Rezolvare BAC 2026 Matematică (pedagogic) — Simulare națională

Rezolvarea completă a subiectului dat la simularea națională pentru Bacalaureat 2026 la Matematică M_pedagogic. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $0{,}25\cdot 6 + (3 - 0{,}5) : 5 = 2$

Ordinea operațiilor: paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, la final adunarea.

$0{,}25\cdot 6 = 1{,}5, \qquad (3 - 0{,}5) : 5 = 2{,}5 : 5 = 0{,}5,$

$1{,}5 + 0{,}5 = 2.$

Barem: 3p calculele intermediare, 2p rezultatul.

2. $f(x) = x^2 - 2x - 3$, $m$ ordonata intersecției graficului cu $Oy$; calculați $f(m)$

Punctul de intersecție cu axa $Oy$ are abscisa 0, deci ordonata lui este $m = f(0) = -3$.

$f(m) = f(-3) = (-3)^2 - 2\cdot(-3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12.$

Răspuns: $f(m) = 12$. Barem: 2p $m = -3$, 3p $f(-3) = 12$.

3. Ecuația $x = 2\sqrt{2x}$

Condiții: $2x \ge 0$, deci $x \ge 0$ (și atunci membrul stâng este și el nenegativ, cum trebuie, fiindcă egal cu un radical).

Ridicăm la pătrat: $x^2 = 4\cdot 2x = 8x \iff x^2 - 8x = 0 \iff x(x - 8) = 0$, deci $x = 0$ sau $x = 8$.

Verificare: $x = 0$: $0 = 2\sqrt0$ ✔; $x = 8$: $2\sqrt{16} = 8$ ✔.

Răspuns: $x \in \{0, 8\}$. Greșeală frecventă: împărțirea cu $x$ în $x^2 = 8x$ pierde soluția $x = 0$. Barem: 3p ecuația de gradul II, 2p soluțiile care convin.

4. Scumpire cu 20% → 600 lei, apoi încă 5%; diferența față de prețul inițial

Prețul inițial $x$: $x + \dfrac{20}{100}x = 600 \iff \dfrac{6x}{5} = 600 \iff x = 500$ lei.

A doua scumpire se aplică prețului de 600 de lei: $600 + \dfrac{5}{100}\cdot 600 = 600 + 30 = 630$ lei.

Diferența: $630 - 500 = 130$ de lei.

Răspuns: 130 de lei. Barem: 2p prețul inițial, 3p prețul final și diferența.

5. $A(3,3)$, $B(4,6)$, $A$ mijlocul lui $BC$; lungimea $OC$

Dacă $A$ este mijlocul lui $BC$, coordonatele lui $A$ sunt mediile coordonatelor lui $B$ și $C$:

$3 = \frac{4 + x_C}{2} \Rightarrow x_C = 2, \qquad 3 = \frac{6 + y_C}{2} \Rightarrow y_C = 0.$

Deci $C(2, 0)$ și $OC = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$.

Răspuns: $OC = 2$. Barem: 3p coordonatele lui $C$, 2p lungimea.

6. Triunghi $DEF$ dreptunghic în $D$, $DE = 3$, $\sin F = \dfrac13$; arătați că $DF = 6\sqrt2$

Ipotenuza este $EF$ (opusă unghiului drept $D$). Cateta opusă unghiului $F$ este $DE$:

$\sin F = \frac{DE}{EF} \Rightarrow \frac13 = \frac{3}{EF} \Rightarrow EF = 9.$

Teorema lui Pitagora: $DF^2 = EF^2 - DE^2 = 81 - 9 = 72$, deci $DF = \sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt2$.

Barem: 3p $EF = 9$, 2p $DF$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $\mathbb R$ se definește legea de compoziție $x * y = (x - 4y)(y - 4x) + 4$.

