Rezolvare BAC 2026 Matematică M1 (mate-info) — August–Septembrie, varianta 4

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2026 la Matematică M_mate-info, sesiunea august–septembrie, varianta 4. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresie geometrică: $b_3$, știind $b_1 = 2$ și $b_2 = 10$

Rația unei progresii geometrice este raportul dintre doi termeni consecutivi:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{2} = 5.$

Termenul general este $b_n = b_1 q^{n-1}$, deci $b_3 = b_1 q^2 = 2 \cdot 25 = 50$. (Verificare: $b_3 = b_2 \cdot q = 10 \cdot 5 = 50$.)

Răspuns: $b_3 = 50$. Barem: 3p rația, 2p $b_3$.

2. $f(x) = x - 5$, $g(x) = ax - 1$: determinați $a$ cu $(f \circ g)(2) = 2$

Compunerea se calculează „din interior spre exterior”: $(f\circ g)(2) = f(g(2))$.

$g(2) = 2a - 1$, apoi $f(2a - 1) = 2a - 1 - 5 = 2a - 6$.

$2a - 6 = 2 \iff 2a = 8 \iff a = 4.$

Răspuns: $a = 4$. Barem: 3p calculul lui $(f\circ g)(2)$, 2p rezolvarea ecuației.

3. Ecuația $\log_8 x + \log_8(8 - x) = \log_8(6 + x)$

Condiții de existență: $x > 0$, $8 - x > 0$, $6 + x > 0$, adică $x \in (0, 8)$.

Folosim $\log_8 u + \log_8 v = \log_8(uv)$:

$\log_8\big(x(8-x)\big) = \log_8(6 + x) \iff 8x - x^2 = 6 + x \iff x^2 - 7x + 6 = 0.$

$\Delta = 49 - 24 = 25$, deci $x_1 = \dfrac{7 - 5}{2} = 1$, $x_2 = \dfrac{7+5}{2} = 6$. Ambele se află în $(0, 8)$, deci convin.

Răspuns: $x \in \{1, 6\}$. Barem: 2p ecuația de gradul II, 3p soluțiile care convin.

4. Câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifre din $A = \{1, 2, 4, 6, 8\}$

Un număr $\overline{ab}$ este par dacă cifra unităților $b$ este pară: $b \in \{2, 4, 6, 8\}$ — 4 moduri.

Cifra zecilor $a$ poate fi orice cifră din $A$ (cifrele se pot repeta, iar $0 \notin A$, deci nu avem problema primei cifre nule) — 5 moduri.

Regula produsului: $4 \cdot 5 = 20$.

Răspuns: 20 de numere. Barem: 2p alegerea cifrei unităților, 3p numărarea finală. Atenție: enunțul nu cere cifre distincte, deci numere ca 22 sau 88 se numără.

5. Dreapta $d$ prin $B(2,2)$, paralelă cu $AC$, unde $A(1,3)$, $C(4,6)$

Panta dreptei $AC$: $m_{AC} = \dfrac{6 - 3}{4 - 1} = 1$. Drepte paralele au pante egale, deci $m_d = 1$.

Ecuația dreptei prin $B$ cu panta $1$: $y - y_B = m_d(x - x_B) \iff y - 2 = x - 2 \iff y = x$.

Răspuns: $d: y = x$. Barem: 3p panta, 2p ecuația.

6. $E(x) = 3\operatorname{tg}\dfrac{x}{3} + \sin x - 2\sin\dfrac{2x}{3}$; arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$

Pentru $x = \dfrac{\pi}{2}$: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{\pi}{6}$ și $\dfrac{2x}{3} = \dfrac{\pi}{3}$. Valorile necesare:

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}, \qquad \sin\frac{\pi}{2} = 1, \qquad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}.$

$E\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\cdot\frac{\sqrt3}{3} + 1 - 2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3 + 1 - \sqrt3 = 1.$

Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul final.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Matricea $A(a) = \begin{pmatrix}1 & a & -2a\\ 2 & -1 & -a\\ 1 & -a & 0\end{pmatrix}$ și sistemul $\begin{cases}x + ay - 2az = -1\\ 2x - y - az = a\\ x - ay = a\end{cases}$

a) $\det(A(2)) = 4$

$\det(A(2)) = \begin{vmatrix}1 & 2 & -4\\ 2 & -1 & -2\\ 1 & -2 & 0\end{vmatrix}.$

