Rezolvare BAC 2021 Matematică M1 (mate-info) — August–Septembrie, varianta 4

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2021 la Matematică M_mate-info, sesiunea august–septembrie, varianta 4. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Media aritmetică a numerelor $a = 2021 - \sqrt2$ și $b = 2021 + \sqrt2$

$m_a = \frac{a + b}{2} = \frac{2021 - \sqrt2 + 2021 + \sqrt2}{2} = \frac{2\cdot2021}{2} = 2021.$

Barem: 3p + 2p.

2. $f(x) = x^2 - 3x + 1$; $m$ cu $A(1, m) \in G_f$

$m = f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

Răspuns: $m = -1$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\log_3(\sqrt x + 3) + \log_3(\sqrt x - 3) = 2$

Condiții: $x \ge 0$ și $\sqrt x > 3$, adică $x > 9$.

$\log_3\big((\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)\big) = 2 \iff x - 9 = 9 \iff x = 18.$

$18 > 9$, deci convine. Răspuns: $x = 18$. Barem: 3p + 2p.

4. Câte elemente are o mulțime cu exact 16 submulțimi?

O mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi: $2^n = 16 \iff n = 4$.

Răspuns: 4 elemente. Barem: 3p + 2p.

5. $M(3,0)$, $N(8,3)$, $P(6,3)$; $Q$ cu $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ}$

Regula paralelogramului: $MNQP$ este paralelogram, deci $\vec r_Q = \vec r_N + \vec r_P - \vec r_M$:

$Q(8 + 6 - 3,\ 3 + 3 - 0) = Q(11, 6).$

Barem: 3p + 2p.

6. Triunghi ascuțitunghic cu $\sin2A\cdot\cos A = \sin A$; arătați că $A = \frac\pi4$

$\sin 2A = 2\sin A\cos A$, deci $2\sin A\cos^2A = \sin A$. Cum $\sin A \ne 0$, $\cos^2A = \frac12$. $A$ ascuțit $\Rightarrow \cos A = \frac{\sqrt2}{2}$, deci $A = \frac\pi4$. $\blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1 + \log_2a & 0 & 1\end{pmatrix}$, $a > 0$

a) $\det A(1) = 1$

$A(1) = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$ (pentru că $\log_21 = 0$). Matricea e inferior triunghiulară, deci $\det A(1) = 1\cdot1\cdot1 = 1$.

Barem: 2p + 3p.

b) $A(a)$ este inversabilă pentru orice $a > 0$

Dezvoltând după prima linie: $\det A(a) = 1\cdot\begin{vmatrix}a&0\\0&1\end{vmatrix} = a \ne 0$. Deci $A(a)$ e inversabilă. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

c) $\det\left(A(a) + A(a)^{-1}\right) \ge 8$

Notăm $c = 1 + \log_2 a$. Se verifică imediat prin înmulțire că

$A(a)^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac1a&0\\-c&0&1\end{pmatrix},\qquad A(a) + A(a)^{-1} = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&a + \frac1a&0\\0&0&2\end{pmatrix}.$

$\det\left(A(a) + A(a)^{-1}\right) = 4\left(a + \frac1a\right) \ge 4\cdot2 = 8,$

folosind $a + \frac1a \ge 2$ pentru $a > 0$ (inegalitatea mediilor). $\blacksquare$ Barem: 2p inversa, 3p finalizarea.

2. Legea $x\circ y = xy - m(x + y) + m(m + 1)$, $m > 0$

a) Pentru $m = 1$: $2\circ2 = 2$

$x\circ y = xy - (x + y) + 2$, deci $2\circ2 = 4 - 4 + 2 = 2$.

Barem: 3p + 2p.

b) Dacă $2\circ1 = 5$, atunci $2\circ5 = 1$

$2 - 3m + m^2 + m = 5 \iff m^2 - 2m - 3 = 0 \iff (m - 3)(m + 1) = 0,$

și cum $m > 0$, $m = 3$. Atunci $2\circ5 = 10 - 3\cdot7 + 3\cdot4 = 10 - 21 + 12 = 1$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

c) $x$ real cu $(mx^3)\circ(-mx^2) = m$ pentru orice $m > 0$

$-m^2x^5 - m(mx^3 - mx^2) + m^2 + m = m \iff m^2\left(-x^5 - x^3 + x^2 + 1\right) = 0.$

