Rezolvare BAC 2018 Matematică M1 (mate-info) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2018 la Matematică M_mate-info, modelul oficial publicat de CNEE. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $n = \log_3(\sqrt7 - 2) + \log_3(\sqrt7 + 2)$ este natural

Suma de logaritmi în aceeași bază este logaritmul produsului:

$n = \log_3\big((\sqrt7-2)(\sqrt7+2)\big) = \log_3(7 - 4) = \log_3 3 = 1 \in \mathbb N.$

Barem: 3p produsul $(\sqrt7)^2 - 2^2$, 2p finalizarea.

2. Intersecția graficelor $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x^2 + 6x + 3$

Rezolvăm $f(x) = g(x)$:

$2x - 1 = x^2 + 6x + 3 \iff x^2 + 4x + 4 = 0 \iff (x+2)^2 = 0 \iff x = -2.$

Atunci $y = f(-2) = -4 - 1 = -5$.

Răspuns: punctul $(-2, -5)$ (graficele sunt tangente). Barem: 2p ecuația, 3p coordonatele.

3. Ecuația $(x+2)^3 = (2-x)^3$

Funcția $t \mapsto t^3$ este injectivă pe $\mathbb R$, deci

$x + 2 = 2 - x \iff 2x = 0 \iff x = 0.$

Răspuns: $x = 0$. Barem: 3p $x+2 = 2-x$, 2p soluția.

4. Numere de două cifre distincte cu cifre din $\{0,2,4,6,8\}$

• Cifra zecilor nu poate fi $0$: 4 alegeri ($2,4,6,8$).
• Cifra unităților trebuie să difere de cifra zecilor (dar poate fi $0$): 4 alegeri.

$4 \cdot 4 = 16 \text{ numere}.$

Răspuns: $16$. Barem: 2p cifra zecilor, 3p numărul total.

5. $2\overrightarrow{MN} + 3\overrightarrow{NP} = \vec 0$, $MN = 3$; calculați $MP$

Din relație, $\overrightarrow{NP} = -\dfrac23\overrightarrow{MN} = \dfrac23\overrightarrow{NM}$, deci $NP = \dfrac23\cdot 3 = 2$, iar $P$ se află pe segmentul $[MN]$ (vectorul $\overrightarrow{NP}$ are sensul lui $\overrightarrow{NM}$ și lungime mai mică).

$MP = MN - NP = 3 - 2 = 1.$

Răspuns: $MP = 1$. Barem: 2p $NP = 2$, 3p $MP = 1$.

6. Arătați că $\sin x + \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(2\pi - x) = 0$

Formulele de reducere: $\sin(\pi - x) = \sin x$, $\sin(\pi + x) = -\sin x$, $\sin(2\pi - x) = -\sin x$.

$\sin x + \sin x - \sin x - \sin x = 0.$

Barem: 3p formulele de reducere, 2p finalizarea.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x,y) = \begin{pmatrix} x & y & 1\\ 1 & x & y\\ x & 1 & y\end{pmatrix}$

a) $\det(A(2,3)) = 12$

$\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix} = 12 + 18 + 1 - 4 - 6 - 9 = 12.$

Barem: 2p scrierea determinantului, 3p calculul.

b) $\det(A(n^2, n)) \ge 0$ pentru orice $n$ natural

$\det\begin{pmatrix} n^2 & n & 1\\ 1 & n^2 & n\\ n^2 & 1 & n\end{pmatrix}.$

Adunăm coloanele la prima (fiecare linie are suma $n^2 + n + 1$) și scoatem factorul comun:

$= (n^2+n+1)\begin{vmatrix} 1 & n & 1\\ 1 & n^2 & n\\ 1 & 1 & n\end{vmatrix} = (n^2+n+1)\begin{vmatrix} 1 & n & 1\\ 0 & n^2-n & n-1\\ 0 & 1-n & n-1\end{vmatrix}.$

$= (n^2+n+1)\big[(n^2-n)(n-1) + (n-1)^2\big] = (n^2+n+1)(n-1)^2(n+1).$

Pentru $n$ natural, toți factorii sunt $\ge 0$, deci $\det \ge 0$. Barem: 3p calculul determinantului, 2p concluzia.

c) $x$ pentru care inversa lui $B = A(x,0)\cdot A(x,0)$ este $A(x,0)$

$A(x,0) = \begin{pmatrix} x & 0 & 1\\ 1 & x & 0\\ x & 1 & 0\end{pmatrix}$, deci

$B = \begin{pmatrix} x^2+x & 1 & x\\ 2x & x^2 & 1\\ x^2+1 & x & x\end{pmatrix}, \quad B\cdot A(x,0) = A(x,0)\cdot B = \begin{pmatrix} x^3+2x^2+1 & x & x^2+x\\ 3x^2+x & x^3+1 & 2x\\ x^3+x^2+2x & x^2+x & x^2+1\end{pmatrix}.$

$A(x,0)$ este inversa lui $B$ $\iff$ $B\cdot A(x,0) = I_3$. Elementul $(2,3)$ cere $2x = 0$, deci $x = 0$; pentru $x = 0$ matricea devine $I_3$ ✔.

Răspuns: $x = 0$. Barem: 3p produsul, 2p valoarea lui $x$.