Cu regula lui Sarrus: termenii cu plus sunt $1\cdot(-1)\cdot 0 = 0$, $2\cdot(-2)\cdot 1 = -4$, $(-4)\cdot 2\cdot(-2) = 16$; termenii cu minus sunt $(-4)\cdot(-1)\cdot 1 = 4$, $1\cdot(-2)\cdot(-2) = 4$, $2\cdot 2\cdot 0 = 0$.

$\det(A(2)) = 0 - 4 + 16 - 4 - 4 - 0 = 4.$

Barem: 2p scrierea determinantului, 3p calculul.

b) Pentru $a = 1$ sistemul are o infinitate de soluții

Pentru $a = 1$ sistemul devine $\begin{cases}x + y - 2z = -1\\ 2x - y - z = 1\\ x - y = 1\end{cases}$, iar

$\det(A(1)) = \begin{vmatrix}1 & 1 & -2\\ 2 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{vmatrix} = 0 - 1 + 4 - 2 - 1 - 0 = 0.$

Minorul $\begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix} = -3 \ne 0$ este minor principal, deci rangul matricei este 2, cu $z$ necunoscută secundară. Minorul caracteristic (bordăm cu coloana termenilor liberi și linia a treia):

$\Delta_c = \begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\end{vmatrix} = -1 + 1 + 2 - 1 + 1 - 2 = 0.$

Conform teoremei lui Rouché, sistemul este compatibil; cum rangul (2) este mai mic decât numărul de necunoscute (3), el este compatibil nedeterminat, adică are o infinitate de soluții.

Concret: din ecuația a treia $x = y + 1$; înlocuind în prima, $2y + 1 - 2z = -1 \Rightarrow y = z - 1$, $x = z$. Soluțiile sunt $(\alpha, \alpha - 1, \alpha)$, $\alpha \in \mathbb R$ (verifică și ecuația a doua: $2\alpha - \alpha + 1 - \alpha = 1$ ✔).

Barem: 2p determinantul nul, 3p minorul principal și minorul caracteristic nul.

c) Pentru $a \in \mathbb R \setminus\{0, 1\}$: soluție unică și $4x_0z_0 = 1$

Calculăm determinantul general (Sarrus):

$\det(A(a)) = 0 - a^2 + 4a^2 - 2a - a^2 - 0 = 2a^2 - 2a = 2a(a - 1).$

Pentru $a \notin \{0, 1\}$ avem $\det(A(a)) \ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.

Rezolvăm direct. Din ecuația a treia: $x = a + ay$. Înlocuim în a doua: $2a + 2ay - y - az = a \Rightarrow az = a + (2a - 1)y$. Înlocuim în prima: $a + ay + ay - 2az = -1$, iar $2az = 2a + 2(2a-1)y$, deci

$a + 2ay - 2a - (4a - 2)y = -1 \iff (2 - 2a)y = a - 1 \iff y_0 = -\frac12 \quad (a \ne 1).$

Atunci $x_0 = a - \dfrac a2 = \dfrac a2$, iar $a z_0 = a - \dfrac{2a - 1}{2} = \dfrac12 \Rightarrow z_0 = \dfrac{1}{2a}$ ($a \ne 0$).

$4x_0 z_0 = 4\cdot\frac a2\cdot\frac{1}{2a} = 1.$

Barem: 2p determinantul nenul și soluția unică, 3p calculul lui $x_0$, $z_0$ și concluzia.

2. Polinomul $f = X^3 + X^2 + aX + 8$

a) $f(0) = 8$ pentru orice $a$

$f(0) = 0^3 + 0^2 + a\cdot 0 + 8 = 8,$

indiferent de valoarea lui $a$ (termenul $aX$ se anulează în $0$). Barem: 3p înlocuirea, 2p finalizarea.

b) $a$ pentru care $f$ este divizibil cu $g = X + 2$

După teorema lui Bézout, $X + 2 \mid f \iff f(-2) = 0$.

