Rezolvare BAC 2019 Matematică M1 (mate-info) — Sesiune specială, varianta 8

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2019 la Matematică M_mate-info, sesiunea specială, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $z_1 = 3 - i$, $z_2 = 8 - 3i$: arătați că $|3z_1 - z_2| = 1$

$3z_1 - z_2 = 9 - 3i - 8 + 3i = 1$, deci modulul este $1$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x - 5$: determinați $a$ cu $f(a) + f(a + 1) = 35$

$(a - 5) + (a + 1 - 5) = 35 \iff 2a - 9 = 35 \iff a = 22$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $2\cdot 4^x - 4^{x+1} + 32 = 0$

$4^x(2 - 4) + 32 = 0 \iff 4^x = 16 \iff x = 2$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p, 2p.

4. Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să verifice $n(n+1) \ge 42$

10 cazuri posibile ($0, \dots, 9$). $5\cdot 6 = 30 < 42$, $6\cdot 7 = 42$ ✔, deci $n \in \{6, 7, 8, 9\}$ — 4 cazuri favorabile.

$p = \frac{4}{10} = \frac25.$

Barem: 2p, 2p, 1p.

5. $A(8,4)$, $B(0,6)$, $C(m, 5)$ cu $AC = CB$

Observăm că $5 = \frac{4 + 6}{2}$. Calcul direct: $AC^2 = (m - 8)^2 + 1$, $CB^2 = m^2 + 1$, deci $(m-8)^2 = m^2 \iff -16m + 64 = 0 \iff m = 4$ — $C$ este chiar mijlocul lui $AB$.

Răspuns: $m = 4$. Barem: 2p, 3p.

6. Ipotenuza $BC$, $AB = 6$, aria $= 24$

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC}{2} \Rightarrow 24 = 3AC \Rightarrow AC = 8$; Pitagora: $BC = \sqrt{36 + 64} = 10$.

Răspuns: $BC = 10$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix}a + 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ln(a+1)\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $a > 0$

a) $A(1)$ este triunghiulară: $\det A(1) = 2\cdot 1\cdot 1 = 2$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

b) $A(a)A(b) = \begin{pmatrix}(a+1)(b+1) & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ln(b+1) + \ln(a+1)\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

Cum $(a+1)(b+1) = (ab + a + b) + 1$ și $\ln(a+1) + \ln(b+1) = \ln\big((ab + a + b) + 1\big)$, produsul este $A(ab + a + b)$. $\blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

c) Din b), parametrul „$c + 1$” se înmulțește: $A(a)A(a) = A\big((a+1)^2 - 1\big)$, $A(a)^3 = A\big((a+1)^3 - 1\big)$.

$(a + 1)^3 - 1 = 7 \iff (a+1)^3 = 8 \iff a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 2p, 3p.

2. $f = X^3 + mX^2 - mX + 2$

a) $f(-2) = -8 + 4m + 2m + 2 = 6m - 6 = 0 \iff m = 1$. Barem: 3p, 2p.

b) Pentru $m = 1$, $-2$ este rădăcină; împărțind: $f = (X + 2)(X^2 - X + 1)$. Ecuația $x^2 - x + 1 = 0$ are $\Delta = -3$:

Răspuns: $x_1 = -2$, $x_{2,3} = \dfrac{1 \pm i\sqrt3}{2}$. Barem: 2p, 3p.

c) Amplificăm fiecare fracție cu $x_k$ (numitorul devine $x_1x_2x_3 = -2$):

$a = \frac{x_1^3 + mx_1^2 + x_2^3 + mx_2^2 + x_3^3 + mx_3^2}{x_1x_2x_3}.$

Din $f(x_k) = 0$: $x_k^3 + mx_k^2 = mx_k - 2$. Cu $x_1 + x_2 + x_3 = -m$:

$a = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3) - 6}{-2} = \frac{-m^2 - 6}{-2} = \frac{m^2 + 6}{2} \ge 3.\ \blacksquare$

Barem: 2p Viète, 3p calculul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = e^x(x^2 + 4x + 1)$

a) $f'(x) = e^x(x^2 + 4x + 1) + e^x(2x + 4) = e^x(x^2 + 6x + 5) = e^x(x + 5)(x + 1)$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) Tangenta paralelă cu $Ox \iff f'(x_0) = 0 \iff x_0 \in \{-5, -1\}$. Barem: 2p, 3p.

c) Tabelul de variație: $f$ crește pe $(-\infty, -5]$, scade pe $[-5, -1]$, crește pe $[-1, +\infty)$.

$\lim_{x\to-\infty}f(x) = 0,\quad f(-5) = e^{-5}(25 - 20 + 1) = \frac{6}{e^5},\quad f(-1) = e^{-1}(1 - 4 + 1) = -\frac2e,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.$

Pe $(-\infty, -5)$ valorile sunt $\left(0, \frac6{e^5}\right)$, pe $(-5, -1)$: $\left(-\frac2e, \frac6{e^5}\right)$, pe $(-1, +\infty)$: $\left(-\frac2e, +\infty\right)$. Trei soluții (câte una pe fiecare interval) $\iff a \in \left(0, \frac{6}{e^5}\right)$.

Răspuns: $a \in \left(0, \dfrac{6}{e^5}\right)$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = \dfrac{1}{\ln x}$, $x > 1$

a) Dacă $F$ e primitivă, $F'(x) = \frac{1}{\ln x} > 0$ pe $(1, +\infty)$ (deoarece $\ln x > 0$), deci $F$ este strict crescătoare. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

b) $\dfrac1x f(x) = \dfrac{(\ln x)'}{\ln x}$:

$\int_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}dx = \ln(\ln x)\Big|_e^{e^2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.$

Răspuns: $\ln 2$. Barem: 3p, 2p.

c) $g(x) = \ln x > 0$ pe $[e, a]$:

$\mathcal A = \int_e^a\ln x\,dx = (x\ln x - x)\Big|_e^a = a\ln a - a - (e - e) = a\ln a - a.$

$a\ln a - a = 2a \iff \ln a = 3 \iff a = e^3$ (și $e^3 > e$).

Răspuns: $a = e^3$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 22$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \tfrac25$
I.5	$m = 4$
I.6	$BC = 10$
II.1.c	$a = 1$
II.2.a	$m = 1$
II.2.b	$-2$, $\frac{1\pm i\sqrt3}{2}$
III.1.b	$x_0 \in \{-5, -1\}$
III.1.c	$a \in (0, \tfrac6{e^5})$
III.2.b	$\ln 2$
III.2.c	$a = e^3$

Ce merită reținut din varianta 8

• $A(a)A(b) = A(ab + a + b)$ înseamnă că $a + 1$ se înmulțește — scrie $a + 1 = t$.
• Expresii cu rădăcini: folosește $f(x_k) = 0$ pentru a coborî gradul.
• $\int\frac{1}{x\ln x}dx = \ln(\ln x)$.