Rezolvare BAC 2022 Matematică (pedagogic) — Simulare națională

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2022 la Matematică M_pedagogic, simularea națională (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice cu $a_1 = 3$, $r = 2$

Termenii se obțin adunând rația: $a_2 = a_1 + r = 5$, $a_3 = a_1 + 2r = 7$.

$S_3 = \frac{(a_1 + a_3)\cdot 3}{2} = \frac{(3 + 7)\cdot 3}{2} = 15.$

(Verificare directă: $3 + 5 + 7 = 15$.)

Răspuns: $S_3 = 15$. Barem: 2p $a_3 = a_1 + 2r$, 3p $a_3 = 7$ și suma.

2. $f(x) = (1 - 2a)x + 1$; determinați $a$ cu $f(1) = f(-1)$

$f(1) = 1 - 2a + 1 = 2 - 2a, \qquad f(-1) = -(1 - 2a) + 1 = 2a.$

$2 - 2a = 2a \iff 4a = 2 \iff a = \frac12.$

Observație: pentru $a = \frac12$ coeficientul lui $x$ este $0$, deci $f$ este constantă ($f(x) = 1$) — de aceea ia aceeași valoare în $1$ și $-1$.

Răspuns: $a = \dfrac12$. Barem: 2p $f(1)$ și $f(-1)$, 3p rezolvarea ecuației.

3. Ecuația $1 + \log_2(2x + 1) = \log_2 4$

Condiția de existență: $2x + 1 > 0 \iff x > -\dfrac12$.

Cum $\log_2 4 = 2$, ecuația devine $1 + \log_2(2x+1) = 2 \iff \log_2(2x + 1) = 1 \iff 2x + 1 = 2^1 = 2 \iff x = \dfrac12$.

Verificăm condiția: $\dfrac12 > -\dfrac12$ ✔ (și $\log_2 2 = 1$, deci $1 + 1 = 2$ ✔).

Răspuns: $x = \dfrac12$. Barem: 2p $\log_2 4 = 2$, 3p rezolvarea și faptul că soluția convine.

4. Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să fie pătrat perfect

Numerele naturale de o cifră sunt $0, 1, 2, \dots, 9$: 10 cazuri posibile (nu uita de $0$!).

Pătratele perfecte dintre ele: $0 = 0^2$, $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$: 4 cazuri favorabile.

$P = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{10} = \frac25.$

Răspuns: $P = \dfrac25$. Barem: 2p cazurile favorabile, 2p cazurile posibile, 1p probabilitatea.

5. Lungimea medianei din $A$ în triunghiul cu $A(1,4)$, $B(-3,2)$, $C(5,2)$

Mediana din $A$ unește $A$ cu mijlocul $M$ al laturii $BC$:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \qquad y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2.$

$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} = \sqrt{0^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt 4 = 2.$

Răspuns: $AM = 2$. Barem: 2p coordonatele mijlocului, 3p lungimea.

6. Calculați $\sqrt3 \cdot \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ - 3 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ$

Valorile: $\sin 30^\circ = \dfrac12$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

$\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - 3\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{3\sqrt2}{4} - \frac{3\sqrt2}{4} = 0.$

Răspuns: $0$. Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea asociativă pe $\mathbb R$: $x * y = -\dfrac{(x-1)(y-1)}{3} + 1$.

1. Arătați că $3 * 4 = -1$

$3 * 4 = -\frac{(3-1)(4-1)}{3} + 1 = -\frac{2\cdot 3}{3} + 1 = -2 + 1 = -1.$

Barem: 2p înlocuirea, 3p calculul.

2. Verificați dacă $e = -2$ este element neutru

Trebuie ca $x * (-2) = (-2) * x = x$ pentru orice $x$ real.

$x * (-2) = -\frac{(x-1)(-2-1)}{3} + 1 = -\frac{-3(x-1)}{3} + 1 = (x - 1) + 1 = x.$

$(-2) * x = -\frac{(-3)(x-1)}{3} + 1 = x - 1 + 1 = x.$

(Legea este și comutativă, deci a doua verificare rezultă din prima, dar e bine să o scrii.) Ambele egalități au loc pentru orice $x \in \mathbb R$, deci $e = -2$ este elementul neutru.

