Rezolvare BAC 2020 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2020 la Matematică M_pedagogic, modelul oficial publicat de minister. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice cu $a_1 = 2$, $a_3 = 8$

$S_3 = \frac{(a_1 + a_3)\cdot 3}{2} = \frac{(2 + 8)\cdot 3}{2} = 15.$

Răspuns: $15$. Barem: 3p formula, 2p calculul.

2. $f(x) = x + 5$; determinați $m$ cu $f(m) = f(1) + f(-1)$

$m + 5 = (1 + 5) + (-1 + 5) = 10 \iff m = 5.$

Răspuns: $m = 5$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\log_2(x^2 + 4) = 3$

$x^2 + 4 > 0$ pentru orice $x$, deci nu avem restricții. Din definiție: $x^2 + 4 = 2^3 = 8 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$.

Răspuns: $x \in \{-2, 2\}$. Barem: 3p ecuația $x^2 - 4 = 0$, 2p soluțiile.

4. Un obiect de 2000 de lei se scumpește de două ori succesiv cu câte $10\%$

După prima scumpire: $2000 + \frac{10}{100}\cdot 2000 = 2200$ lei.

După a doua (calculată din noul preț!): $2200 + \frac{10}{100}\cdot 2200 = 2420$ lei.

Răspuns: $2420$ de lei. Barem: 3p prima scumpire, 2p a doua.

5. Perimetrul lui $ABCD$, $A(1,1)$, $B(-1,1)$, $C(-1,-1)$, $D(1,-1)$

$AB = |1-(-1)| = 2$ (aceeași ordonată), analog $BC = CD = DA = 2$ — $ABCD$ este pătrat.

$P_{ABCD} = 4\cdot 2 = 8.$

Barem: 3p laturile, 2p perimetrul.

6. Aria triunghiului dreptunghic în $A$ cu $\angle B = 45^\circ$, $BC = 4\sqrt2$

Cu $\angle B = 45^\circ$, triunghiul este dreptunghic isoscel: $AB = AC = BC\cdot\cos 45^\circ = 4\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 4$.

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{4\cdot 4}{2} = 8.$

Răspuns: $8$. Barem: 2p catetele, 3p aria.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea asociativă: $x * y = 2xy - 8(x + y) + 36$.

1. Arătați că $0 * 4 = 4$

$0 * 4 = 0 - 8\cdot 4 + 36 = 4.$

Barem: 3p, 2p.

2. Arătați că $x * y = 2(x-4)(y-4) + 4$

$x * y = 2xy - 8x - 8y + 32 + 4 = 2x(y - 4) - 8(y - 4) + 4 = 2(x - 4)(y - 4) + 4.\ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

3. Verificați că $e = \frac92$ este elementul neutru

$x * \tfrac92 = 2(x - 4)\left(\tfrac92 - 4\right) + 4 = 2(x-4)\cdot\tfrac12 + 4 = x,$

și analog $\frac92 * x = x$ (legea e simetrică în $x, y$). Deci $e = \frac92$ este element neutru. $\blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

4. $(x - 1) * (x + 1) = 10$

$2(x - 5)(x - 3) + 4 = 10 \iff (x-5)(x-3) = 3 \iff x^2 - 8x + 12 = 0 \iff x \in \{2, 6\}.$

Răspuns: $x \in \{2, 6\}$. Barem: 3p ecuația, 2p soluțiile.

5. $3^{x^2} * 3^{x^2} * 3^{x^2} = 0$

Din forma de la punctul 2: $a * a = 2(a-4)^2 + 4$, apoi $(a * a) * a = 2\cdot 2(a-4)^2\cdot(a - 4) + 4 = 4(a-4)^3 + 4$. Cu $a = 3^{x^2}$:

$4\left(3^{x^2} - 4\right)^3 + 4 = 0 \iff \left(3^{x^2} - 4\right)^3 = -1 \iff 3^{x^2} = 3 \iff x^2 = 1.$

Răspuns: $x \in \{-1, 1\}$. Barem: 2p expresia, 3p soluțiile.

