Rezolvare BAC 2016 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 8

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt{48} - \sqrt{27} = \sqrt3$

$4\sqrt3 - 3\sqrt3 = \sqrt3.$

Barem: 2p, 3p.

2. Intersecția graficelor $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = 2 - x$

$2x - 1 = 2 - x \iff x = 1, \quad y = 1.$

Răspuns: $(1, 1)$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $3^{8 - 3x} = 9$

$8 - 3x = 2 \iff x = 2$. Barem: 3p, 2p.

4. Numere naturale pare de două cifre formate cu cifrele $5, 6, 7, 8, 9$

Cifra unităților: $6$ sau $8$ — 2 moduri; cifra zecilor: 5 moduri (cifrele se pot repeta). $2\cdot5 = 10$.

Răspuns: $10$. Barem: 2p, 3p.

5. $A(1,4)$, $B(5,4)$, $C(5,8)$: $AB = BC$

$AB = |5 - 1| = 4$ (aceeași ordonată), $BC = |8 - 4| = 4$ (aceeași abscisă). Barem: 2p, 3p.

6. Arătați că $\sin45^\circ\cdot\cos45^\circ + \cos60^\circ = 1$

$\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac12 = \frac12 + \frac12 = 1.$

Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x\circ y = xy - x - y + 1$.

1. $1\circ2016 = 0$

$2016 - 1 - 2016 + 1 = 0.$

Barem: 3p, 2p.

2. Legea este comutativă

$y\circ x = yx - y - x + 1 = x\circ y$. Barem: 2p, 3p.

3. $x\circ y = (x - 1)(y - 1)$

$xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1).$

Barem: 2p, 3p.

4. $(x - 1)\circ x = 0$

$(x - 2)(x - 1) = 0 \iff x \in \{1, 2\}$. Barem: 2p, 3p.

5. $x^2\circ x^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$

$x^2\circ x^2 = (x^2 - 1)^2 = \big((x-1)(x+1)\big)^2 = (x-1)^2(x+1)^2.$

Barem: 2p, 3p.

6. Numerele naturale $a, b$ cu $a\circ b = 3$

$(a - 1)(b - 1) = 3$, cu $a - 1, b - 1 \ge -1$ întregi: singurele descompuneri posibile sunt $1\cdot3$ și $3\cdot1$ (varianta $(-1)\cdot(-3)$ ar da $b = -2$).

Răspuns: $(a,b) \in \{(2,4), (4,2)\}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}$, $M(a) = A + aI_2$.

1. $\det A = 0$

$2\cdot(-2) - 1\cdot(-4) = 0$. Barem: 3p, 2p.

2. $a$ cu $\det(M(a)) = 16$

$\det\begin{pmatrix}2 + a & 1\\-4 & a - 2\end{pmatrix} = (a + 2)(a - 2) + 4 = a^2.$

$a^2 = 16 \iff a = \pm4$. Barem: 3p, 2p.

3. $M(-1) + M(0) + M(1) = 3A$

$(A - I_2) + A + (A + I_2) = 3A.$

Barem: 3p, 2p.

4. $M(a)\cdot M(b) = (a + b)A + abI_2$

$A\cdot A = \begin{pmatrix}4 - 4 & 2 - 2\\-8 + 8 & -4 + 4\end{pmatrix} = O_2$. Atunci

$(A + aI_2)(A + bI_2) = A^2 + (a + b)A + abI_2 = (a + b)A + abI_2.$

Barem: 2p $A^2$, 3p dezvoltarea.

5. $a$ pentru care $M(a)$ este inversabilă

$\det M(a) = a^2 \ne 0 \iff a \ne 0$. Răspuns: $a \in \mathbb R\setminus\{0\}$. Barem: 2p, 3p.

6. Ecuația $M(1)\cdot X = A$

$M(1) = \begin{pmatrix}3&1\\-4&-1\end{pmatrix}$, $\det = 1$, $M(1)^{-1} = \begin{pmatrix}-1&-1\\4&3\end{pmatrix}$.

$X = M(1)^{-1}A = \begin{pmatrix}-1&-1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix} = A.$

(Verificare: $M(1)A = A^2 + A = A$ ✔.) Răspuns: $X = A$. Barem: 2p inversa, 3p soluția.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$(1, 1)$
I.3	$x = 2$
I.4	$10$
II.4	$x \in \{1, 2\}$
II.6	$(2,4)$, $(4,2)$
III.2	$a = \pm4$
III.5	$a \ne 0$
III.6	$X = A = \begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 8

• Legea $(x-1)(y-1)$: $1$ este element absorbant ($1\circ x = 0$).
• Matrice nilpotente ($A^2 = O_2$) simplifică produsele $(A + aI)(A + bI)$.
• $\det(A + aI_2) = a^2 + a\operatorname{tr}A + \det A$ pentru $2\times2$.
• Ecuații în numere naturale: ține cont de semnele posibile ale factorilor.