Barem: 2p $x * (-2) = x$, 3p $(-2) * x = x$ și concluzia.

3. Determinați $a$ cu $a * 7 = 5$

$-\frac{(a-1)(7-1)}{3} + 1 = 5 \iff -2(a - 1) + 1 = 5 \iff -2(a-1) = 4 \iff a - 1 = -2 \iff a = -1.$

Verificare: $(-1) * 7 = -\dfrac{(-2)\cdot 6}{3} + 1 = 4 + 1 = 5$ ✔.

Răspuns: $a = -1$. Barem: 2p scrierea ecuației, 3p rezolvarea.

4. Valorile lui $x$ cu $x * (1 + x) \ge -3$

$x * (1+x) = -\frac{(x-1)(1 + x - 1)}{3} + 1 = -\frac{x(x-1)}{3} + 1.$

Inecuația: $-\dfrac{x(x-1)}{3} + 1 \ge -3 \iff -\dfrac{x(x-1)}{3} \ge -4 \iff x(x-1) \le 12 \iff x^2 - x - 12 \le 0$.

Rădăcinile trinomului: $\Delta = 1 + 48 = 49$, $x_{1,2} = \dfrac{1 \pm 7}{2}$, adică $-3$ și $4$. Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci este $\le 0$ între rădăcini.

Răspuns: $x \in [-3, 4]$. Barem: 2p expresia $x * (1+x)$, 3p rezolvarea inecuației. Atenție la schimbarea sensului inegalității când înmulțești cu $-3$.

5. Cel mai mare $n \in \mathbb N$ cu $n * n * n \le n$

Pas 1: $n * n = -\dfrac{(n-1)^2}{3} + 1$.

Pas 2 (legea e asociativă, calculăm $(n * n) * n$): în formulă, $(n*n) - 1 = -\dfrac{(n-1)^2}{3}$, deci

$n * n * n = -\frac{\left(-\frac{(n-1)^2}{3}\right)(n-1)}{3} + 1 = \frac{(n-1)^3}{9} + 1.$

Inecuația: $\dfrac{(n-1)^3}{9} + 1 \le n \iff \dfrac{(n-1)^3}{9} \le n - 1 \iff (n-1)^3 - 9(n-1) \le 0 \iff (n-1)\big((n-1)^2 - 9\big) \le 0$,

adică $(n-1)(n-4)(n+2) \le 0$.

Pentru $n$ natural, $n + 2 > 0$, deci condiția devine $(n-1)(n-4) \le 0 \iff n \in [1, 4]$. Pentru $n \ge 5$ ambii factori sunt pozitivi și inegalitatea nu mai are loc.

Răspuns: $n = 4$. Barem: 3p calculul lui $n * n * n$, 2p rezolvarea și concluzia.

6. Perechile $(m, n)$ de numere naturale cu $m * n = -1$

$-\frac{(m-1)(n-1)}{3} + 1 = -1 \iff \frac{(m-1)(n-1)}{3} = 2 \iff (m-1)(n-1) = 6.$

Cum $m, n \in \mathbb N$, avem $m - 1, n - 1 \ge -1$. Scrierile lui $6$ ca produs de două întregi $\ge -1$: produsul fiind pozitiv, ambii factori au același semn; ambii negativi ar însemna $(-1)(-1) = 1 \ne 6$, deci ambii sunt pozitivi: $1\cdot 6$, $2\cdot 3$, $3\cdot 2$, $6\cdot 1$.

• $m - 1 = 1, n - 1 = 6 \Rightarrow (2, 7)$;
• $m - 1 = 2, n - 1 = 3 \Rightarrow (3, 4)$;
• $m - 1 = 3, n - 1 = 2 \Rightarrow (4, 3)$;
• $m - 1 = 6, n - 1 = 1 \Rightarrow (7, 2)$.

Răspuns: $(m, n) \in \{(2,7), (3,4), (4,3), (7,2)\}$. Barem: 2p $(m-1)(n-1) = 6$, 3p perechile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\det(A) = -7$

$\det(A) = \begin{vmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{vmatrix} = 2\cdot(-2) - 1\cdot 3 = -4 - 3 = -7.$

Barem: 3p formula determinantului, 2p calculul.

