Rezolvare BAC 2025 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului oficial de Bacalaureat 2025 la Matematică M_pedagogic. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresie aritmetică cu $a_2 = 4$ și $a_3 = 6$: calculați $a_1$

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (de la al doilea încolo) este media aritmetică a vecinilor săi:

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \iff 4 = \frac{a_1 + 6}{2} \iff a_1 + 6 = 8 \iff a_1 = 2.$

Altfel: rația este $r = a_3 - a_2 = 2$, deci $a_1 = a_2 - r = 2$.

Răspuns: $a_1 = 2$. Barem: 3p relația dintre termeni, 2p rezultatul.

2. $f(x) = x^2 - x + 4$: arătați că $f(0) = f(1)$

$f(0) = 0 - 0 + 4 = 4, \qquad f(1) = 1 - 1 + 4 = 4,$

deci $f(0) = f(1)$. Barem: 2p $f(0)$, 3p $f(1)$ și concluzia.

3. Ecuația $7^{3x-2} - 49\cdot 7^x = 0$

Scriem totul ca puteri ale lui 7: $49 = 7^2$, deci $49\cdot 7^x = 7^{x+2}$. Ecuația devine

$7^{3x-2} = 7^{x+2}.$

Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: $3x - 2 = x + 2 \iff 2x = 4 \iff x = 2$.

Verificare: $7^4 - 49\cdot 49 = 2401 - 2401 = 0$ ✔.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. După $75\%$ din traseu, mai are 2 km. Lungimea traseului?

Notăm cu $x$ lungimea traseului (în km). Rămâne de parcurs $100\% - 75\% = 25\%$ din traseu:

$x - \frac{75}{100}x = 2 \iff \frac{25}{100}x = 2 \iff \frac{x}{4} = 2 \iff x = 8.$

Răspuns: 8 km. Barem: 3p ecuația, 2p rezultatul.

5. $A(2,3)$, $B(5,7)$, $B$ mijlocul lui $AC$: lungimea lui $AC$

Dacă $B$ este mijlocul lui $AC$, atunci $AC = 2AB$.

$AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \quad\Rightarrow\quad AC = 10.$

(Altfel: din formulele mijlocului, $C(2\cdot5 - 2,\ 2\cdot 7 - 3) = C(8, 11)$, iar $AC = \sqrt{36 + 64} = 10$.)

Răspuns: $AC = 10$. Barem: 3p $AB = 5$, 2p $AC = 10$.

6. Arătați că $4(\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ) = 1$

Valori cunoscute: $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

$4\left(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right) = 4\left(\frac34 - \frac24\right) = 4\cdot\frac14 = 1.$

Barem: 2p valorile funcțiilor trigonometrice, 3p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea de compoziție pe $\mathbb R$: $x \circ y = \dfrac{x + y}{2} - 1$.

1. Arătați că $(-2)\circ 4 = 0$

$(-2)\circ 4 = \frac{-2 + 4}{2} - 1 = 1 - 1 = 0.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Legea „$\circ$” este comutativă

Pentru orice $x, y \in \mathbb R$:

$y \circ x = \frac{y + x}{2} - 1 = \frac{x + y}{2} - 1 = x \circ y,$

deoarece adunarea numerelor reale este comutativă. Barem: 3p calculul lui $y\circ x$, 2p concluzia.

3. Demonstrați că $(2x + 1)\circ 1 = x$, pentru orice $x$ real

$(2x + 1)\circ 1 = \frac{2x + 1 + 1}{2} - 1 = \frac{2x + 2}{2} - 1 = x + 1 - 1 = x.$

Barem: 2p înlocuirea, 3p simplificarea.

4. Determinați $x$ cu $x^2 \circ x = 2$

$x^2 \circ x = \frac{x^2 + x}{2} - 1.$

Ecuația: $\dfrac{x^2 + x}{2} - 1 = 2 \iff \dfrac{x^2 + x}{2} = 3 \iff x^2 + x - 6 = 0$.

$\Delta = 1 + 24 = 25$, deci $x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2}$, adică $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

Răspuns: $x \in \{-3, 2\}$. Barem: 2p expresia, 3p ecuația și soluțiile.

5. Arătați că $(x^2 + 3)\circ(4x + 5) \ge 1$, pentru orice $x$ real

$(x^2 + 3)\circ(4x + 5) = \frac{x^2 + 3 + 4x + 5}{2} - 1 = \frac{x^2 + 4x + 8 - 2}{2} = \frac{x^2 + 4x + 6}{2}.$

Formăm pătratul perfect $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$:

$\frac{x^2 + 4x + 6}{2} = \frac{x^2 + 4x + 4}{2} + 1 = \frac{(x + 2)^2}{2} + 1 \ge 1,$

deoarece $(x + 2)^2 \ge 0$ pentru orice $x$ real. Egalitate pentru $x = -2$.

