Rezolvare BAC 2019 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2019 la Matematică M_pedagogic, modelul oficial publicat de minister. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $2\sqrt3 - \sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt5 + \sqrt4 - \sqrt{12} = 2$

$\sqrt{20} = 2\sqrt5$, $\sqrt{45} = 3\sqrt5$, $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\sqrt4 = 2$:

$(2\sqrt3 - 2\sqrt3) + (-2\sqrt5 + 3\sqrt5 - \sqrt5) + 2 = 2.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = x + 7$: calculați $f(a)$, unde $a = f(3) - f(1)$

$a = 10 - 8 = 2$, $f(2) = 9$.

Răspuns: $9$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\sqrt{2x^2 + 4x + 1} = x + 1$

Ridicăm la pătrat: $2x^2 + 4x + 1 = x^2 + 2x + 1 \iff x(x + 2) = 0$. Trebuie $x + 1 \ge 0$: $x = -2$ nu convine, $x = 0$ convine ($\sqrt1 = 1$).

Răspuns: $x = 0$. Barem: 2p, 3p.

4. Două ieftiniri succesive cu câte $50\%$: prețul final 100 de lei

După prima: $\frac x2$; după a doua: $\frac x4$. $\frac x4 = 100 \iff x = 400$.

Răspuns: $400$ de lei. Barem: 2p, 3p.

5. Mediana din $M$ în $\triangle MNP$, $M(-2,-2)$, $N(-2,0)$, $P(0,-4)$

Mijlocul lui $NP$: $Q(-1, -2)$. $MQ = \sqrt{(-1 + 2)^2 + 0^2} = 1$.

Răspuns: $1$. Barem: 3p, 2p.

6. $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, $BC = 10$, $\angle B = 30^\circ$: lungimea $AB$

$\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt3}{2} = \frac{AB}{10} \Rightarrow AB = 5\sqrt3$.

Răspuns: $AB = 5\sqrt3$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea asociativă: $x * y = 2xy - 2x - 2y + 3$.

1. $2 * 2 = 3$

$8 - 4 - 4 + 3 = 3$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $x * y = 2(x-1)(y-1) + 1$

$2xy - 2x - 2y + 2 + 1 = 2x(y - 1) - 2(y - 1) + 1 = 2(x-1)(y-1) + 1$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

3. $e = \frac32$ este element neutru

$x * \frac32 = 2(x - 1)\cdot\frac12 + 1 = x$ și $\frac32 * x = x$ (simetrie). $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

4. $\frac54$ este simetricul lui $2$?

$2 * \frac54 = 2\cdot 1\cdot\frac14 + 1 = \frac32 = e$ și analog $\frac54 * 2 = \frac32$. Da. Barem: 2p, 3p.

5. $(x + 1) * (x - 1) = 1$

$2x(x - 2) + 1 = 1 \iff x(x - 2) = 0 \iff x \in \{0, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

6. Numerele naturale nenule $n$ cu $n * (n + 1) \le 5$

$2(n - 1)n + 1 \le 5 \iff n(n - 1) \le 2$. Pentru $n = 1$: $0$ ✔; $n = 2$: $2$ ✔; $n = 3$: $6$ ✘ (și crește).

Răspuns: $n \in \{1, 2\}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix}1 & 4\\ -3 & -2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}5 & -1\\ -2 & 1\end{pmatrix}$.

1. $\det A = 10$

$1\cdot(-2) - (-3)\cdot 4 = -2 + 12 = 10$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $B\cdot B = 6B - 3I_2$

$B^2 = \begin{pmatrix}25 + 2 & -5 - 1\\ -10 - 2 & 2 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}27 & -6\\ -12 & 3\end{pmatrix},\quad 6B - 3I_2 = \begin{pmatrix}30 - 3 & -6\\ -12 & 6 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}27 & -6\\ -12 & 3\end{pmatrix}.\ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

3. $xA + yB = \begin{pmatrix}7 & 7\\ -8 & -3\end{pmatrix}$

$xA + yB = \begin{pmatrix}x + 5y & 4x - y\\ -3x - 2y & -2x + y\end{pmatrix}.$

Din $x + 5y = 7$ și $4x - y = 7$: $x = 2$, $y = 1$; verificare: $-6 - 2 = -8$ ✔, $-4 + 1 = -3$ ✔.

Răspuns: $x = 2$, $y = 1$. Barem: 2p, 3p.

4. Inversa matricei $B$

$\det B = 5 - 2 = 3 \ne 0$:

$B^{-1} = \frac13\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac13 & \frac13\\ \frac23 & \frac53\end{pmatrix}.$

Barem: 2p, 3p.

5. Dacă $A + X = B$, atunci $X$ este inversabilă

$X = B - A = \begin{pmatrix}4 & -5\\ 1 & 3\end{pmatrix}$, $\det X = 12 + 5 = 17 \ne 0$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

6. $\det(A + aI_2) > 0$ pentru orice $a$

$\det\begin{pmatrix}1 + a & 4\\ -3 & a - 2\end{pmatrix} = (1 + a)(a - 2) + 12 = a^2 - a + 10 = \left(a - \frac12\right)^2 + \frac{39}{4} > 0.\ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$f(a) = 9$
I.3	$x = 0$
I.4	$400$ lei
I.5	$1$
I.6	$AB = 5\sqrt3$
II.5	$x \in \{0, 2\}$
II.6	$n \in \{1, 2\}$
III.3	$x = 2$, $y = 1$
III.4	$B^{-1} = \frac13\begin{pmatrix}1&1\\2&5\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din acest model

• Două ieftiniri de $50\%$ nu înseamnă $-100\%$: prețul devine $\frac14$ din cel inițial.
• Simetricul lui $x$ verifică $x * x' = e$.
• Trinom pozitiv: scrie-l ca pătrat plus o constantă pozitivă.