Rezolvare BAC 2015 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_pedagogic, sesiunea august–septembrie, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\left(2 + \left(\frac12\right)^4\right) : \frac{33}{16} = 1$

$2 + \frac1{16} = \frac{33}{16}, \qquad \frac{33}{16} : \frac{33}{16} = 1.$

Barem: 3p paranteza, 2p împărțirea.

2. $f(x) = x + a$; $a$ cu $f(2) + f(-2) = 4$

$(2 + a) + (-2 + a) = 2a = 4 \iff a = 2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p suma, 2p valoarea.

3. Ecuația $3^{x^2+2} = 3^{3x}$

$x^2 + 2 = 3x \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff x \in \{1, 2\}.$

Răspuns: $x \in \{1, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Prețul de $200$ lei după două scumpiri succesive cu $10\%$

• După prima: $200 + 20 = 220$ lei;
• după a doua: $220 + 22 = 242$ lei.

Răspuns: $242$ de lei. Barem: 2p, 3p.

5. Distanța $OM$, $M$ mijlocul lui $AB$, $A(-3,4)$, $B(3,4)$

$M(0, 4)$, deci $OM = 4$. Barem: 2p mijlocul, 3p distanța.

6. Aria triunghiului cu $\angle B = 45^\circ$, $AB = AC = \sqrt2$

$AB = AC \Rightarrow \angle C = \angle B = 45^\circ$, deci $\angle A = 90^\circ$:

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{2} = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x * y = x + y - 2015$.

1. $1007 * 1008 = 0$

$1007 + 1008 - 2015 = 0.$

Barem: 3p, 2p.

2. Legea este asociativă

$(x * y) * z = x + y + z - 4030 = x * (y * z).$

Barem: 2p, 3p.

3. $e = 2015$ este element neutru

$x * 2015 = x + 2015 - 2015 = x$ și $2015 * x = x$. Răspuns: da. Barem: 2p, 3p.

4. $x * x = 2015$

$2x - 2015 = 2015 \iff x = 2015.$

Barem: 3p, 2p.

5. $x * (x + 2015) = (x + 1007) * (x + 1008)$

$x * (x + 2015) = 2x + 2015 - 2015 = 2x, \qquad (x + 1007) * (x + 1008) = 2x + 2015 - 2015 = 2x.$

Barem: 2p, 3p.

6. Ecuația $5^x * 25^x = -1985$

$5^x + 25^x - 2015 = -1985 \iff (5^x)^2 + 5^x - 30 = 0.$

Cu $t = 5^x > 0$: $t^2 + t - 30 = 0 \iff t \in \{5, -6\}$. $t = -6$ nu convine; $5^x = 5 \Rightarrow x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 2p ecuația, 2p $x = 1$, 1p cazul $-6$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}a&b\\3&4\end{pmatrix}$.

1. $\det A = 3$

$1\cdot0 - (-1)\cdot3 = 3.$

Barem: 3p, 2p.

2. $a, b$ cu $B - A = 4I_2$

$\begin{pmatrix}a - 1 & b + 1\\0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix} \iff a = 5,\ b = -1.$

Barem: 3p, 2p.

3. Pentru $a = 0$: $b$ cu $\det B = 9$

$\det B = 0\cdot4 - 3b = -3b = 9 \iff b = -3.$

Barem: 3p, 2p.

4. $a, b$ cu $AB = BA$

$AB = \begin{pmatrix}a - 3 & b - 4\\3a & 3b\end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix}a + 3b & -a\\15 & -3\end{pmatrix}.$

Din $3a = 15$: $a = 5$; din $3b = -3$: $b = -1$. Verificare: $a - 3 = 2 = a + 3b$ și $b - 4 = -5 = -a$ ✔.

Răspuns: $a = 5$, $b = -1$. Barem: 2p produsele, 3p valorile.

5. Inversa lui $A$ este $\begin{pmatrix}0 & \frac13\\-1 & \frac13\end{pmatrix}$

$A\begin{pmatrix}0 & \frac13\\-1 & \frac13\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 + 1 & \frac13 - \frac13\\0 & 1\end{pmatrix} = I_2, \qquad \begin{pmatrix}0 & \frac13\\-1 & \frac13\end{pmatrix}A = \begin{pmatrix}1 & 0\\-1 + 1 & 1\end{pmatrix} = I_2.$

Barem: 3p, 2p.

6. Pentru $a = b = 1$: ecuația $B\cdot X = A$

$B = \begin{pmatrix}1&1\\3&4\end{pmatrix}$, $\det B = 1$, $B^{-1} = \begin{pmatrix}4&-1\\-3&1\end{pmatrix}$.

$X = B^{-1}A = \begin{pmatrix}4&-1\\-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -4\\0 & 3\end{pmatrix}.$

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}1&-4\\0&3\end{pmatrix}$. Barem: 3p inversa, 2p soluția.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 2$
I.3	$x \in \{1, 2\}$
I.4	$242$ lei
I.5	$OM = 4$
I.6	$1$
II.4	$x = 2015$
II.6	$x = 1$
III.2	$a = 5$, $b = -1$
III.3	$b = -3$
III.4	$a = 5$, $b = -1$
III.6	$X = \begin{pmatrix}1&-4\\0&3\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 1

• Scumpiri succesive: înmulțește cu $1{,}1$ de două ori ($200\cdot1{,}21 = 242$).
• Legea $x + y - c$: neutrul este $c$.
• Ecuații exponențiale cu $25^x$: $25^x = (5^x)^2$, substituție $t = 5^x > 0$.
• $BX = A$: $X = B^{-1}A$ (înmulțire la stânga).