2. $f = nX^n + X^2 - nX - 1$, $n \ge 3$

a) $f(1) = 0$

$f(1) = n + 1 - n - 1 = 0.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p finalizarea.

b) Pentru $n$ impar, $f$ este divizibil cu $X^2 - 1$

Pentru $n$ impar, $(-1)^n = -1$:

$f(-1) = -n + 1 + n - 1 = 0,$

deci $X + 1 \mid f$. Din a), $X - 1 \mid f$. Cum $X - 1$ și $X + 1$ sunt prime între ele, $X^2 - 1 = (X-1)(X+1) \mid f$. Barem: 2p $f(-1) = 0$, 3p concluzia.

c) Pentru $n \ge 5$, $f$ nu are rădăcini în $\mathbb Q \setminus \mathbb Z$

$f$ are coeficienți întregi, coeficient dominant $n$ și termen liber $-1$. O rădăcină rațională $\alpha = \dfrac pq$ (ireductibilă) are $p \mid -1$ și $q \mid n$; dacă $\alpha \notin \mathbb Z$, atunci $\alpha = \dfrac1d$ cu $d \in \mathbb Z\setminus\{\pm1\}$, $d \mid n$.

Din $f\left(\frac1d\right) = 0$, înmulțind cu $d^n$:

$\frac{n}{d^n} + \frac1{d^2} - \frac nd - 1 = 0 \ \Big|\cdot d^n \Rightarrow n + d^{n-2} - nd^{n-1} - d^n = 0 \Rightarrow d^{n-2}(d^2 + nd - 1) = n.$

Deci $d^{n-2} \mid n$, de unde $|d|^{n-2} \le n$. Dar $|d| \ge 2$, deci $|d|^{n-2} \ge 2^{n-2} > n$ pentru $n \ge 5$ ($2^3 = 8 > 5$ și inducție). Contradicție, deci $f$ nu are rădăcini în $\mathbb Q \setminus \mathbb Z$. $\blacksquare$

Barem: 1p forma rădăcinii, 2p $|d|^{n-2} \le n$, 2p contradicția.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \operatorname{arctg} x - x$

a) $f'(x) = -\dfrac{x^2}{x^2+1}$

$f'(x) = \frac{1}{x^2+1} - 1 = \frac{1 - x^2 - 1}{x^2+1} = -\frac{x^2}{x^2+1}.$

Barem: 2p derivarea, 3p forma finală.

b) Asimptota oblică spre $+\infty$

$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\operatorname{arctg} x}{x} - 1\right) = 0 - 1 = -1,$

$n = \lim_{x\to+\infty}\big(f(x) + x\big) = \lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg} x = \frac\pi2.$

Răspuns: $y = -x + \dfrac\pi2$. Barem: 2p panta, 3p ordonata la origine și ecuația.

c) $f(x) + g(x) = \dfrac\pi2$, unde $g(x) = \operatorname{arcctg} x + x$

$h(x) = f(x) + g(x) = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x$, iar

$h'(x) = \frac1{x^2+1} - \frac1{x^2+1} = 0,$

deci $h$ este constantă pe $\mathbb R$. Cum $h(0) = 0 + \dfrac\pi2 = \dfrac\pi2$, rezultă $h(x) = \dfrac\pi2$ pentru orice $x$. Barem: 3p derivata nulă, 2p constanta.

2. $f(x) = e^{-x^2}$

a) $\displaystyle\int_0^1 f(\sqrt x)\,dx = \frac{e-1}{e}$

$f(\sqrt x) = e^{-x}$:

$\int_0^1 e^{-x}\,dx = -e^{-x}\Big|_0^1 = -\frac1e + 1 = \frac{e-1}{e}.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) Orice primitivă $F$ a lui $f$ este concavă pe $(0, +\infty)$

$F' = f$, deci $F''(x) = f'(x) = -2x e^{-x^2} < 0$ pentru $x > 0$. Prin urmare $F$ este concavă pe $(0,+\infty)$. Barem: 2p $F' = f$, 3p semnul lui $F''$.

c) $I_n = \displaystyle\int_{1/n}^1 f(x)\,dx$ este convergent

Monotonie: $I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_{\frac1{n+1}}^{\frac1n} f(x)\,dx \ge 0$, deoarece $f > 0$ și $\frac1{n+1} < \frac1n$. Șirul este crescător.

Mărginire: $0 < e^{-x^2} \le 1$, deci $0 \le I_n \le \displaystyle\int_{1/n}^1 1\,dx = 1 - \frac1n < 1$.

Șir monoton și mărginit $\Rightarrow$ convergent (teorema lui Weierstrass). $\blacksquare$

Barem: 1p monotonia, 3p mărginirea, 1p concluzia.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$n = 1$
I.2	$(-2, -5)$
I.3	$x = 0$
I.4	$16$ numere
I.5	$MP = 1$
II.1.b	$\det = (n^2+n+1)(n-1)^2(n+1) \ge 0$
II.1.c	$x = 0$
III.1.b	$y = -x + \frac\pi2$
III.2.a	$\frac{e-1}{e}$
III.2.c	șir crescător și mărginit, deci convergent

Ce merită reținut din model

• Suma de logaritmi devine logaritmul produsului — caută conjugatele.
• Determinanți cu linii de sumă constantă: adună coloanele și scoate factorul comun.
• Rădăcini raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi: $p \mid$ termenul liber, $q \mid$ coeficientul dominant.
• $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac\pi2$: derivată nulă + o valoare.
• Convergența unui șir de integrale: monotonie din semnul integrandului + mărginire.