$; $(v,w) = (1, 4)$ dă $|u| = 1$, $u = -1$. (Perechea $(2, 4)$ ar cere $|u| = \frac12$ — imposibil.)
• trei factori negativi ($u < v < w < 0$): $|u|\cdot|v|\cdot|w| = 4$ cu trei valori absolute distincte — cel mai mic produs posibil este $1\cdot2\cdot3 = 6 > 4$, imposibil.

Revenim: $(u, v, w) = (-2, 1, 2) \Rightarrow (m, n, p) = (2, 5, 6)$; $(u, v, w) = (-1, 1, 4) \Rightarrow (m, n, p) = (3, 5, 8)$.

Verificare: $(2-4)(5-4)(6-4) = -4$ ✔; $(3-4)(5-4)(8-4) = -4$ ✔.

Răspuns: $(m, n, p) \in \{(2, 5, 6),\ (3, 5, 8)\}$. Barem: 3p formula lui $m * n * p$, 2p tripletele.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = (x - 5)\sqrt{x^2 + 2}$

a) $f'(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 2}{\sqrt{x^2 + 2}}$

Regula produsului, cu $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$:

$f'(x) = 1\cdot\sqrt{x^2 + 2} + (x - 5)\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} = \frac{(x^2 + 2) + x(x - 5)}{\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{2x^2 - 5x + 2}{\sqrt{x^2+2}}.$

Barem: 3p derivarea, 2p aducerea la același numitor.

b) Intervalele de monotonie

Numitorul este pozitiv, deci semnul lui $f'$ este semnul lui $2x^2 - 5x + 2$. Rădăcinile: $\Delta = 25 - 16 = 9$, $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 3}{4}$, adică $\dfrac12$ și $2$.

$x$	$-\infty$		$\tfrac12$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↗		↘		↗

Răspuns: $f$ este crescătoare pe $\left(-\infty, \dfrac12\right]$, descrescătoare pe $\left[\dfrac12, 2\right]$ și crescătoare pe $[2, +\infty)$. Barem: 2p rădăcinile derivatei, 3p semnul și intervalele.

c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2 - 5x}{f(x)}\right)^x = 1$

Pentru $x > 5$ simplificăm cu $x - 5$:

$\frac{x^2 - 5x}{f(x)} = \frac{x(x-5)}{(x-5)\sqrt{x^2+2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} \xrightarrow{x\to\infty} 1,$

iar exponentul tinde la $+\infty$: nedeterminare $1^\infty$.

Cum baza este pozitivă: $\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^x = \left(\dfrac{x^2}{x^2+2}\right)^{x/2} = \left(1 - \dfrac{2}{x^2+2}\right)^{x/2}$.

Folosim limita fundamentală $\lim\limits_{t\to0}(1 + t)^{1/t} = e$, cu $t = -\dfrac{2}{x^2+2} \to 0$:

$\left(1 - \frac{2}{x^2+2}\right)^{x/2} = \left[\left(1 - \frac{2}{x^2+2}\right)^{-\frac{x^2+2}{2}}\right]^{-\frac{2}{x^2+2}\cdot\frac x2}.$

Paranteza dreaptă tinde la $e$, iar exponentul $-\dfrac{x}{x^2+2} \to 0$. Deci limita este $e^0 = 1$.

Barem: 3p aducerea la limita fundamentală, 2p calculul exponentului și concluzia.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = 8x^3 + 1 + \ln^2 x$

a) $\displaystyle\int_1^2\big(f(x) - \ln^2 x\big)dx = 31$

$\int_1^2 (8x^3 + 1)\,dx = (2x^4 + x)\Big|_1^2 = (32 + 2) - (2 + 1) = 34 - 3 = 31.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_1^e\frac{f(x) - 8x^3 - 1}{x}\,dx = \frac13$

$f(x) - 8x^3 - 1 = \ln^2 x$, deci integrandul este $\ln^2 x\cdot\dfrac1x = \ln^2 x\cdot(\ln x)'$, de forma $u^2u'$, cu primitiva $\dfrac{u^3}{3}$:

$\int_1^e\frac{\ln^2 x}{x}\,dx = \frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e = \frac{1}{3} - 0 = \frac13.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) $I_n = \displaystyle\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{f(x) - 8x^3}\,dx$; demonstrați că $I_{n+2} + I_n \le 2^{n-1}(e^4 - 1)$

Numitorul: $f(x) - 8x^3 = 1 + \ln^2 x$. Adunăm cele două integrale (aceleași limite):

$I_{n+2} + I_n = \int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^{n+2} + x(\ln x)^n}{1 + \ln^2 x}\,dx = \int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n(\ln^2 x + 1)}{1 + \ln^2 x}\,dx = \int_1^{e^2}x(\ln x)^n\,dx.$

Majorare. Pentru $x \in [1, e^2]$: $0 \le \ln x \le \ln e^2 = 2$, deci $(\ln x)^n \le 2^n$ și, cum $x > 0$, $x(\ln x)^n \le 2^n x$. Prin monotonia integralei:

$I_{n+2} + I_n \le 2^n\int_1^{e^2}x\,dx = 2^n\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_1^{e^2} = 2^n\cdot\frac{e^4 - 1}{2} = 2^{n-1}(e^4 - 1).$

(Verificare numerică pentru $n = 1$: $I_3 + I_1 \approx 41{,}2 \le e^4 - 1 \approx 53{,}6$.)

Barem: 3p $I_{n+2} + I_n = \int_1^{e^2}x(\ln x)^n\,dx$, 2p majorarea și concluzia.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$4$
I.2	$m = 2$
I.3	$x = 3$
I.4	20 de numere
I.5	$y = 3x + 1$
I.6	$E(\pi/3) = 0$
II.1.c	$a \in [-5, 2]$
II.2.b	$x = 2$
II.2.c	$(2,5,6)$ și $(3,5,8)$
III.1.b	crescătoare pe $(-\infty, \frac12]$ și $[2, \infty)$, descrescătoare pe $[\frac12, 2]$
III.1.c	limita $= 1$

Ce merită reținut din varianta 5

• Legi de forma $c + k(x-c)(y-c)$: compunerea a trei elemente dă $c + k^2(x-c)(y-c)(z-c)$; ecuația devine un produs de întregi cu valoare fixă.
• Inecuații cu fracții: înmulțește cu numitorul doar după ce ai arătat că e pozitiv.
• Limite $1^\infty$: adu baza la forma $1 + t$, cu $t \to 0$, și calculează limita lui $t\cdot$exponent.
• Șiruri de integrale $I_{n+2} + I_n$: adunarea simplifică numitorul; apoi majorează $(\ln x)^n$ cu valoarea maximă de pe interval.