6. Exemplu de $p, q \in \mathbb Q\setminus\mathbb Z$ cu $p * q \in \mathbb Z$

$p * q \in \mathbb Z \iff 2(p-4)(q-4) \in \mathbb Z$. Alegem $p - 4 = \frac32$, $q - 4 = \frac23$, adică

$p = \frac{11}{2},\quad q = \frac{14}{3},\qquad p * q = 2\cdot\frac32\cdot\frac23 + 4 = 6 \in \mathbb Z.$

Barem: 2p ideea, 3p exemplul verificat.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(a) = \begin{pmatrix}a & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$, $B(b) = \begin{pmatrix}2 & b\\ 2 & 2\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(3)) = 2$

$\det A(3) = \begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & 2\end{vmatrix} = 6 - 4 = 2.$

Barem: 3p, 2p.

2. $A(2)\cdot B(2) = 2(A(2) + B(2))$

$A(2) = B(2) = \begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}$, deci

$A(2)B(2) = \begin{pmatrix}8 & 8\\ 8 & 8\end{pmatrix},\qquad 2(A(2) + B(2)) = 2\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8&8\\8&8\end{pmatrix}.\ \blacksquare$

Barem: 2p produsul, 3p finalizarea.

3. Inversa matricei $A(1)$

$A(1) = \begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}$, $\det A(1) = 2 - 4 = -2 \ne 0$. Pentru o matrice $2\times2$: $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$:

$A(1)^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix}2 & -2\\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 1 & -\frac12\end{pmatrix}.$

Barem: 2p determinantul, 3p inversa.

4. $\det(A(a) + B(b)) = \det A(a) + \det B(b) \iff a = b$

$\det(A(a) + B(b)) = \begin{vmatrix}a + 2 & 2 + b\\ 4 & 4\end{vmatrix} = 4(a+2) - 4(2 + b) = 4a - 4b,$

$\det A(a) + \det B(b) = (2a - 4) + (4 - 2b) = 2a - 2b.$

Egalitatea $4a - 4b = 2a - 2b \iff 2(a - b) = 0 \iff a = b$. $\blacksquare$

Barem: 3p determinanții, 2p echivalența.

5. Valorile lui $a$ pentru care $C(a) = B(a)\cdot A(a)$ este inversabilă

$C(a) = \begin{pmatrix}2 & a\\ 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4a & 4 + 2a\\ 2a + 4 & 8\end{pmatrix},$

$\det C(a) = 32a - (2a+4)^2 = -4a^2 + 16a - 16 = -4(a - 2)^2.$

Inversabilă $\iff \det C(a) \ne 0 \iff a \ne 2$.

Răspuns: $a \in \mathbb R\setminus\{2\}$. Barem: 3p determinantul, 2p concluzia.

6. Numerele naturale nenule $n$ cu $\det(A(n)) > n^2 - 7$

$\det A(n) = 2n - 4$, deci $2n - 4 > n^2 - 7 \iff n^2 - 2n - 3 < 0 \iff (n-3)(n+1) < 0 \iff n \in (-1, 3)$.

Cu $n \in \mathbb N^*$: $n \in \{1, 2\}$.

Răspuns: $n \in \{1, 2\}$. Barem: 2p inecuația, 3p soluțiile.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$S_3 = 15$
I.2	$m = 5$
I.3	$x \in \{-2, 2\}$
I.4	$2420$ lei
I.5	$P = 8$
I.6	$\mathcal A = 8$
II.4	$x \in \{2, 6\}$
II.5	$x \in \{-1, 1\}$
II.6	ex. $p = \frac{11}2$, $q = \frac{14}3$
III.3	$\begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac12\end{pmatrix}$
III.5	$a \ne 2$
III.6	$n \in \{1, 2\}$

Ce merită reținut din acest model

• Scumpiri succesive: a doua se aplică noului preț ($1{,}1\cdot1{,}1 = 1{,}21$, nu $+20\%$).
• Forma $x * y = k(x-a)(y-a) + a$ dă imediat elementul neutru și compunerile repetate.
• Inversabilitate $\iff$ determinant nenul.