Rezolvare BAC 2026 Matematică M1 (mate-info) — Rezervă, varianta 7

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2026 la Matematică M_mate-info, subiectul de rezervă al sesiunii iunie–iulie, varianta 7. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $3i(2 + i) + 2(2 - 3i) = 1$

Desfacem parantezele și folosim $i^2 = -1$:

$3i(2+i) + 2(2-3i) = 6i + 3i^2 + 4 - 6i = 3\cdot(-1) + 4 + (6i - 6i) = -3 + 4 = 1.$

Barem: 3p desfacerea parantezelor, 2p finalizarea.

2. $f(x) = 2x - 5$: determinați $a$ cu $a + f(a - 1) + f(a + 1) = 0$

$f(a - 1) = 2(a-1) - 5 = 2a - 7$ și $f(a+1) = 2(a+1) - 5 = 2a - 3$.

$a + 2a - 7 + 2a - 3 = 0 \iff 5a - 10 = 0 \iff a = 2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 2p expresiile, 3p rezolvarea ecuației.

3. Ecuația $\dfrac12\log_2(6x - 8) = \log_2 x$

Condiții de existență: $6x - 8 > 0$ și $x > 0$, adică $x > \dfrac43$.

Înmulțim cu 2 și folosim $2\log_2 x = \log_2 x^2$ (valabil pentru $x > 0$):

$\log_2(6x - 8) = \log_2 x^2 \iff 6x - 8 = x^2 \iff x^2 - 6x + 8 = 0 \iff (x-2)(x-4) = 0.$

Ambele soluții sunt mai mari decât $\frac43$, deci convin. Verificare: $x = 2$: $\frac12\log_2 4 = 1 = \log_2 2$ ✔; $x = 4$: $\frac12\log_2 16 = 2 = \log_2 4$ ✔.

Răspuns: $x \in \{2, 4\}$. Barem: 2p ecuația de gradul II, 3p soluțiile care convin.

4. Probabilitatea ca un număr din $A = \{3, 6, 9, \dots, 60\}$ să fie divizibil cu 5

$A$ conține multiplii lui 3 de la $3\cdot1$ la $3\cdot20$, deci are 20 de elemente — 20 de cazuri posibile.

Un multiplu de 3 este divizibil cu 5 dacă și numai dacă este divizibil cu 15 (3 și 5 sunt prime între ele): $15, 30, 45, 60$ — 4 cazuri favorabile.

$p = \frac{4}{20} = \frac15.$

Răspuns: $p = \dfrac15$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(2,2)$, $B(a, 0)$, $C(1, b)$: determinați $a$, $b$ cu $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}$

Relația se scrie $\overrightarrow{OA} = \dfrac12\left(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\right)$, adică $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Coordonatele mijlocului:

$\frac{a + 1}{2} = 2, \qquad \frac{0 + b}{2} = 2 \Rightarrow a = 3, \ b = 4.$

(Echivalent, pe componente: $(a + 1, b) = (4, 4)$.)

Răspuns: $a = 3$, $b = 4$. Barem: 2p interpretarea ca mijloc, 3p valorile.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AC = 6$, $B = \dfrac\pi3$: arătați că aria este $6\sqrt3$

În triunghiul dreptunghic, tangenta unghiului $B$ este cateta opusă supra cateta alăturată:

$\operatorname{tg}B = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \frac{6}{AB} \Rightarrow AB = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.$

Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$\mathcal A_{ABC} = \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{2\sqrt3\cdot 6}{2} = 6\sqrt3.$

Barem: 3p calculul lui $AB$, 2p aria.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $I_3$ și $A(a) = \begin{pmatrix}2a - 1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & -a\\ 0 & 2 & 2a\end{pmatrix}$

a) $\det(A(3)) = 0$

$A(3) = \begin{pmatrix}5 & 2 & 1\\ 0 & -1 & -3\\ 0 & 2 & 6\end{pmatrix}.$

Prima coloană are două zerouri, deci dezvoltăm după ea:

$\det(A(3)) = 5\cdot\begin{vmatrix}-1 & -3\\ 2 & 6\end{vmatrix} = 5\cdot(-6 + 6) = 0.$

