Rezolvare BAC 2014 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\left(\left(\frac13\right)^2 + 2\right) : \frac{19}{9} = 1$

$\frac19 + 2 = \frac{1 + 18}{9} = \frac{19}{9}, \qquad \frac{19}{9} : \frac{19}{9} = 1.$

Barem: 3p paranteza, 2p împărțirea.

2. Intersecția graficelor $f(x) = 2014 - x$ și $g(x) = x - 2014$

$2014 - x = x - 2014 \iff 2x = 4028 \iff x = 2014, \quad y = 0.$

Răspuns: $(2014, 0)$. Barem: 3p ecuația, 2p coordonatele.

3. Ecuația $9^{x^2 + 3x} = 9^{x - 1}$

$x^2 + 3x = x - 1 \iff x^2 + 2x + 1 = 0 \iff (x+1)^2 = 0 \iff x = -1.$

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p ecuația, 2p soluția.

4. Prețul unui aparat de $360$ lei după o reducere de $25\%$

Reducerea: $\dfrac{25}{100}\cdot360 = 90$ lei, deci noul preț este $360 - 90 = 270$ de lei.

Răspuns: $270$ de lei. Barem: 3p reducerea, 2p prețul.

5. Mijlocul segmentului $AB$, $A(-2,3)$, $B(2,3)$

$x_M = \frac{-2 + 2}{2} = 0, \qquad y_M = \frac{3 + 3}{2} = 3.$

Răspuns: $M(0, 3)$. Barem: 3p $x_M$, 2p $y_M$.

6. $BC$ în triunghiul dreptunghic în $A$ cu $AC = 6$, $\sin B = \frac35$

$\sin B = \dfrac{AC}{BC}$ (cateta opusă / ipotenuza):

$\frac35 = \frac{6}{BC} \iff BC = 10.$

Răspuns: $BC = 10$. Barem: 3p relația, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x * y = x + y + 11$.

1. $8 * (-3)$

$8 - 3 + 11 = 16.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p rezultatul.

2. Legea este asociativă

$(x * y) * z = (x + y + 11) + z + 11 = x + y + z + 22,$

$x * (y * z) = x + (y + z + 11) + 11 = x + y + z + 22.$

Barem: 2p, 3p.

3. $e = -11$ este element neutru

$x * (-11) = x - 11 + 11 = x, \qquad (-11) * x = -11 + x + 11 = x.$

Răspuns: da. Barem: 3p, 2p.

4. Numerele întregi $x$ cu $(x^2) * x = 121$

$x^2 + x + 11 = 121 \iff x^2 + x - 110 = 0 \iff (x - 10)(x + 11) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-11, 10\}$. Barem: 3p ecuația, 2p soluțiile.

5. $x * (x + 23) = (x * x) * 12$

$x * (x + 23) = 2x + 34, \qquad (x * x) * 12 = (2x + 11) + 12 + 11 = 2x + 34.$

Barem: 2p membrul stâng, 3p membrul drept.

6. Ecuația $\lg x * \lg x = 13$

Condiția $x > 0$. $2\lg x + 11 = 13 \iff \lg x = 1 \iff x = 10$.

Răspuns: $x = 10$. Barem: 2p ecuația, 3p soluția.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(a) = \begin{pmatrix}1 & a\\0 & 1\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(0))$

$A(0) = I_2$, $\det = 1\cdot1 - 0 = 1$. Barem: 3p, 2p.

2. $a$ cu $2A(a) + A(a - 3) = 3A(0)$

$\begin{pmatrix}2 & 2a\\0 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & a - 3\\0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3a - 3\\0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} \iff 3a - 3 = 0 \iff a = 1.$

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p egalitatea, 2p valoarea.

3. $A(1) + A(2) + \dots + A(9) = 9A(5)$

$\sum_{k=1}^9 A(k) = \begin{pmatrix}9 & 1 + 2 + \dots + 9\\0 & 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 45\\0 & 9\end{pmatrix} = 9\begin{pmatrix}1 & 5\\0 & 1\end{pmatrix} = 9A(5).$

Barem: 2p suma, 3p finalizarea.

4. $\det(A(a) + A(b)) = 4\det(A(a)\cdot A(b))$

$A(a) + A(b) = \begin{pmatrix}2 & a + b\\0 & 2\end{pmatrix} \Rightarrow \det = 4,$

$A(a)A(b) = \begin{pmatrix}1 & a + b\\0 & 1\end{pmatrix} \Rightarrow \det = 1.$

Deci $4 = 4\cdot1$. Barem: 2p primul determinant, 3p al doilea și concluzia.

5. $A(-a)$ este inversa lui $A(a)$

$A(a)A(-a) = \begin{pmatrix}1 & -a + a\\0 & 1\end{pmatrix} = I_2, \qquad A(-a)A(a) = \begin{pmatrix}1 & a - a\\0 & 1\end{pmatrix} = I_2.$

Răspuns: da. Barem: 3p, 2p.

6. $X = \begin{pmatrix}p & 2\\q & 1\end{pmatrix}$ cu $X\cdot A(a) = A(a)\cdot X$ pentru orice $a$

$XA(a) = \begin{pmatrix}p & pa + 2\\q & qa + 1\end{pmatrix}, \qquad A(a)X = \begin{pmatrix}p + qa & 2 + a\\q & 1\end{pmatrix}.$

Pentru orice $a$: $qa = 0 \Rightarrow q = 0$; $pa + 2 = 2 + a \Rightarrow p = 1$.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}$. Barem: 3p produsele, 2p valorile.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$(2014, 0)$
I.3	$x = -1$
I.4	$270$ lei
I.5	$M(0, 3)$
I.6	$BC = 10$
II.1	$16$
II.4	$x \in \{-11, 10\}$
II.6	$x = 10$
III.1	$1$
III.2	$a = 1$
III.6	$X = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 1

• Legea $x + y + c$: neutrul este $-c$, iar compunerile se reduc la sume.
• Matricele $A(a) = \begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$: $A(a)A(b) = A(a+b)$, deci $A(a)^{-1} = A(-a)$.
• „Pentru orice $a$”: identifică coeficienții lui $a$ și termenii liberi.
• Sinusul în triunghiul dreptunghic: cateta opusă / ipotenuză.