1. Arătați că $1 * 3 = 15$

$1 * 3 = (1 - 4\cdot 3)(3 - 4\cdot 1) + 4 = (-11)\cdot(-1) + 4 = 11 + 4 = 15.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Arătați că legea este comutativă

Trebuie să arătăm că $y * x = x * y$ pentru orice $x, y$ reali. Din definiție (schimbând rolurile):

$y * x = (y - 4x)(x - 4y) + 4 = (x - 4y)(y - 4x) + 4 = x * y,$

deoarece înmulțirea numerelor reale este comutativă (am schimbat doar ordinea factorilor). $\blacksquare$

Barem: 3p scrierea lui $y * x$, 2p concluzia.

3. Determinați $x$ cu $x * 0 = 0$

$x * 0 = (x - 0)(0 - 4x) + 4 = -4x^2 + 4.$

Ecuația: $-4x^2 + 4 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x \in \{-1, 1\}$.

Răspuns: $x \in \{-1, 1\}$. Barem: 3p expresia, 2p soluțiile.

4. Arătați că $x * (x + 1) = 9x(x + 1)$

$x - 4(x+1) = -3x - 4, \qquad (x + 1) - 4x = 1 - 3x.$

$x * (x+1) = (-3x - 4)(1 - 3x) + 4 = -3x + 9x^2 - 4 + 12x + 4 = 9x^2 + 9x = 9x(x+1).$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

5. Determinați $x$ cu $(x - 1) * x = (x + 1) * (x + 2)$

Ambele compuneri sunt de forma $t * (t + 1)$, deci folosim cerința 4:

• cu $t = x - 1$: $(x - 1) * x = 9(x - 1)x$;
• cu $t = x + 1$: $(x + 1) * (x + 2) = 9(x + 1)(x + 2)$.

Ecuația: $9x(x - 1) = 9(x+1)(x+2) \iff x^2 - x = x^2 + 3x + 2 \iff -4x = 2 \iff x = -\dfrac12$.

Răspuns: $x = -\dfrac12$. Barem: 3p cele două expresii, 2p soluția.

6. Numerele $m$ cu $x * (mx) = 4$ pentru orice $x$ real

$x * (mx) = (x - 4mx)(mx - 4x) + 4 = x(1 - 4m)\cdot x(m - 4) + 4 = x^2(1 - 4m)(m - 4) + 4.$

Condiția $x^2(1 - 4m)(m - 4) + 4 = 4$ pentru orice $x$ înseamnă $x^2(1 - 4m)(m - 4) = 0$ pentru orice $x$; luând de exemplu $x = 1$, coeficientul trebuie să fie nul:

$(1 - 4m)(m - 4) = 0 \iff m = \frac14 \text{ sau } m = 4.$

Reciproc, pentru aceste valori expresia este identic 4.

Răspuns: $m \in \left\{\dfrac14, 4\right\}$. Barem: 2p expresia, 3p condiția și valorile lui $m$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix}x & 2 - x\\ x - 1 & 3 - x\end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\det(A(4)) = 2$

$A(4) = \begin{pmatrix}4 & -2\\ 3 & -1\end{pmatrix}$, deci $\det(A(4)) = 4\cdot(-1) - (-2)\cdot 3 = -4 + 6 = 2$.

Barem: 3p formula, 2p calculul.

2. Numărul $x$ cu $A(3) + 3A(x) = 4A(6)$

$A(3) = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 2 & 0\end{pmatrix}$, $A(6) = \begin{pmatrix}6 & -4\\ 5 & -3\end{pmatrix}$. Izolăm: $3A(x) = 4A(6) - A(3)$.

$4A(6) - A(3) = \begin{pmatrix}24 - 3 & -16 + 1\\ 20 - 2 & -12 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}21 & -15\\ 18 & -12\end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}7 & -5\\ 6 & -4\end{pmatrix} = 3A(7).$

(Într-adevăr $A(7) = \begin{pmatrix}7 & -5\\ 6 & -4\end{pmatrix}$.) Deci $3A(x) = 3A(7)$, de unde $x = 7$.

Răspuns: $x = 7$. Barem: 2p matricele, 3p valoarea lui $x$.