(Cu Sarrus: $-30 + 0 + 0 - 0 + 30 - 0 = 0$.) Barem: 2p scrierea determinantului, 3p calculul.

b) $A(a)\cdot A(a) = (2a - 1)A(a)$

Calculăm produsul linie cu coloană:

• linia 1: $\big((2a-1)^2,\ 2(2a-1) - 2 + 2,\ (2a-1) - 2a + 2a\big) = \big((2a-1)^2,\ 4a - 2,\ 2a - 1\big)$;
• linia 2: $\big(0,\ 1 - 2a,\ a - 2a^2\big)$;
• linia 3: $\big(0,\ -2 + 4a,\ -2a + 4a^2\big)$.

Scoatem factorul $2a - 1$ din fiecare element: $4a - 2 = 2(2a-1)$, $1 - 2a = -(2a-1)$, $a - 2a^2 = -a(2a-1)$, $-2 + 4a = 2(2a-1)$, $-2a + 4a^2 = 2a(2a-1)$. Deci

$A(a)\cdot A(a) = (2a-1)\begin{pmatrix}2a-1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & -a\\ 0 & 2 & 2a\end{pmatrix} = (2a-1)A(a).$

Barem: 3p calculul produsului, 2p scrierea ca $(2a-1)A(a)$.

c) $n \in \mathbb N$ cu $A(n)\cdot B(n) = 2n^2A(n)$, unde $B(n) = A(n) + nI_3$

Folosind b) și $A(n)I_3 = A(n)$:

$A(n)B(n) = A(n)^2 + nA(n) = (2n - 1)A(n) + nA(n) = (3n - 1)A(n).$

Ecuația devine $(3n - 1)A(n) = 2n^2A(n) \iff (2n^2 - 3n + 1)A(n) = O_3$. Matricea $A(n)$ nu este niciodată nulă (are elementul $2$ pe poziția $(1,2)$), deci $2n^2 - 3n + 1 = 0 \iff (2n - 1)(n - 1) = 0$, adică $n = \frac12$ sau $n = 1$. Doar $n = 1$ este natural.

Răspuns: $n = 1$. Barem: 3p relația $A(n)B(n) = (3n-1)A(n)$, 2p valoarea lui $n$.

2. Polinomul $f = X^4 - X^3 + aX^2 + bX - 6$

a) Pentru $a = 4$, $b = 0$: $f(-1) = 0$

$f = X^4 - X^3 + 4X^2 - 6$, deci

$f(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + 4(-1)^2 - 6 = 1 + 1 + 4 - 6 = 0.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) Pentru $a = b = 1$: câtul și restul împărțirii lui $f$ la $g = X^2 - X + 1$

$f = X^4 - X^3 + X^2 + X - 6$. Observăm că primii trei termeni conțin factorul $g$:

$X^4 - X^3 + X^2 = X^2(X^2 - X + 1),$

deci $f = (X^2 - X + 1)\cdot X^2 + (X - 6)$. Cum $\operatorname{grad}(X - 6) = 1 < 2 = \operatorname{grad} g$, aceasta este exact împărțirea cu rest.

Răspuns: câtul $q = X^2$, restul $r = X - 6$. Barem: 3p câtul, 2p restul.

c) Perechile $(a, b)$ de numere naturale pentru care $f$ are două rădăcini opuse

Fie $x_1$ și $x_2 = -x_1$ rădăcini. Termenul liber $-6 \ne 0$, deci $f(0) \ne 0$ și $x_1 \ne 0$.

Din $f(x_1) = f(-x_1) = 0$ obținem atât suma, cât și diferența nule:

• $f(x_1) + f(-x_1) = 2(x_1^4 + ax_1^2 - 6) = 0 \Rightarrow x_1^4 + ax_1^2 - 6 = 0$ (puterile pare rămân);
• $f(x_1) - f(-x_1) = 2(-x_1^3 + bx_1) = 0 \Rightarrow x_1(b - x_1^2) = 0$ (puterile impare rămân).

Cum $x_1 \ne 0$: $x_1^2 = b$. Înlocuind în prima relație: $b^2 + ab - 6 = 0 \iff b(a + b) = 6$.

