Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2017 la Matematică M_pedagogic , sesiunea august–septembrie, varianta 10 . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Arătați că 9 25 − 33 55 = 0 \sqrt{\frac{9}{25}} - \frac{33}{55} = 0 25 9 − 55 33 = 0
9 25 = 3 5 \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac35 25 9 = 5 3 33 55 = 3 ⋅ 11 5 ⋅ 11 = 3 5 \dfrac{33}{55} = \dfrac{3\cdot11}{5\cdot11} = \dfrac35 55 33 = 5 ⋅ 11 3 ⋅ 11 = 5 3 3 5 − 3 5 = 0 \dfrac35 - \dfrac35 = 0 5 3 − 5 3 = 0
Barem: 2p radicalul, 3p finalizarea.
2. Inecuația 3 ( x − 1 ) < 6 3(x-1) < 6 3 ( x − 1 ) < 6 N ∗ \mathbb N^* N ∗
x − 1 < 2 ⟺ x < 3. x - 1 < 2 \iff x < 3. x − 1 < 2 ⟺ x < 3.
Răspuns: x ∈ { 1 , 2 } x \in \{1, 2\} x ∈ { 1 , 2 } Barem: 2p inecuația, 3p soluțiile naturale nenule.
3. Ecuația log 4 ( x 2 + 4 x + 6 ) = log 4 2 \log_4(x^2 + 4x + 6) = \log_4 2 log 4 ( x 2 + 4 x + 6 ) = log 4 2
Logaritmul este injectiv: x 2 + 4 x + 6 = 2 ⟺ x 2 + 4 x + 4 = 0 ⟺ ( x + 2 ) 2 = 0 ⟺ x = − 2 x^2 + 4x + 6 = 2 \iff x^2 + 4x + 4 = 0 \iff (x+2)^2 = 0 \iff x = -2 x 2 + 4 x + 6 = 2 ⟺ x 2 + 4 x + 4 = 0 ⟺ ( x + 2 ) 2 = 0 ⟺ x = − 2
Verificare: 4 − 8 + 6 = 2 > 0 4 - 8 + 6 = 2 > 0 4 − 8 + 6 = 2 > 0 Răspuns: x = − 2 x = -2 x = − 2 Barem: 3p ecuația, 2p soluția.
4. Numere impare de două cifre formate cu cifrele 1 , 2 , 3 , 4 , 5 1, 2, 3, 4, 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5
Cifrele se pot repeta (enunțul nu cere cifre distincte). Unitățile trebuie să fie impare: 1 , 3 , 5 1, 3, 5 1 , 3 , 5
3 ⋅ 5 = 15. 3\cdot5 = 15. 3 ⋅ 5 = 15.
Răspuns: 15. Barem: 2p cifra unităților, 3p finalizarea.
5. M ( 1 , 1 ) M(1,1) M ( 1 , 1 ) N ( 4 , 1 ) N(4,1) N ( 4 , 1 ) P ( 4 , 4 ) P(4,4) P ( 4 , 4 ) M N P MNP M N P
M N = ( 4 − 1 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 = 3 , N P = ( 4 − 4 ) 2 + ( 4 − 1 ) 2 = 3. MN = \sqrt{(4-1)^2 + (1-1)^2} = 3, \qquad NP = \sqrt{(4-4)^2 + (4-1)^2} = 3. M N = ( 4 − 1 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 = 3 , N P = ( 4 − 4 ) 2 + ( 4 − 1 ) 2 = 3.
M N = N P MN = NP M N = N P N N N Barem: 2p M N MN M N N P NP N P
6. Triunghi dreptunghic în A A A A B = 6 AB = 6 A B = 6 B C = 12 BC = 12 B C = 12 ∠ C = 30 ∘ \angle C = 30^\circ ∠ C = 3 0 ∘
sin C = A B B C = 6 12 = 1 2 . \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{12} = \frac12. sin C = B C A B = 12 6 = 2 1 .
C C C A A A m ( ∠ C ) = 30 ∘ m(\angle C) = 30^\circ m ( ∠ C ) = 3 0 ∘ Barem: 2p sin C \sin C sin C
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
Legea: x ∗ y = x y + 7 ( x + y ) + 42 x * y = xy + 7(x + y) + 42 x ∗ y = x y + 7 ( x + y ) + 42
1. 2 ∗ ( − 2 ) = 40 \sqrt2 * (-\sqrt2) = 40 2 ∗ ( − 2 ) = 40
2 ⋅ ( − 2 ) + 7 ( 2 − 2 ) + 42 = − 2 + 0 + 42 = 40. \sqrt2\cdot(-\sqrt2) + 7\big(\sqrt2 - \sqrt2\big) + 42 = -2 + 0 + 42 = 40. 2 ⋅ ( − 2 ) + 7 ( 2 − 2 ) + 42 = − 2 + 0 + 42 = 40.
Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.
2. x ∗ y = ( x + 7 ) ( y + 7 ) − 7 x * y = (x+7)(y+7) - 7 x ∗ y = ( x + 7 ) ( y + 7 ) − 7
x y + 7 x + 7 y + 49 − 7 = x ( y + 7 ) + 7 ( y + 7 ) − 7 = ( x + 7 ) ( y + 7 ) − 7. xy + 7x + 7y + 49 - 7 = x(y+7) + 7(y+7) - 7 = (x+7)(y+7) - 7. x y + 7 x + 7 y + 49 − 7 = x ( y + 7 ) + 7 ( y + 7 ) − 7 = ( x + 7 ) ( y + 7 ) − 7.
Barem: 2p scrierea 42 = 49 − 7 42 = 49 - 7 42 = 49 − 7
3. e = − 6 e = -6 e = − 6
x ∗ ( − 6 ) = ( x + 7 ) ( − 6 + 7 ) − 7 = x + 7 − 7 = x , ( − 6 ) ∗ x = 1 ⋅ ( x + 7 ) − 7 = x . x * (-6) = (x+7)(-6+7) - 7 = x + 7 - 7 = x, \qquad (-6) * x = 1\cdot(x+7) - 7 = x. x ∗ ( − 6 ) = ( x + 7 ) ( − 6 + 7 ) − 7 = x + 7 − 7 = x , ( − 6 ) ∗ x = 1 ⋅ ( x + 7 ) − 7 = x .
Pentru orice x x x e = − 6 e = -6 e = − 6 Barem: 2p + 3p.
4. 2 ∗ a = 65 2 * a = 65 2 ∗ a = 65
2 ∗ a = 9 ( a + 7 ) − 7 = 9 a + 56 = 65 ⟺ 9 a = 9 ⟺ a = 1. 2 * a = 9(a+7) - 7 = 9a + 56 = 65 \iff 9a = 9 \iff a = 1. 2 ∗ a = 9 ( a + 7 ) − 7 = 9 a + 56 = 65 ⟺ 9 a = 9 ⟺ a = 1.
Răspuns: a = 1 a = 1 a = 1 Barem: 3p expresia, 2p soluția.
5. ( log 2 x ) ∗ ( log 2 x ) = 42 (\log_2 x) * (\log_2 x) = 42 ( log 2 x ) ∗ ( log 2 x ) = 42 x > 0 x > 0 x > 0
( log 2 x + 7 ) 2 − 7 = 42 ⟺ ( log 2 x + 7 ) 2 = 49 ⟺ log 2 x + 7 = ± 7. (\log_2 x + 7)^2 - 7 = 42 \iff (\log_2 x + 7)^2 = 49 \iff \log_2 x + 7 = \pm7. ( log 2 x + 7 ) 2 − 7 = 42 ⟺ ( log 2 x + 7 ) 2 = 49 ⟺ log 2 x + 7 = ± 7.
log 2 x = 0 ⇒ x = 1 \log_2 x = 0 \Rightarrow x = 1 log 2 x = 0 ⇒ x = 1 log 2 x = − 14 ⇒ x = 2 − 14 \log_2 x = -14 \Rightarrow x = 2^{-14} log 2 x = − 14 ⇒ x = 2 − 14
Răspuns: x ∈ { 2 − 14 , 1 } x \in \{2^{-14}, 1\} x ∈ { 2 − 14 , 1 } Barem: 3p ecuația, 2p soluțiile.
6. Numerele întregi m m m m ∗ ( 2 − m ) ≥ 57 m * (2 - m) \ge 57 m ∗ ( 2 − m ) ≥ 57
m ∗ ( 2 − m ) = ( m + 7 ) ( 9 − m ) − 7 = − m 2 + 2 m + 63 − 7 = − m 2 + 2 m + 56. m * (2-m) = (m+7)(9-m) - 7 = -m^2 + 2m + 63 - 7 = -m^2 + 2m + 56. m ∗ ( 2 − m ) = ( m + 7 ) ( 9 − m ) − 7 = − m 2 + 2 m + 63 − 7 = − m 2 + 2 m + 56.
