Rezolvare BAC 2017 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2017 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\left(1 + \left(\dfrac12\right)^3 - \dfrac14\right) : \dfrac78 = 1$

$1 + \frac18 - \frac14 = \frac{8 + 1 - 2}{8} = \frac78, \qquad \frac78 : \frac78 = 1.$

Barem: 3p paranteza, 2p împărțirea.

2. $f(x) = x + a$, $f(1) + f(-1) = 2$

$f(1) = 1 + a$, $f(-1) = -1 + a$, deci $2a = 2 \iff a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 2p, 3p.

3. $\log_6(x^2 + 2) = \log_6(3x)$

Condiție: $x > 0$. $x^2 + 2 = 3x \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff x \in \{1, 2\}$, ambele pozitive.

Răspuns: $x \in \{1, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Prețul de 300 lei, ieftinit de două ori succesiv cu câte $10\%$

După prima ieftinire: $300 - \dfrac{10}{100}\cdot 300 = 270$ lei. După a doua: $270 - 27 = 243$ lei.

Răspuns: 243 de lei. Barem: 3p, 2p.

5. Distanța $OM$, $M$ mijlocul lui $AB$, $A(-3, 2)$, $B(3, 2)$

$M\left(\dfrac{-3+3}{2}, \dfrac{2+2}{2}\right) = M(0, 2)$, deci $OM = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.

Răspuns: $OM = 2$. Barem: 3p, 2p.

6. Aria triunghiului $ABC$ cu $m(\angle C) = 45^\circ$ și $AB = AC = 2\sqrt3$

Triunghiul e isoscel cu $AB = AC$, deci $\angle B = \angle C = 45^\circ$ și $\angle A = 90^\circ$. Triunghiul este dreptunghic în $A$:

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{2\sqrt3\cdot 2\sqrt3}{2} = \frac{12}{2} = 6.$

Răspuns: $6$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea: $x * y = x + y - 6$.

1. $6 * 0 = 0$

$6 * 0 = 6 + 0 - 6 = 0$. Barem: 3p, 2p.

2. Comutativitatea

$x * y = x + y - 6 = y + x - 6 = y * x$ pentru orice $x, y$ reali. Barem: 3p, 2p.

3. $e = 6$ este element neutru

$x * 6 = x + 6 - 6 = x$ și $6 * x = x$, pentru orice $x$, deci da, $e = 6$ este elementul neutru. Barem: 2p, 3p.

4. $x * x * x = x$

$x * x = 2x - 6$, $x * x * x = 2x - 6 + x - 6 = 3x - 12$.

$3x - 12 = x \iff x = 6.$

Răspuns: $x = 6$. Barem: 2p, 3p.

5. $1 * 2 * 3 * \dots * 10 = 1$

Prin inducție, compunerea a $k$ numere este suma lor minus $6(k-1)$. Pentru $1, \dots, 10$:

$1 + 2 + \dots + 10 - 6\cdot 9 = 55 - 54 = 1.$

(Baremul grupează: $(1*2)*(3*4)*\dots = (-3)*1*5*9*13 = 1$.) Barem: 3p, 2p.

6. Numerele naturale pare nenule $n$ cu $\underbrace{n * n * \dots * n}_{6 \text{ ori}} < 6$

$\underbrace{n * \dots * n}_{6} = 6n - 6\cdot 5 = 6n - 30 < 6 \iff n < 6.$

$n$ par nenul: $n \in \{2, 4\}$.

Răspuns: $n \in \{2, 4\}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(a) = \begin{pmatrix} a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(1)) = -5$

$\det(A(1)) = 1\cdot 3 - 4\cdot 2 = 3 - 8 = -5.$

Barem: 3p, 2p.

2. $A(-a) + A(a) = 2A(0)$

$A(-a) + A(a) = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 8 & 6\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 0 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix} = 2A(0).$

Barem: 3p, 2p.

3. Inversa lui $A(3)$ este $\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 8 & -6 + 6\\ 12 - 12 & -8 + 9\end{pmatrix} = I_2,$

iar produsul în ordine inversă dă tot $\begin{pmatrix} 9 - 8 & 6 - 6\\ -12 + 12 & -8 + 9\end{pmatrix} = I_2$. Barem: 2p, 3p.

4. Valorile lui $a$ pentru care $A(a)$ este inversabilă

$\det(A(a)) = 3a - 8 \ne 0 \iff a \ne \dfrac83$.

Răspuns: $a \in \mathbb R \setminus \left\{\dfrac83\right\}$. Barem: 2p, 3p.

5. $A(a^2) - 4A(a) + 3A(1) = O_2$

Elementele fixe: $2 - 8 + 6 = 0$, $4 - 16 + 12 = 0$, $3 - 12 + 9 = 0$. Rămâne colțul stânga-sus:

$a^2 - 4a + 3 = 0 \iff (a - 1)(a - 3) = 0.$

Răspuns: $a \in \{1, 3\}$. Barem: 2p, 3p.

6. $\det(A(a) + A(2)) = a^2 - 15$

$\det\begin{pmatrix} a + 2 & 4\\ 8 & 6\end{pmatrix} = 6(a + 2) - 32 = 6a - 20.$

$6a - 20 = a^2 - 15 \iff a^2 - 6a + 5 = 0 \iff (a - 1)(a - 5) = 0$.

Răspuns: $a \in \{1, 5\}$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 1$
I.3	$x \in \{1, 2\}$
I.4	243 lei
I.5	$OM = 2$
I.6	aria $= 6$
II.3	da, $e = 6$
II.4	$x = 6$
II.6	$n \in \{2, 4\}$
III.4	$a \ne \tfrac83$
III.5	$a \in \{1, 3\}$
III.6	$a \in \{1, 5\}$

Ce merită reținut din varianta 2

• Legea $x + y - c$: compunerea a $k$ elemente este suma lor minus $c(k-1)$.
• Scumpiri/ieftiniri succesive se aplică pe prețul nou, nu pe cel inițial: două reduceri de $10\%$ nu înseamnă $20\%$.
• Inversabilitate: o matrice e inversabilă exact când determinantul e nenul.