Cu $a, b \in \mathbb N$: $b$ este divizor al lui 6, iar $a + b = \frac6b \ge b$:

• $b = 1 \Rightarrow a + 1 = 6 \Rightarrow a = 5$;
• $b = 2 \Rightarrow a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1$;
• $b = 3 \Rightarrow a = 2 - 3 = -1 \notin \mathbb N$; $b = 6 \Rightarrow a = -5 \notin \mathbb N$ — respinse.

Verificare: $(a,b) = (1,2)$: $f = (X^2 - 2)(X^2 - X + 3)$, rădăcinile $\pm\sqrt2$ ✔; $(a, b) = (5, 1)$: $f = (X - 1)(X + 1)(X^2 - X + 6)$, rădăcinile $\pm 1$ ✔.

Răspuns: $(a, b) \in \{(1, 2),\ (5, 1)\}$. Barem: 2p relațiile $x_1^4 + ax_1^2 - 6 = 0$ și $x_1^3 - bx_1 = 0$, 3p $b(a+b) = 6$ și perechile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = 2\sqrt{2x^2 + 1} - 3\ln(2x^2 + 1)$

a) $f'(x) = \dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2 + 1} - 3\right)}{2x^2 + 1}$

Cu $u = 2x^2 + 1$, $u' = 4x$: $(\sqrt u)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$ și $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.

$f'(x) = 2\cdot\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}} - 3\cdot\frac{4x}{2x^2 + 1} = \frac{4x}{\sqrt{2x^2 + 1}} - \frac{12x}{2x^2 + 1}.$

Aducem la numitorul comun $2x^2 + 1 = \left(\sqrt{2x^2+1}\right)^2$:

$f'(x) = \frac{4x\sqrt{2x^2 + 1} - 12x}{2x^2 + 1} = \frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1} - 3\right)}{2x^2 + 1}, \quad x \in \mathbb R.$

Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 0$

$f(0) = 2\sqrt1 - 3\ln 1 = 2$ și $f'(0) = 0$ (factorul $4x$ se anulează).

Ecuația tangentei: $y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y - 2 = 0 \iff y = 2$.

Răspuns: $y = 2$ (tangentă orizontală). Barem: 2p $f(0)$ și $f'(0)$, 3p ecuația.

c) $f(x) = m$ are exact două soluții pentru orice $m \in (2, +\infty)$

$f'(x) = 0 \iff x = 0$ sau $\sqrt{2x^2 + 1} = 3 \iff 2x^2 + 1 = 9 \iff x = \pm 2$.

Semnul lui $f'$: numitorul e pozitiv; $\sqrt{2x^2+1} - 3 < 0$ pentru $|x| < 2$ și $> 0$ pentru $|x| > 2$.

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$2$		$+\infty$
$4x$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$\sqrt{2x^2+1} - 3$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	↘	$f(-2)$	↗	$2$	↘	$f(2)$	↗	$+\infty$

Limitele: pentru $x \to \pm\infty$, $f(x) = \sqrt{2x^2+1}\left(2 - \dfrac{3\ln(2x^2+1)}{\sqrt{2x^2+1}}\right) \to +\infty$, deoarece $\dfrac{\ln t}{\sqrt t} \to 0$ când $t \to +\infty$.

Fie $m > 2$.

• Pe $[-2, 2]$: $f$ crește pe $[-2, 0]$ și descrește pe $[0, 2]$, deci $f(x) \le f(0) = 2 < m$ — nicio soluție.
• Pe $(-\infty, -2)$: $f$ este strict descrescătoare, continuă, cu valori de la $+\infty$ până la $f(-2) \le 2$; deci ia valoarea $m$ exact o dată.
• Pe $(2, +\infty)$: $f$ este strict crescătoare, continuă, cu valori de la $f(2) \le 2$ până la $+\infty$; deci ia valoarea $m$ exact o dată.

(De fapt $f(\pm2) = 6 - 3\ln 9 < 2$, dar e suficient că $f(\pm 2) \le f(0) = 2$.) În total, ecuația $f(x) = m$ are exact două soluții pentru orice $m \in (2, +\infty)$.

