Rezolvare BAC 2016 Matematică (pedagogic) — Rezervă, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_pedagogic, subiectul de rezervă, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $2\left(1 + \frac12\right)\left(1 + \frac13\right)\left(1 + \frac14\right) = 5$

$2\cdot\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54 = 5$

(produs telescopic: fiecare numărător se simplifică cu numitorul următor). Barem: 3p, 2p.

2. $x$ cu $f(x) \ge g(x)$, $f(x) = 3x - 2$, $g(x) = x + 4$

$3x - 2 \ge x + 4 \iff x \ge 3$. Răspuns: $[3, +\infty)$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $7^{x^2+3} = 7^{4x}$

$x^2 - 4x + 3 = 0 \iff x \in \{1, 3\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Profitul anual, știind că $5\%$ din el înseamnă $6000$ lei

$\dfrac{x}{20} = 6000 \iff x = 120\,000$. Răspuns: $120\,000$ de lei. Barem: 3p, 2p.

5. Perimetrul triunghiului $A(3,0)$, $B(6,4)$, $C(0,4)$

$AB = \sqrt{9 + 16} = 5, \quad AC = \sqrt{9 + 16} = 5, \quad BC = 6.$

$P = 5 + 5 + 6 = 16$. Barem: 2p, 3p.

6. Arătați că $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac12$

$\frac14 + \frac14 = \frac12.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x\circ y = x + y + 5$.

1. $(-1)\circ1 = 5$

$-1 + 1 + 5 = 5$. Barem: 3p, 2p.

2. Legea este asociativă

$(x\circ y)\circ z = x + y + z + 10 = x\circ(y\circ z)$. Barem: 2p, 3p.

3. $e = -5$ este element neutru

$x\circ(-5) = x - 5 + 5 = x$ și $(-5)\circ x = x$. Răspuns: da. Barem: 2p, 3p.

4. $x^2\circ x = 7$

$x^2 + x + 5 = 7 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff x \in \{-2, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

5. $(x^2 - y - 5)\circ(x - y^2) = (x - y)(x + y + 1)$

$(x^2 - y - 5) + (x - y^2) + 5 = x^2 - y^2 + x - y = (x-y)(x+y) + (x - y) = (x - y)(x + y + 1).$

Barem: 2p, 3p.

6. Numerele naturale $m, n$ cu $m\circ n = 6$

$m + n + 5 = 6 \iff m + n = 1$.

Răspuns: $(m,n) \in \{(0,1), (1,0)\}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(a) = \begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(0)) = 1$

$A(0) = I_2$. Barem: 3p, 2p.

2. $a$ cu $\det(A(a)) = 0$

$\det A(a) = 1 - a^2 = 0 \iff a = \pm1$. Barem: 2p, 3p.

3. $A(1)\cdot A(1) - 2A(1) = O_2$

$A(1)^2 = \begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix} = 2A(1).$

Barem: 3p, 2p.

4. $a$ cu $A(2)\cdot A(a) = 3A(1)$

$A(2)A(a) = \begin{pmatrix}1 + 2a & a + 2\\2 + a & 2a + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix} \iff a = 1.$

Barem: 3p, 2p.

5. $\det(A(a) - A(0)) \le 0$

$A(a) - A(0) = \begin{pmatrix}0 & a\\a & 0\end{pmatrix}, \qquad \det = -a^2 \le 0. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

6. $a, b$ cu $A(a)\cdot A(b) = O_2$

$A(a)A(b) = \begin{pmatrix}1 + ab & a + b\\a + b & 1 + ab\end{pmatrix} = O_2 \iff a + b = 0,\ ab = -1.$

Cu $b = -a$: $-a^2 = -1 \Rightarrow a = \pm1$.

Răspuns: $(a, b) \in \{(1, -1), (-1, 1)\}$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$[3, +\infty)$
I.3	$x \in \{1, 3\}$
I.4	$120\,000$ lei
I.5	$16$
II.4	$x \in \{-2, 1\}$
II.6	$(0,1)$, $(1,0)$
III.2	$a = \pm1$
III.4	$a = 1$
III.6	$(1,-1)$, $(-1,1)$

Ce merită reținut din varianta 5

• Produse telescopice $\left(1 + \frac1k\right) = \frac{k+1}{k}$.
• Legea $x + y + c$: neutrul este $-c$.
• Matricele $\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}$: $\det = 1 - a^2$, produsul are forma $\begin{pmatrix}1 + ab & a + b\\a + b & 1 + ab\end{pmatrix}$.
• Distanța între puncte pe orizontală/verticală se citește direct.