Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_pedagogic , sesiunea iunie–iulie, varianta 8 . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Arătați că 32 − 18 − 2 = 0 \sqrt{32} - \sqrt{18} - \sqrt2 = 0 32 − 18 − 2 = 0
32 = 4 2 , 18 = 3 2 ⇒ 4 2 − 3 2 − 2 = 0. \sqrt{32} = 4\sqrt2, \quad \sqrt{18} = 3\sqrt2 \Rightarrow 4\sqrt2 - 3\sqrt2 - \sqrt2 = 0. 32 = 4 2 , 18 = 3 2 ⇒ 4 2 − 3 2 − 2 = 0.
Barem: 2p, 3p.
2. Intersecția graficelor f ( x ) = x + 1 f(x) = x + 1 f ( x ) = x + 1 g ( x ) = 4 − 2 x g(x) = 4 - 2x g ( x ) = 4 − 2 x
x + 1 = 4 − 2 x ⟺ 3 x = 3 ⟺ x = 1 , y = 2. x + 1 = 4 - 2x \iff 3x = 3 \iff x = 1, \quad y = 2. x + 1 = 4 − 2 x ⟺ 3 x = 3 ⟺ x = 1 , y = 2.
Răspuns: ( 1 , 2 ) (1, 2) ( 1 , 2 ) Barem: 3p, 2p.
3. Ecuația 5 5 − 3 x = 25 5^{5 - 3x} = 25 5 5 − 3 x = 25
5 − 3 x = 2 ⟺ x = 1. 5 - 3x = 2 \iff x = 1. 5 − 3 x = 2 ⟺ x = 1.
Răspuns: x = 1 x = 1 x = 1 Barem: 3p, 2p.
4. Numere naturale pare de două cifre formate cu cifrele 1 , 2 , 3 , 4 , 5 1, 2, 3, 4, 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5
Cifra unităților trebuie să fie pară: 2 2 2 4 4 4
2 ⋅ 5 = 10. 2\cdot5 = 10. 2 ⋅ 5 = 10.
Răspuns: 10 10 10 Barem: 2p, 3p.
5. A ( 2 , 3 ) A(2,3) A ( 2 , 3 ) B ( 5 , 3 ) B(5,3) B ( 5 , 3 ) C ( 5 , 6 ) C(5,6) C ( 5 , 6 ) A B = B C AB = BC A B = B C
A B = 3 2 + 0 2 = 3 , B C = 0 2 + 3 2 = 3. AB = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3, \qquad BC = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3. A B = 3 2 + 0 2 = 3 , B C = 0 2 + 3 2 = 3.
Barem: 2p, 3p.
6. Arătați că sin 30 ∘ + sin 45 ∘ ⋅ cos 45 ∘ = 1 \sin30^\circ + \sin45^\circ\cdot\cos45^\circ = 1 sin 3 0 ∘ + sin 4 5 ∘ ⋅ cos 4 5 ∘ = 1
1 2 + 2 2 ⋅ 2 2 = 1 2 + 1 2 = 1. \frac12 + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac12 + \frac12 = 1. 2 1 + 2 2 ⋅ 2 2 = 2 1 + 2 1 = 1.
Barem: 3p valorile, 2p calculul.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
Legea pe R \mathbb R R x ∘ y = x y + x + y x\circ y = xy + x + y x ∘ y = x y + x + y
1. 2015 ∘ ( − 1 ) = − 1 2015\circ(-1) = -1 2015 ∘ ( − 1 ) = − 1
− 2015 + 2015 − 1 = − 1. -2015 + 2015 - 1 = -1. − 2015 + 2015 − 1 = − 1.
Barem: 3p, 2p.
2. Legea este asociativă
( x ∘ y ) ∘ z = ( x y + x + y ) z + x y + x + y + z = x y z + x y + x z + y z + x + y + z , (x\circ y)\circ z = (xy + x + y)z + xy + x + y + z = xyz + xy + xz + yz + x + y + z, ( x ∘ y ) ∘ z = ( x y + x + y ) z + x y + x + y + z = x y z + x y + x z + y z + x + y + z ,
x ∘ ( y ∘ z ) = x ( y z + y + z ) + x + y z + y + z = x y z + x y + x z + y z + x + y + z . x\circ(y\circ z) = x(yz + y + z) + x + yz + y + z = xyz + xy + xz + yz + x + y + z. x ∘ ( y ∘ z ) = x ( y z + y + z ) + x + y z + y + z = x y z + x y + x z + y z + x + y + z .
Barem: 2p, 3p.
3. e = 0 e = 0 e = 0
x ∘ 0 = 0 + x + 0 = x x\circ0 = 0 + x + 0 = x x ∘ 0 = 0 + x + 0 = x 0 ∘ x = x 0\circ x = x 0 ∘ x = x Răspuns: da. Barem: 2p, 3p.