− m 2 + 2 m + 56 ≥ 57 ⟺ − m 2 + 2 m − 1 ≥ 0 ⟺ − ( m − 1 ) 2 ≥ 0 ⟺ m = 1. -m^2 + 2m + 56 \ge 57 \iff -m^2 + 2m - 1 \ge 0 \iff -(m-1)^2 \ge 0 \iff m = 1. − m 2 + 2 m + 56 ≥ 57 ⟺ − m 2 + 2 m − 1 ≥ 0 ⟺ − ( m − 1 ) 2 ≥ 0 ⟺ m = 1.
Răspuns: m = 1 m = 1 m = 1 Barem: 2p expresia, 3p soluția.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
Matricele: A = ( 6 − 5 − 1 1 ) A = \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -1 & 1\end{pmatrix} A = ( 6 − 1 − 5 1 ) B = ( 1 5 1 6 ) B = \begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 6\end{pmatrix} B = ( 1 1 5 6 )
1. det A = 1 \det A = 1 det A = 1
det A = 6 ⋅ 1 − ( − 1 ) ( − 5 ) = 6 − 5 = 1. \det A = 6\cdot1 - (-1)(-5) = 6 - 5 = 1. det A = 6 ⋅ 1 − ( − 1 ) ( − 5 ) = 6 − 5 = 1.
Barem: 3p scrierea, 2p calculul.
2. A ⋅ B − B ⋅ A = O 2 A\cdot B - B\cdot A = O_2 A ⋅ B − B ⋅ A = O 2
A ⋅ B = ( 6 − 5 30 − 30 − 1 + 1 − 5 + 6 ) = I 2 , B ⋅ A = ( 6 − 5 − 5 + 5 6 − 6 − 5 + 6 ) = I 2 . A\cdot B = \begin{pmatrix} 6 - 5 & 30 - 30\\ -1 + 1 & -5 + 6\end{pmatrix} = I_2, \qquad B\cdot A = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -5 + 5\\ 6 - 6 & -5 + 6\end{pmatrix} = I_2. A ⋅ B = ( 6 − 5 − 1 + 1 30 − 30 − 5 + 6 ) = I 2 , B ⋅ A = ( 6 − 5 6 − 6 − 5 + 5 − 5 + 6 ) = I 2 .
Diferența este I 2 − I 2 = O 2 I_2 - I_2 = O_2 I 2 − I 2 = O 2 B = A − 1 B = A^{-1} B = A − 1 Barem: 3p produsele, 2p finalizarea.
3. det ( A + x B ) = 1 − 3 x \det(A + xB) = 1 - 3x det ( A + x B ) = 1 − 3 x
A + x B = ( 6 + x − 5 + 5 x − 1 + x 1 + 6 x ) , A + xB = \begin{pmatrix} 6 + x & -5 + 5x\\ -1 + x & 1 + 6x\end{pmatrix}, A + x B = ( 6 + x − 1 + x − 5 + 5 x 1 + 6 x ) ,
det ( A + x B ) = ( 6 + x ) ( 1 + 6 x ) − 5 ( x − 1 ) ( x − 1 ) = 6 x 2 + 37 x + 6 − 5 x 2 + 10 x − 5 = x 2 + 47 x + 1. \det(A + xB) = (6+x)(1+6x) - 5(x-1)(x-1) = 6x^2 + 37x + 6 - 5x^2 + 10x - 5 = x^2 + 47x + 1. det ( A + x B ) = ( 6 + x ) ( 1 + 6 x ) − 5 ( x − 1 ) ( x − 1 ) = 6 x 2 + 37 x + 6 − 5 x 2 + 10 x − 5 = x 2 + 47 x + 1.
x 2 + 47 x + 1 = 1 − 3 x ⟺ x 2 + 50 x = 0 ⟺ x ( x + 50 ) = 0 x^2 + 47x + 1 = 1 - 3x \iff x^2 + 50x = 0 \iff x(x + 50) = 0 x 2 + 47 x + 1 = 1 − 3 x ⟺ x 2 + 50 x = 0 ⟺ x ( x + 50 ) = 0
Răspuns: x ∈ { − 50 , 0 } x \in \{-50, 0\} x ∈ { − 50 , 0 } Barem: 2p determinantul, 3p soluțiile.
