Rezolvare BAC 2016 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_pedagogic, modelul oficial publicat de CNEE. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\frac1{10} + \frac1{100} + \frac1{1000} = 0{,}111$

$0{,}1 + 0{,}01 + 0{,}001 = 0{,}111.$

Barem: 3p, 2p.

2. $x$ cu $f(x) \ge g(x)$, $f(x) = 2x - 1$, $g(x) = x + 1$

$2x - 1 \ge x + 1 \iff x \ge 2$. Răspuns: $x \in [2, +\infty)$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $2^{x^2} = 2^{4x - 3}$

$x^2 = 4x - 3 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff x \in \{1, 3\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Profitul anual, știind că $5\%$ din el înseamnă $5000$ lei

$\dfrac{x}{20} = 5000 \iff x = 100\,000$. Răspuns: $100\,000$ de lei. Barem: 3p, 2p.

5. Aria triunghiului $A(4,0)$, $B(8,3)$, $C(0,3)$

$BC$ este orizontală ($y = 3$), cu $BC = 8$; înălțimea din $A$ este distanța de la $A$ la dreapta $y = 3$, adică $3$.

$\mathcal A = \frac{8\cdot3}{2} = 12.$

Barem: 3p, 2p.

6. Arătați că $2\sin^2 30^\circ + 2\cos^2 60^\circ = 1$

$2\cdot\frac14 + 2\cdot\frac14 = 1.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x\circ y = xy + 3x + 3y + 6$ (asociativă).

1. $0\circ(-3) = -3$

$0 + 0 - 9 + 6 = -3.$

Barem: 2p, 3p.

2. $x\circ y = (x + 3)(y + 3) - 3$

$xy + 3x + 3y + 9 - 3 = x(y + 3) + 3(y + 3) - 3 = (x+3)(y+3) - 3.$

Barem: 2p, 3p.

3. $(-3)\circ x = -3$

$0\cdot(x + 3) - 3 = -3$. Barem: 3p, 2p.

4. $e = -2$ este element neutru

$x\circ(-2) = (x + 3)\cdot1 - 3 = x$ și $(-2)\circ x = x$. Răspuns: da. Barem: 2p, 3p.

5. $(-2016)\circ(-2015)\circ\dots\circ(-3)$

Din 3) și comutativitate, $x\circ(-3) = -3$ pentru orice $x$. Grupând:

$\big((-2016)\circ\dots\circ(-4)\big)\circ(-3) = -3.$

Răspuns: $-3$. Barem: 2p, 3p.

6. Ecuația $x\circ x\circ x = 5$

$(x + 3)^3 - 3 = 5 \iff (x + 3)^3 = 8 \iff x = -1.$

Răspuns: $x = -1$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}$.

1. $\det A = 1$

$5 - 4 = 1$. Barem: 3p, 2p.

2. $A^2 - 6A = -I_2$

$A^2 = \begin{pmatrix}29 & 12\\12 & 5\end{pmatrix}, \qquad A^2 - 6A = \begin{pmatrix}29 - 30 & 12 - 12\\12 - 12 & 5 - 6\end{pmatrix} = -I_2.$

Barem: 2p, 3p.

3. $x$ cu $\det(xA) = 4$

$\det(xA) = x^2\det A = x^2 = 4 \iff x = \pm2$. Barem: 3p, 2p.

4. $\det(A^2 - 6A + aI_2) \ge 0$

Din 2): $A^2 - 6A + aI_2 = (a - 1)I_2$, deci $\det = (a-1)^2 \ge 0$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

5. Inversa matricei $B = A + I_2$

$B = \begin{pmatrix}6&2\\2&2\end{pmatrix}$, $\det B = 8$:

$B^{-1} = \frac18\begin{pmatrix}2 & -2\\-2 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac14 & -\frac14\\-\frac14 & \frac34\end{pmatrix}.$

Barem: 2p, 3p.

6. $X = \begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix} \in \mathcal M_2(\mathbb Z)$ cu $\det X = 8$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 8$. Factorii $a - b$ și $a + b$ au aceeași paritate (suma lor $2a$ este pară), deci ambii sunt pari: $(a-b, a+b) \in \{(2,4), (4,2), (-2,-4), (-4,-2)\}$, adică

$(a,b) \in \{(3,1), (3,-1), (-3,-1), (-3,1)\}.$

Răspuns: $\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-3&-1\\-1&-3\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-3&1\\1&-3\end{pmatrix}$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$[2, +\infty)$
I.3	$x \in \{1, 3\}$
I.4	$100\,000$ lei
I.5	$12$
II.1	$-3$
II.5	$-3$
II.6	$x = -1$
III.3	$x = \pm2$
III.5	$\begin{pmatrix}\frac14&-\frac14\\-\frac14&\frac34\end{pmatrix}$
III.6	4 matrice

Ce merită reținut din model

• Legea $(x+3)(y+3) - 3$: neutrul $-2$, elementul absorbant $-3$.
• $A^2 - 6A = -I_2$ (Cayley–Hamilton) simplifică orice expresie polinomială în $A$.
• Ecuații diofantice $a^2 - b^2 = n$: factorii $a - b$, $a + b$ au aceeași paritate.
• Aria cu o latură paralelă cu o axă: baza și înălțimea se citesc direct din coordonate.