4. x ∘ x = ( x + 1 ) 2 − 1 x\circ x = (x+1)^2 - 1 x ∘ x = ( x + 1 ) 2 − 1
x ∘ x = x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = ( x + 1 ) 2 − 1. x\circ x = x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 - 1 = (x+1)^2 - 1. x ∘ x = x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = ( x + 1 ) 2 − 1.
Barem: 2p, 3p.
5. Ecuația x ∘ x ∘ x ∘ x = 0 x\circ x\circ x\circ x = 0 x ∘ x ∘ x ∘ x = 0
Legea se scrie x ∘ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 x\circ y = (x+1)(y+1) - 1 x ∘ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 x ∘ x ∘ x ∘ x = ( x + 1 ) 4 − 1 x\circ x\circ x\circ x = (x+1)^4 - 1 x ∘ x ∘ x ∘ x = ( x + 1 ) 4 − 1
( x + 1 ) 4 = 1 ⟺ x + 1 = ± 1 ⟺ x ∈ { − 2 , 0 } . (x+1)^4 = 1 \iff x + 1 = \pm1 \iff x \in \{-2, 0\}. ( x + 1 ) 4 = 1 ⟺ x + 1 = ± 1 ⟺ x ∈ { − 2 , 0 } .
Răspuns: x ∈ { − 2 , 0 } x \in \{-2, 0\} x ∈ { − 2 , 0 } Barem: 2p expresia, 3p soluțiile.
6. x ∘ ( x + 1 ) ≥ x x\circ(x + 1) \ge x x ∘ ( x + 1 ) ≥ x x x x
x ∘ ( x + 1 ) − x = x ( x + 1 ) + x + ( x + 1 ) − x = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1 ) 2 ≥ 0. ■ x\circ(x + 1) - x = x(x+1) + x + (x + 1) - x = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \ge 0. \ \blacksquare x ∘ ( x + 1 ) − x = x ( x + 1 ) + x + ( x + 1 ) − x = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1 ) 2 ≥ 0. ■
Barem: 2p, 3p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
A ( a ) = ( a 2 1 a + 1 ) A(a) = \begin{pmatrix}a & 2\\1 & a+1\end{pmatrix} A ( a ) = ( a 1 2 a + 1 )
1. det ( A ( 0 ) ) = − 2 \det(A(0)) = -2 det ( A ( 0 )) = − 2
det ( 0 2 1 1 ) = 0 − 2 = − 2. \det\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix} = 0 - 2 = -2. det ( 0 1 2 1 ) = 0 − 2 = − 2.
Barem: 3p, 2p.
2. a a a det ( A ( a ) ) = 0 \det(A(a)) = 0 det ( A ( a )) = 0
det A ( a ) = a ( a + 1 ) − 2 = a 2 + a − 2 = ( a + 2 ) ( a − 1 ) . \det A(a) = a(a+1) - 2 = a^2 + a - 2 = (a + 2)(a - 1). det A ( a ) = a ( a + 1 ) − 2 = a 2 + a − 2 = ( a + 2 ) ( a − 1 ) .
Răspuns: a ∈ { − 2 , 1 } a \in \{-2, 1\} a ∈ { − 2 , 1 } Barem: 3p, 2p.
3. Inecuația det ( A ( a ) − I 2 ) < 0 \det(A(a) - I_2) < 0 det ( A ( a ) − I 2 ) < 0
det ( a − 1 2 1 a ) = a 2 − a − 2 = ( a − 2 ) ( a + 1 ) < 0 ⟺ a ∈ ( − 1 , 2 ) . \det\begin{pmatrix}a - 1 & 2\\1 & a\end{pmatrix} = a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) < 0 \iff a \in (-1, 2). det ( a − 1 1 2 a ) = a 2 − a − 2 = ( a − 2 ) ( a + 1 ) < 0 ⟺ a ∈ ( − 1 , 2 ) .
Răspuns: a ∈ ( − 1 , 2 ) a \in (-1, 2) a ∈ ( − 1 , 2 ) Barem: 2p, 3p.