Cum $m > 0$: $x^5 + x^3 - x^2 - 1 = 0 \iff x^3(x^2 + 1) - (x^2 + 1) = 0 \iff (x^2 + 1)(x^3 - 1) = 0$, deci $x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0,\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = x^4 - 2 - 4\ln x$

a) $f'(x) = \dfrac{4(x^2+1)(x+1)(x-1)}{x}$

$f'(x) = 4x^3 - \frac4x = \frac{4(x^4 - 1)}{x} = \frac{4(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{x}.$

Barem: 3p + 2p.

b) Intervalele de monotonie

Pe $(0,\infty)$, $x^2 + 1 > 0$, $x + 1 > 0$, $x > 0$, deci semnul lui $f'$ este semnul lui $x - 1$:

• $f' \le 0$ pe $(0, 1]$ — $f$ descrescătoare pe $(0,1]$;
• $f' \ge 0$ pe $[1, \infty)$ — $f$ crescătoare pe $[1,\infty)$.

Barem: 2p + 3p.

c) $f(x) = 0$ are exact două soluții în $(0,\infty)$

$\lim\limits_{x\searrow0}f(x) = 0 - 2 - 4\cdot(-\infty) = +\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = +\infty$ ($x^4$ domină $\ln x$), iar $f(1) = 1 - 2 - 0 = -1 < 0$.

$f$ e continuă și strict descrescătoare pe $(0, 1)$, de la $+\infty$ la $-1$: exact o soluție în $(0,1)$. Analog, strict crescătoare pe $(1,\infty)$ de la $-1$ la $+\infty$: exact o soluție în $(1, \infty)$. Total: exact două soluții. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

2. $f(x) = 1 + \dfrac{2x}{x^4 + 1}$

a) $\displaystyle\int_0^1(x^4 + 1)f(x)dx = \frac{11}{5}$

$\int_0^1(x^4 + 1 + 2x)dx = \left(\frac{x^5}{5} + x + x^2\right)\Big|_0^1 = \frac15 + 1 + 1 = \frac{11}{5}.$

Barem: 3p + 2p.

b) Panta asimptotei oblice spre $+\infty$ a primitivei $F$

Panta este $m = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{F(x)}{x}$. Cum $F$ e crescătoare cu $F(x) \ge F(0) + x \to \infty$ (căci $f \ge 1$ pe $[0,\infty)$), aplicăm l'Hôpital ($\frac\infty\infty$):

$m = \lim_{x\to\infty}\frac{F'(x)}{1} = \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{2x}{x^4+1}\right) = 1.$

Răspuns: panta este $1$. Barem: 3p + 2p.

c) $G$ primitiva cu $G(0) = 0$; arătați că $\displaystyle\int_0^1xG(x)dx = \frac13 + \frac\pi8 - \frac14\ln2$

$\dfrac{2t}{t^4 + 1} = \dfrac{(t^2)'}{1 + (t^2)^2}$, deci

$G(x) = \int_0^x f(t)dt = x + \operatorname{arctg}(x^2).$

$\int_0^1 xG(x)dx = \int_0^1x^2dx + \int_0^1x\operatorname{arctg}(x^2)dx = \frac13 + \int_0^1 x\operatorname{arctg}(x^2)dx.$

Prin părți, cu $u = \operatorname{arctg}(x^2)$, $v = \frac{x^2}{2}$, $u' = \frac{2x}{x^4+1}$:

$\int_0^1x\operatorname{arctg}(x^2)dx = \frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\Big|_0^1 - \int_0^1\frac{x^3}{x^4 + 1}dx = \frac\pi8 - \frac14\ln(x^4 + 1)\Big|_0^1 = \frac\pi8 - \frac14\ln2.$

Deci $\displaystyle\int_0^1xG(x)dx = \frac13 + \frac\pi8 - \frac14\ln2$. $\blacksquare$ Barem: 2p $G$, 3p integrala.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$2021$
I.2	$m = -1$
I.3	$x = 18$
I.4	$4$ elemente
I.5	$Q(11, 6)$
II.2.c	$x = 1$
III.1.b	descrescătoare pe $(0,1]$, crescătoare pe $[1,\infty)$
III.2.b	panta $= 1$

Ce merită reținut din varianta 4

• Număr de soluții: monotonie pe intervale + semnul valorilor în capete/limite (Darboux).
• $\int\frac{2x}{1 + x^4}dx = \operatorname{arctg}(x^2)$ — substituția $t = x^2$.
• Panta asimptotei oblice a unei primitive $= \lim f(x)$ (l'Hôpital).
• $a + \frac1a \ge 2$ pentru $a > 0$.