3. Arătați că $A(5)\cdot\left(3I_2 - A(5)\right) = 2I_2$

$A(5) = \begin{pmatrix}5 & -3\\ 4 & -2\end{pmatrix}, \qquad 3I_2 - A(5) = \begin{pmatrix}-2 & 3\\ -4 & 5\end{pmatrix}.$

$A(5)\cdot(3I_2 - A(5)) = \begin{pmatrix}-10 + 12 & 15 - 15\\ -8 + 8 & 12 - 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I_2.$

Barem: 3p calculul produsului, 2p concluzia.

4. Arătați că $\det\left(A(0)\cdot A(1) - A(x)\right) = 0$, pentru orice $x$

$A(0) = \begin{pmatrix}0 & 2\\ -1 & 3\end{pmatrix}$, $A(1) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$:

$A(0)\cdot A(1) = \begin{pmatrix}0 & 0 + 4\\ -1 & -1 + 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 4\\ -1 & 5\end{pmatrix}.$

$A(0)\cdot A(1) - A(x) = \begin{pmatrix}-x & 4 - 2 + x\\ -1 - x + 1 & 5 - 3 + x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x & x + 2\\ -x & x + 2\end{pmatrix}.$

Cele două linii sunt egale, deci determinantul este 0: $(-x)(x + 2) - (x + 2)(-x) = 0$, pentru orice $x$ real. $\blacksquare$

Barem: 3p matricea, 2p determinantul.

5. $N = \det\left(A(n) + nI_2\right)$ este natural par, pentru orice $n$ natural

$A(n) + nI_2 = \begin{pmatrix}2n & 2 - n\\ n - 1 & 3\end{pmatrix},$

$N = 6n - (2 - n)(n - 1) = 6n - (2n - 2 - n^2 + n) = n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2).$

Pentru $n$ natural, $n + 1$ și $n + 2$ sunt numere naturale consecutive; dintre două numere consecutive unul este par, deci produsul este natural și par. $\blacksquare$

Barem: 2p calculul lui $N$, 3p justificarea parității.

6. Matricea $X$ cu $A(5)\cdot X = A(0) + 3X$

Mutăm termenii cu $X$ în stânga și dăm factor comun la dreapta: $A(5)X - 3X = A(0) \iff (A(5) - 3I_2)X = A(0)$.

Din cerința 3: $A(5)\cdot(3I_2 - A(5)) = 2I_2$, adică $(A(5) - 3I_2)\cdot\left(-\dfrac12 A(5)\right) = I_2$, deci $(A(5) - 3I_2)^{-1} = -\dfrac12 A(5)$ (matricele $A(5)$ și $A(5) - 3I_2$ comută). Înmulțim la stânga:

$X = -\frac12 A(5)\cdot A(0) = -\frac12\begin{pmatrix}5 & -3\\ 4 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 2\\ -1 & 3\end{pmatrix} = -\frac12\begin{pmatrix}3 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac32 & -\frac12\\ -1 & -1\end{pmatrix}.$

Verificare: $A(5)X = \begin{pmatrix}-\frac92 & \frac12\\ -4 & 0\end{pmatrix}$ și $A(0) + 3X = \begin{pmatrix}-\frac92 & \frac12\\ -4 & 0\end{pmatrix}$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}-\frac32 & -\frac12\\ -1 & -1\end{pmatrix}$. Barem: 3p scrierea $X = -\frac12 A(5)A(0)$, 2p calculul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$f(m) = 12$
I.3	$x \in \{0, 8\}$
I.4	130 de lei
I.5	$OC = 2$
II.3	$x \in \{-1, 1\}$
II.5	$x = -\frac12$
II.6	$m \in \{\frac14, 4\}$
III.2	$x = 7$
III.6	$X = \begin{pmatrix}-\frac32 & -\frac12\\ -1 & -1\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din simulare

• Scumpiri succesive: a doua scumpire se calculează din prețul după prima, nu din prețul inițial.
• „Pentru orice $x$”: o expresie $c\cdot x^2 + 4$ este constant 4 doar dacă $c = 0$.
• Determinant nul: dacă două linii (sau coloane) sunt egale, determinantul este 0 fără alt calcul.
• Paritate: produsul a două numere naturale consecutive este mereu par.