4. ( 2 a + 1 ) A ( a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) = ( a 2 + a − 2 ) I 2 (2a + 1)A(a) - A(a)\cdot A(a) = (a^2 + a - 2)I_2 ( 2 a + 1 ) A ( a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) = ( a 2 + a − 2 ) I 2
( 2 a + 1 ) A ( a ) = ( 2 a 2 + a 4 a + 2 2 a + 1 2 a 2 + 3 a + 1 ) , A ( a ) A ( a ) = ( a 2 + 2 4 a + 2 2 a + 1 a 2 + 2 a + 3 ) . (2a+1)A(a) = \begin{pmatrix}2a^2 + a & 4a + 2\\2a + 1 & 2a^2 + 3a + 1\end{pmatrix}, \qquad A(a)A(a) = \begin{pmatrix}a^2 + 2 & 4a + 2\\2a + 1 & a^2 + 2a + 3\end{pmatrix}. ( 2 a + 1 ) A ( a ) = ( 2 a 2 + a 2 a + 1 4 a + 2 2 a 2 + 3 a + 1 ) , A ( a ) A ( a ) = ( a 2 + 2 2 a + 1 4 a + 2 a 2 + 2 a + 3 ) .
Diferența: ( a 2 + a − 2 0 0 a 2 + a − 2 ) = ( a 2 + a − 2 ) I 2 \begin{pmatrix}a^2 + a - 2 & 0\\0 & a^2 + a - 2\end{pmatrix} = (a^2 + a - 2)I_2 ( a 2 + a − 2 0 0 a 2 + a − 2 ) = ( a 2 + a − 2 ) I 2 Barem: 1p, 2p, 2p.
5. Inversa matricei A ( 2 ) A(2) A ( 2 )
A ( 2 ) = ( 2 2 1 3 ) A(2) = \begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix} A ( 2 ) = ( 2 1 2 3 ) det = 4 ≠ 0 \det = 4 \ne 0 det = 4 = 0
( A ( 2 ) ) − 1 = 1 4 ( 3 − 2 − 1 2 ) = ( 3 4 − 1 2 − 1 4 1 2 ) . \big(A(2)\big)^{-1} = \frac14\begin{pmatrix}3 & -2\\-1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac34 & -\frac12\\-\frac14 & \frac12\end{pmatrix}. ( A ( 2 ) ) − 1 = 4 1 ( 3 − 1 − 2 2 ) = ( 4 3 − 4 1 − 2 1 2 1 ) .
Barem: 2p determinantul, 3p inversa.
6. Numerele naturale m m m det ( A ( m ) ) ≤ 1 \det(A(m)) \le 1 det ( A ( m )) ≤ 1
m 2 + m − 2 ≤ 1 ⟺ m 2 + m − 3 ≤ 0 ⟺ m ∈ [ − 1 − 13 2 , − 1 + 13 2 ] . m^2 + m - 2 \le 1 \iff m^2 + m - 3 \le 0 \iff m \in \left[\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\right]. m 2 + m − 2 ≤ 1 ⟺ m 2 + m − 3 ≤ 0 ⟺ m ∈ [ 2 − 1 − 13 , 2 − 1 + 13 ] .
− 1 + 13 2 ≈ 1,3 \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \approx 1{,}3 2 − 1 + 13 ≈ 1 , 3 0 0 0 1 1 1 det A ( 0 ) = − 2 \det A(0) = -2 det A ( 0 ) = − 2 det A ( 1 ) = 0 \det A(1) = 0 det A ( 1 ) = 0 det A ( 2 ) = 4 \det A(2) = 4 det A ( 2 ) = 4
Răspuns: m ∈ { 0 , 1 } m \in \{0, 1\} m ∈ { 0 , 1 } Barem: 2p inecuația, 3p soluțiile.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.2 ( 1 , 2 ) (1, 2) ( 1 , 2 ) I.3 x = 1 x = 1 x = 1 I.4 10 10 10 II.1 − 1 -1 − 1 II.3 da, e = 0 e = 0 e = 0 II.5 x ∈ { − 2 , 0 } x \in \{-2, 0\} x ∈ { − 2 , 0 } III.2 a ∈ { − 2 , 1 } a \in \{-2, 1\} a ∈ { − 2 , 1 } III.3 a ∈ ( − 1 , 2 ) a \in (-1, 2) a ∈ ( − 1 , 2 ) III.5 ( 3 4 − 1 2 − 1 4 1 2 ) \begin{pmatrix}\frac34&-\frac12\\-\frac14&\frac12\end{pmatrix} ( 4 3 − 4 1 − 2 1 2 1 ) III.6 m ∈ { 0 , 1 } m \in \{0, 1\} m ∈ { 0 , 1 }
Ce merită reținut din varianta 8
Legea x y + x + y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 xy + x + y = (x+1)(y+1) - 1 x y + x + y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 : compunerea a n n n ( x + 1 ) n − 1 (x+1)^n - 1 ( x + 1 ) n − 1 Numere pare : alegi întâi cifra unităților.Inecuații de gradul 2 în parametru : semnul trinomului între rădăcini.Relația Cayley–Hamilton pentru 2 × 2 2\times2 2 × 2 A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I 2 = O 2 A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I_2 = O_2 A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I 2 = O 2