Rezolvare BAC 2018 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2018 la Matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $2(3 - \sqrt5) + \sqrt{20} = 6$

Scoatem factorul de sub radical: $\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt5$.

$2(3 - \sqrt5) + 2\sqrt5 = 6 - 2\sqrt5 + 2\sqrt5 = 6.$

Barem: 2p $\sqrt{20} = 2\sqrt5$, 3p finalizarea.

2. $f(x) = 2x^2 + a - 2$; determinați $a$ cu $f(0) = 0$

$f(0) = a - 2 = 0 \iff a = 2$.

Răspuns: $a = 2$. Barem: 2p $f(0)$, 3p valoarea lui $a$.

3. Ecuația $\sqrt[3]{7 - x} = 1$

Ridicăm la puterea a treia (radicalul de ordin impar e definit pe tot $\mathbb R$): $7 - x = 1^3 = 1 \iff x = 6$.

Răspuns: $x = 6$. Barem: 3p, 2p.

4. După două ieftiniri succesive cu câte $50\%$, tricoul costă 10 lei. Prețul inițial

Fie $p$ prețul inițial. După prima ieftinire: $p - \frac{50}{100}p = \frac p2$. După a doua: $\frac p2 - \frac{50}{100}\cdot\frac p2 = \frac p4$.

$\frac p4 = 10 \iff p = 40.$

Răspuns: $40$ de lei. Barem: 2p prima ieftinire, 3p finalizarea.

5. $M(2,3)$, $N(0,3)$; lungimea $MN$

$MN = \sqrt{(0-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt4 = 2.$

Răspuns: $MN = 2$. Barem: 3p formula, 2p rezultatul.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $BC = 15$, $\sin C = \frac35$. Lungimea $AB$

$\sin C = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \dfrac{AB}{BC}$:

$\frac{AB}{15} = \frac35 \iff AB = 9.$

Răspuns: $AB = 9$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea de compoziție: $x * y = x + y - 3$.

1. $3 * (-4) = -4$

$3 * (-4) = 3 + (-4) - 3 = -1 - 3 = -4.$

Barem: 3p, 2p.

2. Legea este asociativă

$(x * y) * z = (x + y - 3) + z - 3 = x + y + z - 6,$ $x * (y * z) = x + (y + z - 3) - 3 = x + y + z - 6.$

Cele două expresii coincid pentru orice $x, y, z \in \mathbb R$, deci legea este asociativă. Barem: 2p, 3p.

3. $e = 3$ este element neutru

$x * 3 = x + 3 - 3 = x$ și $3 * x = 3 + x - 3 = x$ pentru orice $x$ real, deci $e = 3$ este elementul neutru. Barem: 2p, 3p.

4. $(a + 1010) * (1010 - a) = 1010 * 1010$

$(a + 1010) * (1010 - a) = a + 1010 + 1010 - a - 3 = 1010 + 1010 - 3 = 1010 * 1010.$

Barem: 3p calculul, 2p finalizarea.

5. $9^x = 3^x * 9$

$3^x * 9 = 3^x + 9 - 3 = 3^x + 6$. Notăm $t = 3^x > 0$; cum $9^x = t^2$:

$t^2 = t + 6 \iff t^2 - t - 6 = 0 \iff (t - 3)(t + 2) = 0.$

Cum $t > 0$, $t = 3$, deci $3^x = 3 \iff x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p ecuația, 2p soluția.

6. Numerele naturale $n$ cu $n * (n+1) \le 2$

$n + n + 1 - 3 \le 2 \iff 2n \le 4 \iff n \le 2.$

Răspuns: $n \in \{0, 1, 2\}$. Barem: 2p inecuația, 3p soluțiile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricele $M = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4\end{pmatrix}$, $I_2$ și $A(a) = aI_2 + M = \begin{pmatrix} a+1 & 3\\ 2 & a+4\end{pmatrix}$.

1. $\det M = -2$

$\det M = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4\end{vmatrix} = 1\cdot 4 - 3\cdot 2 = -2.$

Barem: 3p, 2p.

2. Suma elementelor matricei $A(2017)$

$A(2017) = \begin{pmatrix} 2018 & 3\\ 2 & 2021\end{pmatrix}, \quad 2018 + 3 + 2 + 2021 = 4044.$

Răspuns: $4044$. Barem: 3p matricea, 2p suma.

3. $M\cdot M = 5M + 2I_2$

$M\cdot M = \begin{pmatrix} 1+6 & 3+12\\ 2+8 & 6+16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 15\\ 10 & 22\end{pmatrix}, \quad 5M + 2I_2 = \begin{pmatrix} 5+2 & 15\\ 10 & 20+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 15\\ 10 & 22\end{pmatrix}.$

Barem: 3p $M\cdot M$, 2p finalizarea.

4. Inversa lui $A(1)$ este $\begin{pmatrix} \frac54 & -\frac34\\ -\frac12 & \frac12\end{pmatrix}$

$A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 5\end{pmatrix}$. Notăm $B$ matricea dată și verificăm:

$A(1)\cdot B = \begin{pmatrix} \frac52 - \frac32 & -\frac32 + \frac32\\ \frac52 - \frac52 & -\frac32 + \frac52\end{pmatrix} = I_2, \qquad B\cdot A(1) = \begin{pmatrix} \frac52 - \frac32 & \frac{15}{4} - \frac{15}{4}\\ -1 + 1 & -\frac32 + \frac52\end{pmatrix} = I_2.$

Deci $B = A(1)^{-1}$. (Sau: $\det A(1) = 4$ și $A^{-1} = \frac14\begin{pmatrix} 5 & -3\\ -2 & 2\end{pmatrix}$.) Barem: 2p, 3p.

5. Numerele $a$ cu $A(a)\cdot A(a) = A(a^2) + M\cdot M$

$A(a)\cdot A(a) = (aI_2 + M)^2 = a^2 I_2 + 2aM + M\cdot M,$

iar $A(a^2) + M\cdot M = a^2 I_2 + M + M\cdot M$. Egalitatea devine $2aM = M$, adică $2a = 1$.

Răspuns: $a = \dfrac12$. Barem: 2p dezvoltarea, 3p valoarea.

6. Numărul natural $m$ cu $\det(A(m)) < 4$

$\det A(m) = (m+1)(m+4) - 6 = m^2 + 5m - 2.$

$m^2 + 5m - 2 < 4 \iff m^2 + 5m - 6 < 0 \iff (m+6)(m-1) < 0 \iff m \in (-6, 1)$. Singurul număr natural este $m = 0$.

Răspuns: $m = 0$. Barem: 2p determinantul, 3p soluția.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 2$
I.3	$x = 6$
I.4	$40$ de lei
I.5	$MN = 2$
I.6	$AB = 9$
II.5	$x = 1$
II.6	$n \in \{0, 1, 2\}$
III.2	$4044$
III.5	$a = \tfrac12$
III.6	$m = 0$

Ce merită reținut din model

• Două ieftiniri de 50% nu înseamnă 100%: prețul se înjumătățește de două ori, deci devine $\frac14$ din cel inițial.
• Ecuații exponențiale de tip $9^x$, $3^x$: substituția $t = 3^x > 0$ duce la o ecuație de gradul al doilea.
• $(aI_2 + M)^2 = a^2I_2 + 2aM + M^2$ — merge pentru că $I_2$ comută cu orice matrice.
• Inversa unei matrice $2\times 2$: verifici produsul cu $I_2$ sau folosești $\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$.