Barem: 2p expresia, 3p pătratul perfect și concluzia.

6. Perechile $(m, n)$ de numere naturale, $m < n$, cu $m \circ n \le 0$

$m \circ n = \frac{m + n}{2} - 1 = \frac{m + n - 2}{2} \le 0 \iff m + n \le 2.$

Căutăm numere naturale cu $m < n$ și $m + n \le 2$:

• $m = 0$: $n \le 2$ și $n > 0$, deci $n \in \{1, 2\}$;
• $m = 1$: ar trebui $n \le 1$ și $n > 1$ — imposibil.

Răspuns: $(m, n) \in \{(0, 1),\ (0, 2)\}$. Barem: 2p expresia lui $m\circ n$, 3p inecuația și perechile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricele $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix}a - 1 & a\\ a & a + 1\end{pmatrix}$, $a \in \mathbb R$.

1. Arătați că $\det(A(2)) = -1$

$A(2) = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}, \qquad \det(A(2)) = 1\cdot 3 - 2\cdot 2 = 3 - 4 = -1.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

2. Arătați că $A(2) + A(0) = 2A(1)$

$A(2) + A(0) = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 2A(1),$

pentru că $A(1) = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$. Barem: 3p suma, 2p identificarea cu $2A(1)$.

3. Arătați că $A(0)\cdot A(0) = I_2$

$A(0)\cdot A(0) = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-1)(-1) + 0\cdot 0 & (-1)\cdot 0 + 0\cdot 1\\ 0\cdot(-1) + 1\cdot 0 & 0\cdot 0 + 1\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2.$

Barem: 3p produsul, 2p rezultatul.

4. $A(a)$ este inversabilă pentru orice $a$ real

O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul.

$\det(A(a)) = (a - 1)(a + 1) - a\cdot a = a^2 - 1 - a^2 = -1 \ne 0,$

pentru orice $a \in \mathbb R$, deci $A(a)$ este inversabilă. Barem: 3p calculul determinantului, 2p concluzia.

5. Determinați $a$ cu $\det(A(a) + aI_2) = 11$

$A(a) + aI_2 = \begin{pmatrix}2a - 1 & a\\ a & 2a + 1\end{pmatrix}, \qquad \det = (2a - 1)(2a + 1) - a^2 = 4a^2 - 1 - a^2 = 3a^2 - 1.$

Ecuația: $3a^2 - 1 = 11 \iff a^2 = 4 \iff a \in \{-2, 2\}$.

Răspuns: $a = -2$ sau $a = 2$. Barem: 3p determinantul $3a^2 - 1$, 2p soluțiile.

6. $C(a, b) = aA(b) + bA(a)$: perechile $(a, b)$ naturale cu suma elementelor egală cu 24

$aA(b) = \begin{pmatrix}ab - a & ab\\ ab & ab + a\end{pmatrix}, \qquad bA(a) = \begin{pmatrix}ab - b & ab\\ ab & ab + b\end{pmatrix},$

$C(a, b) = \begin{pmatrix}2ab - a - b & 2ab\\ 2ab & 2ab + a + b\end{pmatrix}.$

Suma elementelor: $(2ab - a - b) + 2ab + 2ab + (2ab + a + b) = 8ab$ (termenii $\pm(a+b)$ se reduc).

Condiția: $8ab = 24 \iff ab = 3$. Cum 3 este prim, numerele naturale cu produsul 3 sunt $1\cdot 3$ și $3\cdot 1$.

Răspuns: $(a, b) \in \{(1, 3),\ (3, 1)\}$. Barem: 2p matricea $C(a,b)$, 3p condiția $ab = 3$ și perechile.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_1 = 2$
I.3	$x = 2$
I.4	8 km
I.5	$AC = 10$
II.4	$x \in \{-3, 2\}$
II.6	$(0,1)$ și $(0,2)$
III.4	$\det(A(a)) = -1 \ne 0$
III.5	$a \in \{-2, 2\}$
III.6	$(1,3)$ și $(3,1)$

Ce merită reținut din model

• Progresii aritmetice: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor — cel mai rapid drum.
• Ecuații exponențiale: adu toți termenii la aceeași bază și egalează exponenții.
• Inegalități cu legi de compoziție: formează un pătrat perfect și folosește $(\dots)^2 \ge 0$.
• Inversabilitate: pentru matrice $2\times 2$ cu parametru, calculează determinantul — dacă nu depinde de parametru și e nenul, ai terminat.