Barem: 2p monotonia, 3p concluzia (limitele la $\pm\infty$, $f(0) = 2$, continuitatea).

2. $f:(-2, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = 4x^3 + \dfrac{1}{x + 2}$

a) $\displaystyle\int_1^2\left(f(x) - \frac{1}{x+2}\right)dx = 15$

$f(x) - \dfrac{1}{x+2} = 4x^3$, a cărei primitivă este $x^4$:

$\int_1^2 4x^3\,dx = x^4\Big|_1^2 = 16 - 1 = 15.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_1^e\frac{4\ln x}{f(x) - 4x^3}\,dx = e^2 + 9$

$f(x) - 4x^3 = \dfrac{1}{x+2}$, deci integrandul devine $4\ln x\cdot(x + 2) = (4x + 8)\ln x$. Integrăm prin părți, cu $u = \ln x$, $v' = 4x + 8$, $v = 2x^2 + 8x$:

$\int_1^e (4x+8)\ln x\,dx = (2x^2 + 8x)\ln x\,\Big|_1^e - \int_1^e (2x^2 + 8x)\cdot\frac1x\,dx = (2e^2 + 8e) - \int_1^e (2x + 8)\,dx.$

$\int_1^e (2x + 8)\,dx = (x^2 + 8x)\Big|_1^e = e^2 + 8e - 9.$

Rezultatul: $2e^2 + 8e - e^2 - 8e + 9 = e^2 + 9$.

Barem: 3p integrarea prin părți, 2p calculul final.

c) Aria pentru $g(x) = f(e^x) - 4e^{3x}$ între $x = 0$ și $x = 1$ este $\dfrac12\ln\dfrac{3e}{e+2}$

$f(e^x) = 4e^{3x} + \dfrac{1}{e^x + 2}$, deci $g(x) = \dfrac{1}{e^x + 2} > 0$. Aria este

$\mathcal A = \int_0^1 |g(x)|\,dx = \int_0^1\frac{1}{e^x + 2}\,dx.$

Truc: $\dfrac{1}{e^x + 2} = \dfrac12\cdot\dfrac{(e^x + 2) - e^x}{e^x + 2} = \dfrac12\left(1 - \dfrac{e^x}{e^x + 2}\right)$, iar $\dfrac{e^x}{e^x+2} = \dfrac{(e^x + 2)'}{e^x + 2}$ are primitiva $\ln(e^x + 2)$.

$\mathcal A = \frac12\Big(x - \ln(e^x + 2)\Big)\Big|_0^1 = \frac12\Big(1 - \ln(e + 2) + \ln 3\Big) = \frac12\left(1 - \ln\frac{e + 2}{3}\right).$

Cum $1 = \ln e$: $\mathcal A = \dfrac12\left(\ln e - \ln\dfrac{e+2}{3}\right) = \dfrac12\ln\dfrac{3e}{e + 2}$.

Barem: 3p expresia lui $g$ și primitiva, 2p finalizarea.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$1$
I.2	$a = 2$
I.3	$x \in \{2, 4\}$
I.4	$p = \frac15$
I.5	$a = 3$, $b = 4$
I.6	aria $= 6\sqrt3$
II.1.c	$n = 1$
II.2.b	câtul $X^2$, restul $X - 6$
II.2.c	$(1, 2)$ și $(5, 1)$
III.1.b	$y = 2$
III.2.c	$\frac12\ln\frac{3e}{e+2}$

Ce merită reținut din varianta 7

• Relații matriceale de tipul $A^2 = kA$: folosește-le ca să simplifici orice expresie polinomială în $A$, fără a mai calcula produse.
• Rădăcini opuse: din $f(x_1) = f(-x_1) = 0$ scrie suma (partea pară) și diferența (partea impară) — două ecuații simple.
• Număr exact de soluții: tabelul de variație + limitele la capete + valoarea extremului local.
• Integrale cu $\frac{1}{e^x + k}$: adaugă și scade $e^x$ la numărător ca să apară $\frac{(e^x + k)'}{e^x + k}$.