Rezolvare BAC 2011 Matematică M1 (mate-info) — August–Septembrie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică M1 (filiera teoretică, specializarea matematică-informatică), sesiunea august–septembrie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rația progresiei geometrice cu termeni pozitivi, $b_1 + b_2 = 6$, $b_3 + b_4 = 24$

$b_3 = b_1q^2$, $b_4 = b_2q^2$, deci $b_3 + b_4 = q^2(b_1 + b_2)$:

$24 = 6q^2 \iff q^2 = 4.$

Termenii fiind pozitivi, $q > 0$, deci $q = 2$.

Răspuns: $q = 2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

2. $a$ pentru care $f(x) = (1 - a^2)x + 4$ este constantă

$f$ este constantă $\iff$ coeficientul lui $x$ este nul: $1 - a^2 = 0 \iff a \in \{-1, 1\}$.

Răspuns: $a \in \{-1, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

3. Inecuația $\left(\frac32\right)^x < \left(\frac23\right)^x$

$\left(\frac23\right)^x = \left(\frac32\right)^{-x}$. Baza $\frac32 > 1$, deci funcția exponențială este strict crescătoare:

$x < -x \iff x < 0.$

Răspuns: $S = (-\infty, 0)$. Barem: 1p, 2p, 2p.

4. Numărul termenilor raționali ai dezvoltării $(1 + \sqrt2)^{10}$

$T_{k+1} = C_{10}^k\cdot 1^{10-k}\cdot(\sqrt2)^k = C_{10}^k\cdot 2^{k/2}, \quad k \in \{0, 1, \dots, 10\}.$

$T_{k+1} \in \mathbb Q \iff k$ par: $k \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$.

Răspuns: $6$ termeni raționali. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. Distanța de la $A(2,2)$ la dreapta $BC$, $B(1,0)$, $C(0,1)$

Ecuația dreptei prin tăieturi: $BC: x + y - 1 = 0$.

$d(A, BC) = \frac{|2 + 2 - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{3}{\sqrt2} = \frac{3\sqrt2}{2}.$

Răspuns: $\dfrac{3\sqrt2}{2}$. Barem: 2p, 3p.

6. $m(\angle A) = 60^\circ$, $AB = 4$, $AC = 5$; calculați $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\cdot AC\cdot\cos A = 4\cdot 5\cdot\frac12 = 10.$

Răspuns: $10$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $H = \{A \in \mathcal M_2(\mathbb R) \mid A^2 = A\}$

a) $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix} \in H$

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix},$

deci matricea aparține lui $H$. Barem: 4p, 1p.

b) Dacă $A \in H$, atunci $A^n \in H$

$(A^n)^2 = A^{2n} = (A^2)^n = A^n,$

deci $A^n \in H$. (De fapt, prin inducție $A^n = A$.) Barem: 2p, 3p.

c) $H$ este infinită

Pentru orice $x \in \mathbb R$:

$\begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 0\end{pmatrix},$

deci $H$ conține o infinitate de matrice distincte. $\blacksquare$ Barem: 4p, 1p.

2. $f = (X + i)^{10} + (X - i)^{10} = a_{10}X^{10} + \dots + a_1X + a_0$

a) Restul împărțirii lui $f$ la $X - i$

Restul este $f(i)$:

$f(i) = (2i)^{10} + 0^{10} = 2^{10}\cdot i^{10} = 1024\cdot(-1) = -1024.$

Răspuns: restul este $-2^{10} = -1024$. Barem: 2p, 3p.

b) Toți coeficienții lui $f$ sunt reali

Dezvoltăm cu binomul lui Newton:

$f = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k X^{10-k}\left(i^k + (-i)^k\right) = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k X^{10-k}\, i^k\left(1 + (-1)^k\right).$

• pentru $k$ impar, $1 + (-1)^k = 0$, coeficientul este $0 \in \mathbb R$;
• pentru $k = 2p$, coeficientul este $2C_{10}^{2p}\, i^{2p} = 2C_{10}^{2p}(-1)^p \in \mathbb R$. $\blacksquare$

Barem: 2p, 1p, 2p.

c) Toate rădăcinile lui $f$ sunt reale

Dacă $f(z) = 0$, atunci $(z + i)^{10} = -(z - i)^{10}$. Luând modulul: $|z + i|^{10} = |z - i|^{10}$, deci $|z + i| = |z - i|$.

