Rezolvare BAC 2024 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_pedagogic, sesiunea august–septembrie, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt2\left(\sqrt2 + 3\right) - 3\sqrt2 + 2 = 4$

Desfacem paranteza: $\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ și $\sqrt2\cdot 3 = 3\sqrt2$.

$\sqrt2(\sqrt2 + 3) - 3\sqrt2 + 2 = 2 + 3\sqrt2 - 3\sqrt2 + 2 = 4.$

Barem: 2p desfacerea parantezei, 3p finalizarea.

2. $f(x) = 3x + 2$, $g(x) = 2x + 3$: determinați $m$ cu $f(m) = g(m)$

$f(m) = 3m + 2$, $g(m) = 2m + 3$. Ecuația:

$3m + 2 = 2m + 3 \iff m = 1.$

Verificare: $f(1) = 5 = g(1)$ ✔.

Răspuns: $m = 1$. Barem: 2p $f(m)$, 3p $g(m)$ și rezolvarea.

3. Ecuația $2^{4x-3} = 2^{2-x}$

Bazele sunt egale, iar funcția exponențială este injectivă, deci egalăm exponenții:

$4x - 3 = 2 - x \iff 5x = 5 \iff x = 1.$

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. Probabilitatea ca $2n + 1 \in A$, pentru $n \in A = \{1, 2, \dots, 9\}$

Cazuri posibile: $A$ are 9 elemente.

Cazuri favorabile: $2n + 1 \in A$ înseamnă $2n + 1 \le 9$, adică $n \le 4$: $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ (dau $3, 5, 7, 9$). Pentru $n = 5$ obținem $11 \notin A$. Deci 4 cazuri favorabile.

$p = \frac{4}{9}.$

Răspuns: $p = \dfrac49$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. Aria triunghiului $AOB$, cu $A(3, 0)$, $B(0, 4)$

$A$ se află pe axa $Ox$, $B$ pe axa $Oy$, deci triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $AO = 3$ și $BO = 4$.

$\mathcal A_{AOB} = \frac{AO\cdot BO}{2} = \frac{3\cdot 4}{2} = 6.$

Răspuns: aria este $6$. Barem: 3p lungimile catetelor, 2p aria.

6. Arătați că $(\sin60^\circ + \sin30^\circ)(\sin60^\circ - \sin30^\circ) = \sin45^\circ\cdot\cos45^\circ$

Valori: $\sin60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin30^\circ = \dfrac12$, $\sin45^\circ = \cos45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Membrul stâng are forma $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 - \left(\frac12\right)^2 = \frac34 - \frac14 = \frac12.$

Membrul drept: $\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac12$. Cei doi membri sunt egali.

Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p verificarea egalității.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $\mathbb R$ se definește legea asociativă $x \circ y = 3xy - 2(x + y - 1)$.

1. Arătați că $1 \circ 2 = 2$

$1 \circ 2 = 3\cdot1\cdot2 - 2(1 + 2 - 1) = 6 - 4 = 2.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p rezultatul.

2. Arătați că $e = 1$ este elementul neutru

Trebuie $x \circ 1 = 1 \circ x = x$ pentru orice $x$ real.

$x \circ 1 = 3x - 2(x + 1 - 1) = 3x - 2x = x, \qquad 1 \circ x = 3x - 2(1 + x - 1) = 3x - 2x = x.$

Deci $e = 1$ este elementul neutru. Barem: 2p $x \circ 1 = x$, 3p $1 \circ x = x$ și concluzia.

3. Determinați $x$ real cu $(x \circ 2) + (x \circ 3) = 5$

$x \circ 2 = 6x - 2(x + 1) = 4x - 2, \qquad x \circ 3 = 9x - 2(x + 2) = 7x - 4.$

Ecuația: $4x - 2 + 7x - 4 = 5 \iff 11x = 11 \iff x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p expresia $11x - 6$, 2p soluția.

4. Numerele naturale $n$ cu $(3n + 1) \circ 1 < 7$

Cum $1$ este elementul neutru (punctul 2), $(3n + 1) \circ 1 = 3n + 1$. Inecuația:

$3n + 1 < 7 \iff 3n < 6 \iff n < 2.$

Numerele naturale mai mici decât 2 sunt $0$ și $1$.

Răspuns: $n \in \{0, 1\}$. Barem: 2p $(3n+1)\circ 1 = 3n + 1$, 3p rezolvarea inecuației.

5. Demonstrați că $x \circ y = 3\left(x - \frac23\right)\left(y - \frac23\right) + \frac23$

Pornim de la membrul stâng și grupăm termenii (scriem $2 = \frac43 + \frac23$):

$x \circ y = 3xy - 2x - 2y + 2 = 3xy - 2x - 2y + \frac43 + \frac23.$

Dăm factor comun: $3xy - 2x = 3x\left(y - \frac23\right)$ și $-2y + \frac43 = -2\left(y - \frac23\right)$:

$x \circ y = 3x\left(y - \frac23\right) - 2\left(y - \frac23\right) + \frac23 = (3x - 2)\left(y - \frac23\right) + \frac23 = 3\left(x - \frac23\right)\left(y - \frac23\right) + \frac23.$

(Verificare inversă: $3\left(xy - \frac23x - \frac23y + \frac49\right) + \frac23 = 3xy - 2x - 2y + \frac43 + \frac23$ ✔.)