2. Arătați că $\det(A + xI_2) \ge -7$ pentru orice $x$ real

$A + xI_2 = \begin{pmatrix}2 + x & 3\\ 1 & -2 + x\end{pmatrix}, \quad \det(A + xI_2) = (x+2)(x-2) - 3 = x^2 - 4 - 3 = x^2 - 7.$

Cum $x^2 \ge 0$ pentru orice $x$ real, $x^2 - 7 \ge -7$. Egalitatea are loc doar pentru $x = 0$.

Barem: 2p matricea $A + xI_2$, 3p determinantul și justificarea.

3. Determinați $a$ cu $A \cdot A = aI_2$

$A\cdot A = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 + 3 & 6 - 6\\ 2 - 2 & 3 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix}.$

$aI_2 = \begin{pmatrix}a & 0\\ 0 & a\end{pmatrix}$; două matrice sunt egale când au elementele corespunzătoare egale, deci $a = 7$.

Răspuns: $a = 7$. Barem: 3p calculul lui $A\cdot A$ și $aI_2$, 2p concluzia.

4. Determinați $m$ cu $\det(mA - I_2) = m\cdot\det(A + I_2)$

$mA - I_2 = \begin{pmatrix}2m - 1 & 3m\\ m & -2m - 1\end{pmatrix}, \quad \det(mA - I_2) = (2m-1)(-2m-1) - 3m^2 = 1 - 4m^2 - 3m^2 = 1 - 7m^2.$

Din punctul 2 cu $x = 1$: $\det(A + I_2) = 1 - 7 = -6$.

Ecuația: $1 - 7m^2 = -6m \iff 7m^2 - 6m - 1 = 0$. $\Delta = 36 + 28 = 64$, $m_{1,2} = \dfrac{6 \pm 8}{14}$, adică $m = 1$ sau $m = -\dfrac17$.

Răspuns: $m \in \left\{-\dfrac17, 1\right\}$. Barem: 2p cei doi determinanți, 3p rezolvarea ecuației.

5. $M = \begin{pmatrix}x & y\\ y & x\end{pmatrix}$ cu $AM = MA$; arătați că $y = 0$

$A\cdot M = \begin{pmatrix}2x + 3y & 2y + 3x\\ x - 2y & y - 2x\end{pmatrix}, \qquad M\cdot A = \begin{pmatrix}2x + y & 3x - 2y\\ 2y + x & 3y - 2x\end{pmatrix}.$

Egalând elementele de pe poziția $(1,1)$: $2x + 3y = 2x + y \iff 2y = 0 \iff y = 0$.

Verificare: pentru $y = 0$ toate pozițiile coincid ($3x = 3x$, $x = x$, $-2x = -2x$), deci condiția este compatibilă.

Barem: 3p calculul celor două produse, 2p concluzia $y = 0$.

6. Pentru câte valori întregi ale lui $a$ avem $\det(aA) \ge -28$?

Înmulțind o matrice de ordin 2 cu $a$, fiecare linie se înmulțește cu $a$, deci $\det(aA) = a^2\det(A) = -7a^2$.

$-7a^2 \ge -28 \iff a^2 \le 4 \iff a \in [-2, 2].$

Valorile întregi: $-2, -1, 0, 1, 2$.

Răspuns: 5 valori. Barem: 2p $\det(aA) = -7a^2$, 3p rezolvarea și numărarea. Greșeală frecventă: $\det(aA) = a\det(A)$ — pentru ordinul 2 factorul este $a^2$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$15$
I.2	$a = \tfrac12$
I.3	$x = \tfrac12$
I.4	$P = \tfrac25$
I.5	$AM = 2$
I.6	$0$
II.3	$a = -1$
II.4	$x \in [-3, 4]$
II.5	$n = 4$
II.6	$(2,7), (3,4), (4,3), (7,2)$
III.3	$a = 7$
III.4	$m \in \{-\tfrac17, 1\}$
III.6	5 valori

Ce merită reținut

• Legi de forma $k(x-a)(y-a) + a$: elementul neutru, compunerea a trei elemente și ecuațiile se rezolvă ușor dacă păstrezi forma factorizată.
• Probabilități: mulțimea numerelor naturale de o cifră include $0$.
• Determinanți: $\det(aA) = a^2\det(A)$ pentru matrice de ordin 2.