Rezolvare BAC 2016 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_pedagogic, sesiunea august–septembrie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt{25} + \sqrt{64} - \sqrt{169} = 0$

$5 + 8 - 13 = 0.$

Barem: 3p radicalii, 2p calculul.

2. Inecuația $3(x + 2) \le 9$

$x + 2 \le 3 \iff x \le 1$. Răspuns: $x \in (-\infty, 1]$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\log_3(2x - 8) = \log_3 2$

Condiția $2x - 8 > 0$, adică $x > 4$. $2x - 8 = 2 \iff x = 5$, care convine.

Răspuns: $x = 5$. Barem: 3p, 2p.

4. Prețul de $1000$ lei după două ieftiniri succesive cu $10\%$

$1000 \to 900 \to 810$ lei. Răspuns: $810$ lei. Barem: 3p, 2p.

5. $A(0,3)$, $B(5,6)$, $C(5,3)$: $AOCB$ este paralelogram

Diagonalele $AC$ și $OB$ au același mijloc:

$\text{mijlocul lui } AC: \left(\tfrac52, 3\right), \qquad \text{mijlocul lui } OB: \left(\tfrac52, 3\right).$

Un patrulater ale cărui diagonale se înjumătățesc este paralelogram. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

6. Aria triunghiului cu $\angle A = 60^\circ$, $AB = AC = 6$

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2} = \frac{6\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2} = 9\sqrt3.$

Răspuns: $9\sqrt3$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x * y = x + y - 5$.

1. $(-2) * 7 = 0$

$-2 + 7 - 5 = 0.$

Barem: 3p, 2p.

2. Legea este asociativă

$(x * y) * z = x + y + z - 10 = x * (y * z).$

Barem: 2p, 3p.

3. $(1 * 2) * (8 * 9) = (1 * 9) * (2 * 8)$

$(1*2)*(8*9) = (-2)*12 = 5, \qquad (1*9)*(2*8) = 5 * 5 = 5.$

Barem: 2p, 3p.

4. $(x * x) * x = x$

$(x * x) * x = 3x - 10 = x \iff x = 5$. Răspuns: $x = 5$. Barem: 3p, 2p.

5. $9^x * 3^x = 7$

$9^x + 3^x - 5 = 7 \iff (3^x)^2 + 3^x - 12 = 0 \iff (3^x + 4)(3^x - 3) = 0.$

$3^x > 0$, deci $3^x = 3$ și $x = 1$. Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p, 2p.

6. $x^2 * \dfrac{1}{x^2} \ge -3$ pentru $x \ne 0$

$x^2 + \frac{1}{x^2} - 5 \ge -3 \iff x^2 + \frac1{x^2} - 2 \ge 0 \iff \left(x - \frac1x\right)^2 \ge 0,$

adevărat. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(a) = \begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

1. $\det B = 1$

$1\cdot1 - 1\cdot0 = 1$. Barem: 3p, 2p.

2. $a$ cu $\det(aA(a)) = 0$

$aA(a) = \begin{pmatrix}a^2 & a\\2a & 3a\end{pmatrix}, \qquad \det = 3a^3 - 2a^2 = a^2(3a - 2).$

Răspuns: $a \in \left\{0, \frac23\right\}$. Barem: 3p, 2p.

3. Valorile lui $a$ pentru care $A(a)$ este inversabilă

$\det A(a) = 3a - 2 \ne 0 \iff a \ne \frac23$. Răspuns: $a \in \mathbb R\setminus\left\{\frac23\right\}$. Barem: 2p, 3p.

4. $A(a - 1) + A(a + 1) = 2A(a)$

$\begin{pmatrix}a - 1 & 1\\2 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a + 1 & 1\\2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a & 2\\4 & 6\end{pmatrix} = 2A(a).$

Barem: 2p, 3p.

5. $a$ cu $\det(A(a) + B) = a + 3$

$A(a) + B = \begin{pmatrix}a + 1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}, \quad \det = 4(a + 1) - 4 = 4a.$

$4a = a + 3 \iff a = 1$. Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p, 2p.

6. Ecuația $X\cdot A(1) = B$

$A(1) = \begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$, $\det = 1$, $A(1)^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -1\\-2 & 1\end{pmatrix}$. Înmulțim la dreapta:

$X = B\cdot A(1)^{-1} = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\-2 & 1\end{pmatrix}.$

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$. Barem: 3p inversa, 2p soluția.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$(-\infty, 1]$
I.3	$x = 5$
I.4	$810$ lei
I.6	$9\sqrt3$
II.4	$x = 5$
II.5	$x = 1$
III.2	$a \in \{0, \frac23\}$
III.3	$a \ne \frac23$
III.5	$a = 1$
III.6	$X = \begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 2

• Paralelogram din coordonate: diagonalele au același mijloc.
• Legea $x + y - 5$: compunerea a $n$ elemente dă $\sum x_i - 5(n-1)$.
• $\det(kA) = k^2\det A$ pentru matrice $2\times2$.
• $XA = B$: $X = BA^{-1}$ (înmulțire la dreapta).