Punctul de afix $z$ este egal depărtat de punctele de afixe $i$ și $-i$, deci se află pe mediatoarea segmentului lor, adică pe axa reală: $z \in \mathbb R$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^5 - 5x + 4$

a) $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}$

Limita este, prin definiție, $f'(2)$. $f'(x) = 5x^4 - 5$, deci $f'(2) = 80 - 5 = 75$.

Răspuns: $75$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) Graficul are un punct de inflexiune

$f''(x) = 20x^3$ se anulează în $x = 0$ și își schimbă semnul ($f'' < 0$ pe $(-\infty, 0)$, $f'' > 0$ pe $(0, +\infty)$). Deci $x = 0$ este punct de inflexiune (punctul $(0, 4)$). Barem: 3p, 2p.

c) Pentru $m \in (0, 8)$, $f(x) = m$ are exact trei soluții reale distincte

$f'(x) = 5(x^4 - 1) = 0 \iff x = \pm 1$. Tabelul de variație:

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$8$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

$f(-1) = -1 + 5 + 4 = 8$, $f(1) = 1 - 5 + 4 = 0$. Pentru $m \in (0, 8)$, $f$ fiind continuă și strict monotonă pe fiecare interval, ecuația are exact câte o soluție în $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ și $(1, +\infty)$: în total trei soluții distincte. $\blacksquare$ Barem: 1p, 2p, 2p.

2. $g(x) = e^{-x}$

a) $\displaystyle\int_0^1 g(x)\,dx$

$\int_0^1 e^{-x}\,dx = -e^{-x}\Big|_0^1 = 1 - \frac1e = \frac{e - 1}{e}.$

Răspuns: $\dfrac{e-1}{e}$. Barem: 3p, 2p.

b) $\displaystyle\int_0^1 x^5 g(x^3)\,dx$

Substituția $t = x^3$, $dt = 3x^2\,dx$; $x^5\,dx = x^3\cdot x^2\,dx = \frac{t}{3}\,dt$:

$\int_0^1 x^5 e^{-x^3}\,dx = \frac13\int_0^1 te^{-t}\,dt = \frac13\left(-te^{-t}\Big|_0^1 + \int_0^1 e^{-t}\,dt\right) = \frac13\left(-\frac1e + 1 - \frac1e\right) = \frac{e - 2}{3e}.$

Răspuns: $\dfrac{e-2}{3e}$. Barem: 2p, 3p.

c) Șirul $I_n = \displaystyle\int_1^n g(x^3)\,dx$ este convergent

Monotonie: $I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_n^{n+1} e^{-x^3}\,dx \ge 0$, deci șirul este crescător.

Mărginire: pentru $x \ge 1$, $x^3 \ge x$, deci $e^{-x^3} \le e^{-x}$:

$0 \le I_n \le \int_1^n e^{-x}\,dx = \frac1e - \frac{1}{e^n} < \frac1e.$

Șirul este monoton și mărginit, deci convergent (teorema lui Weierstrass). $\blacksquare$ Barem: 2p, 2p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$q = 2$
I.2	$a \in \{-1, 1\}$
I.3	$(-\infty, 0)$
I.4	$6$
I.5	$\tfrac{3\sqrt2}{2}$
I.6	$10$
II.2.a	$-1024$
III.1.a	$75$
III.2.a	$\tfrac{e-1}{e}$
III.2.b	$\tfrac{e-2}{3e}$

Ce merită reținut din varianta 2

• Limita $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ este derivata $f'(a)$ — nu calcula limita „de mână".
• Termeni raționali în $(a + \sqrt b)^n$: puterea radicalului trebuie să fie pară.
• $|z - a| = |z - b|$ înseamnă că $z$ se află pe mediatoarea segmentului $[ab]$.
• Convergența unui șir de integrale: monotonie (semnul integrandului) + mărginire (comparație cu o funcție mai simplă).