Rezolvare BAC 2015 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_pedagogic, modelul oficial publicat de CNEE. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt{81} - \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt8 = 9$

$9 - 3\sqrt2 + 5\sqrt2 - 2\sqrt2 = 9.$

Barem: 3p scoaterea factorilor, 2p calculul.

2. $f(x) = x - m$; $m$ cu $f(2) = 0$

$f(2) = 2 - m = 0 \iff m = 2$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 + 1} = 1$

$x^2 + 1 = 1 \iff x = 0$, care verifică ecuația.

Răspuns: $x = 0$. Barem: 2p, 3p.

4. Profitul anual, știind că $5\%$ din el înseamnă $2000$ lei

$\frac{5}{100}x = 2000 \iff \frac{x}{20} = 2000 \iff x = 40\,000.$

Răspuns: $40\,000$ de lei. Barem: 3p ecuația, 2p soluția.

5. Dreapta prin $M(1,-1)$, paralelă cu $y = x - 1$

Panta este $1$: $y + 1 = x - 1 \iff y = x - 2$.

Răspuns: $y = x - 2$. Barem: 3p panta, 2p ecuația.

6. Arătați că $\sin30^\circ + \sqrt3\cos30^\circ = 2$

$\frac12 + \sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac12 + \frac32 = 2.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x * y = x + y - 2$.

1. $(-2) * 2$

$-2 + 2 - 2 = -2.$

Barem: 3p, 2p.

2. Legea este asociativă

$(x * y) * z = x + y + z - 4 = x * (y * z).$

Barem: 2p, 3p.

3. $e = 2$ este element neutru

$x * 2 = x + 2 - 2 = x$ și $2 * x = x$. Răspuns: da. Barem: 3p, 2p.

4. $(x + 1) * x = 3$

$x + 1 + x - 2 = 3 \iff 2x = 4 \iff x = 2.$

Barem: 3p, 2p.

5. Ecuația $9^x * 3^x = 0$

$9^x + 3^x - 2 = 0 \iff (3^x + 2)(3^x - 1) = 0.$

$3^x > 0$, deci $3^x = 1$ și $x = 0$. Răspuns: $x = 0$. Barem: 3p, 2p.

6. $x^2 * \dfrac{1}{x^2} \ge 0$ pentru $x \ne 0$

$x^2 + \frac1{x^2} - 2 = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^2} = \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \ge 0. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(a) = \begin{pmatrix}a & 1\\-1 & a\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(0))$

$\det\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} = 0 + 1 = 1.$

Barem: 3p, 2p.

2. $4A(1) - 3A(-1) = A(7)$

$4\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7&1\\-1&7\end{pmatrix} = A(7).$

Barem: 3p, 2p.

3. $a$ cu $\det(A(a)) = 10$

$\det A(a) = a^2 + 1 = 10 \iff a = \pm3.$

Răspuns: $a \in \{-3, 3\}$. Barem: 2p, 3p.

4. $\det(A(a) - I_2) > 0$ pentru orice $a$

$\det\begin{pmatrix}a - 1 & 1\\-1 & a - 1\end{pmatrix} = (a-1)^2 + 1 > 0. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

5. Inversa matricei $A(2)$

$\det A(2) = 5$:

$A^{-1}(2) = \frac15\begin{pmatrix}2 & -1\\1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac25 & -\frac15\\\frac15 & \frac25\end{pmatrix}.$

Barem: 2p, 3p.

6. Numărul matricelor $A(a)$, $a \in \mathbb Z$, cu $\det(A(a)) \le 401$

$a^2 + 1 \le 401 \iff a^2 \le 400 \iff -20 \le a \le 20.$

Sunt $41$ de valori întregi.

Răspuns: $41$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$m = 2$
I.3	$x = 0$
I.4	$40\,000$ lei
I.5	$y = x - 2$
II.1	$-2$
II.4	$x = 2$
II.5	$x = 0$
III.1	$1$
III.3	$a = \pm3$
III.5	$\begin{pmatrix}\frac25&-\frac15\\\frac15&\frac25\end{pmatrix}$
III.6	$41$

Ce merită reținut din model

• Procente: $p\%$ din $x$ înseamnă $\frac{p}{100}x$.
• Legea $x + y - 2$: neutrul este $2$.
• $a + \frac1a - 2 = \frac{(a-1)^2}{a}$ — inegalitate clasică.
• Matricele $\begin{pmatrix}a&1\\-1&a\end{pmatrix}$ au determinantul $a^2 + 1 > 0$, deci sunt mereu inversabile.