4. A ⋅ ( x y ) = ( 7 − 1 ) A\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ -1\end{pmatrix} A ⋅ ( x y ) = ( 7 − 1 )
{ 6 x − 5 y = 7 − x + y = − 1 \begin{cases} 6x - 5y = 7\\ -x + y = -1\end{cases} { 6 x − 5 y = 7 − x + y = − 1
Din a doua: y = x − 1 y = x - 1 y = x − 1 6 x − 5 x + 5 = 7 ⇒ x = 2 6x - 5x + 5 = 7 \Rightarrow x = 2 6 x − 5 x + 5 = 7 ⇒ x = 2 y = 1 y = 1 y = 1
Răspuns: x = 2 x = 2 x = 2 y = 1 y = 1 y = 1 Barem: 3p sistemul, 2p soluția.
5. det ( A + B ) + det ( A − B ) = 2 ( det A + det B ) \det(A + B) + \det(A - B) = 2(\det A + \det B) det ( A + B ) + det ( A − B ) = 2 ( det A + det B )
A + B = ( 7 0 0 7 ) A + B = \begin{pmatrix} 7 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix} A + B = ( 7 0 0 7 ) A − B = ( 5 − 10 − 2 − 5 ) A - B = \begin{pmatrix} 5 & -10\\ -2 & -5\end{pmatrix} A − B = ( 5 − 2 − 10 − 5 )
det ( A + B ) + det ( A − B ) = 49 + ( − 25 − 20 ) = 49 − 45 = 4. \det(A+B) + \det(A-B) = 49 + (-25 - 20) = 49 - 45 = 4. det ( A + B ) + det ( A − B ) = 49 + ( − 25 − 20 ) = 49 − 45 = 4.
det B = 6 − 5 = 1 \det B = 6 - 5 = 1 det B = 6 − 5 = 1 2 ( det A + det B ) = 2 ⋅ 2 = 4 2(\det A + \det B) = 2\cdot2 = 4 2 ( det A + det B ) = 2 ⋅ 2 = 4 ■ \blacksquare ■ Barem: 2p matricele, 2p determinanții, 1p finalizarea.
6. X X X A ⋅ X − B = I 2 A\cdot X - B = I_2 A ⋅ X − B = I 2
A ⋅ X = I 2 + B A\cdot X = I_2 + B A ⋅ X = I 2 + B A − 1 = B A^{-1} = B A − 1 = B
X = A − 1 ( I 2 + B ) = B ( 2 5 1 7 ) = ( 1 5 1 6 ) ( 2 5 1 7 ) = ( 7 40 8 47 ) . X = A^{-1}(I_2 + B) = B\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 40\\ 8 & 47\end{pmatrix}. X = A − 1 ( I 2 + B ) = B ( 2 1 5 7 ) = ( 1 1 5 6 ) ( 2 1 5 7 ) = ( 7 8 40 47 ) .
Răspuns: X = ( 7 40 8 47 ) X = \begin{pmatrix} 7 & 40\\ 8 & 47\end{pmatrix} X = ( 7 8 40 47 ) Barem: 2p inversa, 3p matricea X X X
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.2 x ∈ { 1 , 2 } x \in \{1, 2\} x ∈ { 1 , 2 } I.3 x = − 2 x = -2 x = − 2 I.4 15 I.6 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ II.4 a = 1 a = 1 a = 1 II.5 x ∈ { 2 − 14 , 1 } x \in \{2^{-14}, 1\} x ∈ { 2 − 14 , 1 } II.6 m = 1 m = 1 m = 1 III.3 x ∈ { − 50 , 0 } x \in \{-50, 0\} x ∈ { − 50 , 0 } III.4 x = 2 x = 2 x = 2 y = 1 y = 1 y = 1 III.6 X = ( 7 40 8 47 ) X = \begin{pmatrix}7&40\\8&47\end{pmatrix} X = ( 7 8 40 47 )
Ce merită reținut din varianta 10
Legea ( x + a ) ( y + a ) − a (x+a)(y+a) - a ( x + a ) ( y + a ) − a are elementul neutru 1 − a 1 - a 1 − a Inecuațiile care se reduc la − ( m − 1 ) 2 ≥ 0 -(m-1)^2 \ge 0 − ( m − 1 ) 2 ≥ 0 au o singură soluție: pătratul trebuie să fie 0 0 0 Când A B = I 2 AB = I_2 A B = I 2 , B B B A A A La numărare , verifică dacă cifrele trebuie să fie distincte sau nu.