$f(-2) = -8 + 4 - 2a + 8 = 4 - 2a = 0 \iff a = 2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p $f(-2)$, 2p valoarea lui $a$.

c) $a$ pentru care raportul a două rădăcini este $2$

Fie $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile, cu $x_2 = 2x_1$ (rădăcinile sunt nenule, deoarece $x_1x_2x_3 = -8 \ne 0$). Relațiile lui Viète:

$x_1 + x_2 + x_3 = -1, \qquad x_1x_2x_3 = -8.$

Din prima: $x_3 = -1 - 3x_1$. Din a doua: $x_1\cdot 2x_1\cdot(-1 - 3x_1) = -8 \iff -2x_1^2 - 6x_1^3 = -8 \iff 3x_1^3 + x_1^2 - 4 = 0$.

Observăm că $x_1 = 1$ e rădăcină, deci $3x_1^3 + x_1^2 - 4 = (x_1 - 1)(3x_1^2 + 4x_1 + 4)$. Al doilea factor are $\Delta = 16 - 48 < 0$, deci rădăcini complexe nereale.

De ce nu pot fi acelea? Dacă $x_1$ ar fi complex nereal, atunci și $x_2 = 2x_1$ ar fi nereal, iar un polinom cu coeficienți reali are rădăcinile nereale în perechi conjugate: conjugatul lui $x_1$ ar trebui să fie $x_2$ sau $x_3$. $\overline{x_1} = 2x_1$ ar da $|x_1| = 2|x_1|$, imposibil; $\overline{x_1} = x_3$ ar face ca $\overline{x_2} = 2\overline{x_1}$ să fie o a patra rădăcină — imposibil la gradul 3. Deci $x_1 = 1$ real.

Atunci $f(1) = 0$: $1 + 1 + a + 8 = 0 \Rightarrow a = -10$.

Verificare: $X^3 + X^2 - 10X + 8 = (X - 1)(X - 2)(X + 4)$, rădăcinile $1, 2, -4$, iar $\dfrac21 = 2$ ✔.

Răspuns: $a = -10$. Barem: 3p ecuația $3x_1^3 + x_1^2 - 4 = 0$ din relațiile lui Viète, 2p rezolvarea și valoarea lui $a$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = 2x^2 - 4x - 3 - (2x - 3)e^{2x}$

a) $f'(x) = 4(x - 1)(1 - e^{2x})$

Derivăm termen cu termen; pentru produs folosim $(uv)' = u'v + uv'$, cu $(e^{2x})' = 2e^{2x}$:

$f'(x) = 4x - 4 - \left[2e^{2x} + (2x - 3)\cdot 2e^{2x}\right] = 4x - 4 - e^{2x}(2 + 4x - 6) = 4(x-1) - 4(x-1)e^{2x}.$

Dăm factor comun $4(x-1)$: $f'(x) = 4(x - 1)(1 - e^{2x})$, $x \in \mathbb R$. Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2} = 4$

$f(0) = -3 - (-3)\cdot 1 = 0$, deci avem nedeterminarea $\frac00$. Aplicăm regula lui l'Hôpital:

$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{4(x-1)(1 - e^{2x})}{2x} = \lim_{x\to 0} 4(x-1)\cdot\frac{1 - e^{2x}}{2x}.$

Din limita remarcabilă $\lim\limits_{t\to0}\dfrac{e^t - 1}{t} = 1$ (cu $t = 2x$) obținem $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1 - e^{2x}}{2x} = -1$. Deci limita este $4\cdot(-1)\cdot(-1) = 4$.

Barem: 3p aplicarea l'Hôpital, 2p calculul limitei.

c) Ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică pentru orice $n \in \mathbb N^*$

Ecuația este $f(x) = -n$, cu $-n \le -1 < 0$. Studiem semnul lui $f'(x) = 4(x - 1)(1 - e^{2x})$: $f'(x) = 0 \iff x = 1$ sau $e^{2x} = 1 \iff x = 0$.