Barem: 3p gruparea termenilor, 2p finalizarea.

6. Arătați că $\frac12 \circ \frac23 \circ \frac34 \circ \frac45 = \frac23$

Din punctul 5, pentru $y = \frac23$:

$x \circ \frac23 = 3\left(x - \frac23\right)\cdot 0 + \frac23 = \frac23,$

pentru orice $x$ real (elementul $\frac23$ „absoarbe” la dreapta). Analog, $\frac23 \circ y = \frac23$ pentru orice $y$.

Legea fiind asociativă, calculăm de la stânga la dreapta:

$\frac12 \circ \frac23 = \frac23, \qquad \frac23 \circ \frac34 = \frac23, \qquad \frac23 \circ \frac45 = \frac23.$

Deci $\frac12 \circ \frac23 \circ \frac34 \circ \frac45 = \frac23$. Barem: 3p $x \circ \frac23 = \frac23$ (și $\frac23\circ x = \frac23$), 2p finalizarea.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix}a + 1 & -1\\ 1 & a - 1\end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\det(A(1)) = 1$

$A(1) = \begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad \det(A(1)) = 2\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 0 + 1 = 1.$

Barem: 3p scrierea și aplicarea formulei, 2p rezultatul.

2. Demonstrați că $I_2 + A(a - 1) = A(a)$

$A(a-1)$ se obține înlocuind $a$ cu $a - 1$: $A(a-1) = \begin{pmatrix}a & -1\\ 1 & a - 2\end{pmatrix}$.

$I_2 + A(a-1) = \begin{pmatrix}1 + a & -1\\ 1 & 1 + a - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a + 1 & -1\\ 1 & a - 1\end{pmatrix} = A(a).$

Barem: 3p suma matricelor, 2p identificarea cu $A(a)$.

3. Numerele reale $a$ cu $\det(A(a)) = a$

$\det(A(a)) = (a+1)(a-1) - 1\cdot(-1) = a^2 - 1 + 1 = a^2.$

Ecuația $a^2 = a \iff a(a - 1) = 0 \iff a \in \{0, 1\}$.

Răspuns: $a = 0$ sau $a = 1$. Barem: 3p determinantul, 2p soluțiile. Greșeală frecventă: împărțirea la $a$ pierde soluția $a = 0$.

4. Numărul real $a$ cu $A(a)\cdot A(a) = \begin{pmatrix}8 & -4\\ 4 & 0\end{pmatrix}$

$A(a)\cdot A(a) = \begin{pmatrix}(a+1)^2 - 1 & -(a+1) - (a-1)\\ (a+1) + (a-1) & -1 + (a-1)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a^2 + 2a & -2a\\ 2a & a^2 - 2a\end{pmatrix}.$

Egalăm elementele: din $2a = 4$ obținem $a = 2$. Verificăm celelalte: $a^2 + 2a = 8$ ✔, $-2a = -4$ ✔, $a^2 - 2a = 0$ ✔.

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p produsul, 2p valoarea lui $a$.

5. Matricea $X$ cu $X\cdot A(1) = A(2)$

$\det(A(1)) = 1 \ne 0$, deci $A(1)$ este inversabilă și $X = A(2)\cdot(A(1))^{-1}$ (înmulțim la dreapta cu inversa).

Pentru $\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$ cu determinant $d \neq 0$, inversa este $\dfrac1d\begin{pmatrix}s & -q\\ -r & p\end{pmatrix}$. Pentru $A(1) = \begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $d = 1$:

$(A(1))^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 2\end{pmatrix}.$

Cu $A(2) = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$:

$X = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix}.$

Verificare: $\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = A(2)$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix}$. Barem: 3p inversa lui $A(1)$, 2p calculul lui $X$.

6. Demonstrați că $\det(A(a) + I_2) \ge 0$ pentru orice $a$ real

$A(a) + I_2 = \begin{pmatrix}a + 2 & -1\\ 1 & a\end{pmatrix}, \qquad \det = (a+2)a - (-1)\cdot 1 = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2.$

Un pătrat al unui număr real este nenegativ, deci $\det(A(a) + I_2) = (a+1)^2 \ge 0$ pentru orice $a$.

Barem: 3p determinantul, 2p scrierea ca pătrat și concluzia.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$m = 1$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \frac49$
I.5	aria $= 6$
II.3	$x = 1$
II.4	$n \in \{0, 1\}$
III.3	$a \in \{0, 1\}$
III.4	$a = 2$
III.5	$X = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 3

• Legea $k(x-a)(y-a) + a$: elementul $a$ este absorbant — orice compunere care îl conține dă $a$.
• Elementul neutru simplifică: $(3n+1)\circ e = 3n + 1$, fără calcule.
• Ecuația $XM = N$: $X = N M^{-1}$ (inversa la dreapta); verifică la final prin înmulțire.