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$x - 1$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$1 - e^{2x}$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$		↘	$0$	↗	$e^2 - 5$	↘	$-\infty$

• Pe $(-\infty, 0]$, $f$ este descrescătoare, deci $f(x) \ge f(0) = 0$.
• Pe $[0, 1]$, $f$ este crescătoare, deci $f(x) \ge f(0) = 0$.

Așadar $f(x) \ge 0 > -n$ pe $(-\infty, 1]$ — acolo ecuația nu are soluții.

• Pe $(1, +\infty)$, $f$ este strict descrescătoare, deci injectivă; e continuă, $f(1) = e^2 - 5 > 0$ și $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$ (termenul $-(2x-3)e^{2x}$ domină). Prin proprietatea lui Darboux, $f\big((1, +\infty)\big) = (-\infty, e^2 - 5)$, care conține $-n$.

Prin urmare ecuația $f(x) = -n$ are exact o soluție, situată în $(1, +\infty)$, pentru orice $n \in \mathbb N^*$.

Barem: 3p monotonia, 2p concluzia (folosind $f(0) = 0$, limita la $+\infty$ și continuitatea).

2. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}}$

Observație utilă: $x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 > 0$, deci $f$ este bine definită pe $\mathbb R$.

a) $\displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt{x^2 - 4x + 5}\,dx = 2$

Radicalii se simplifică: $f(x)\sqrt{x^2 - 4x + 5} = x - 2$.

$\int_2^4 (x - 2)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right)\Big|_2^4 = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = 0$

Observăm că $(x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4 = 2(x - 2)$, deci $f(x) = \dfrac{(x^2 - 4x + 5)'}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}} = \left(\sqrt{x^2 - 4x + 5}\right)'$.

$\int_1^3 f(x)\,dx = \sqrt{x^2 - 4x + 5}\,\Big|_1^3 = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0.$

(Alternativ: graficul lui $f$ este simetric față de punctul $(2, 0)$ — $f(4 - x) = -f(x)$ — iar intervalul $[1, 3]$ este simetric față de $2$.) Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) $m$ nenul cu $V = \pi\left(1 - \dfrac{\pi}{m}\right)$ pentru $g = f|_{[2,3]}$

Volumul corpului de rotație: $V = \pi\displaystyle\int_2^3 g^2(x)\,dx$, cu

$g^2(x) = \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2 + 1} = 1 - \frac{1}{(x-2)^2 + 1}.$

O primitivă a lui $\dfrac{1}{(x-2)^2 + 1}$ este $\operatorname{arctg}(x - 2)$, deci

$V = \pi\Big(x - \operatorname{arctg}(x - 2)\Big)\Big|_2^3 = \pi\left[(3 - \operatorname{arctg}1) - (2 - \operatorname{arctg}0)\right] = \pi\left(1 - \frac{\pi}{4}\right).$

Egalând cu $\pi\left(1 - \dfrac\pi m\right)$: $\dfrac\pi m = \dfrac\pi4 \Rightarrow m = 4$.

Răspuns: $m = 4$. Barem: 3p scrierea și calculul integralei, 2p valoarea lui $m$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$b_3 = 50$
I.2	$a = 4$
I.3	$x \in \{1, 6\}$
I.4	20 de numere
I.5	$y = x$
I.6	$E(\pi/2) = 1$
II.1.c	$x_0 = \frac a2$, $z_0 = \frac{1}{2a}$
II.2.b	$a = 2$
II.2.c	$a = -10$
III.1.c	soluție unică în $(1, +\infty)$
III.2.c	$m = 4$

Ce merită reținut din varianta 4

• Sistem compatibil nedeterminat: determinant nul + minor principal nenul + toți minorii caracteristici nuli.
• Rădăcini într-un raport dat: notează $x_2 = 2x_1$, folosește relațiile lui Viète și argumentează de ce rădăcina găsită trebuie să fie reală.
• Unicitatea soluției lui $f(x) = c$: tabelul de variație arată pe ce intervale e imposibilă egalitatea și pe care $f$ e strict monotonă și surjectivă.
• Volume de rotație cu fracții raționale: scrie $\dfrac{t^2}{t^2+1} = 1 - \dfrac{1}{t^2+1}$ ca să apară $\operatorname{arctg}$.