Rezolvare BAC 2026 Matematică (pedagogic) — Rezervă, varianta 7

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2026 la Matematică M_pedagogic, subiectul de rezervă din sesiunea iunie–iulie, varianta 7. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt6\left(2 + 3\sqrt6\right) - \sqrt{36} - \sqrt{24} = 12$

Desfacem paranteza: $\sqrt6\cdot 2 + \sqrt6\cdot 3\sqrt6 = 2\sqrt6 + 3\cdot 6 = 2\sqrt6 + 18$.

$\sqrt{36} = 6$ și $\sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt6$ (scoatem factorul de sub radical).

$2\sqrt6 + 18 - 6 - 2\sqrt6 = 12.$

Barem: 3p calculul termenilor, 2p finalizarea.

2. $f(x) = 4x + 16$; abscisa punctului de intersecție a graficului cu $Ox$

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata 0, deci rezolvăm $f(x) = 0$: $4x + 16 = 0 \iff x = -4$.

Răspuns: abscisa este $-4$ (punctul $(-4, 0)$). Barem: 3p ecuația $f(x) = 0$, 2p soluția.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 + 3x - 15} = x$

Condiții: radicalul de ordin par este nenegativ, deci membrul drept trebuie să fie $x \ge 0$; în plus $x^2 + 3x - 15 \ge 0$.

Ridicăm la pătrat: $x^2 + 3x - 15 = x^2 \iff 3x = 15 \iff x = 5$.

Verificare: $x = 5 \ge 0$ și $\sqrt{25 + 15 - 15} = \sqrt{25} = 5$ ✔.

Răspuns: $x = 5$. Barem: 3p ecuația obținută prin ridicare la pătrat, 2p soluția care convine.

4. Probabilitatea ca, pentru $n \in \{0, 1, \dots, 9\}$, $n^3$ să fie natural de două cifre

Cazuri posibile: mulțimea are 10 elemente.

Cazuri favorabile: calculăm cuburile: $0, 1, 8, 27, 64, 125, \dots$ Doar $3^3 = 27$ și $4^3 = 64$ au două cifre ($2^3 = 8$ are una, $5^3 = 125$ are trei). Deci 2 cazuri favorabile.

$p = \frac{2}{10} = \frac15.$

Răspuns: $p = \dfrac15$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(2,4)$, $B(5,2)$, $M$ mijlocul lui $OA$; distanța $BM$

$M\left(\dfrac{0 + 2}{2}, \dfrac{0 + 4}{2}\right) = M(1, 2)$.

$BM = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{16} = 4.$

(Punctele au aceeași ordonată, deci distanța este diferența absciselor.)

Răspuns: $BM = 4$. Barem: 3p coordonatele lui $M$, 2p distanța.

6. Arătați că $\sqrt3\sin30^\circ + 2\cos60^\circ - \sin60^\circ = 1$

Valori: $\sin30^\circ = \dfrac12$, $\cos60^\circ = \dfrac12$, $\sin60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

$\sqrt3\cdot\frac12 + 2\cdot\frac12 - \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2} + 1 - \frac{\sqrt3}{2} = 1.$

Barem: 3p valorile, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $\mathbb R$ se definește legea de compoziție $x * y = \dfrac{xy}{4} + 8 - x - y$.

1. Arătați că $1 * 4 = 4$

$1 * 4 = \frac{1\cdot 4}{4} + 8 - 1 - 4 = 1 + 3 = 4.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Determinați $x$ cu $x * 5 = 6$

$x * 5 = \frac{5x}{4} + 8 - x - 5 = \frac{5x - 4x}{4} + 3 = \frac x4 + 3.$

Ecuația: $\dfrac x4 + 3 = 6 \iff \dfrac x4 = 3 \iff x = 12$.

Răspuns: $x = 12$. Barem: 3p expresia, 2p soluția.

3. Arătați că $x * y = \dfrac14(x - 4)(y - 4) + 4$

Aducem la numitorul 4 și grupăm:

$x * y = \frac14\left(xy - 4x - 4y + 32\right) = \frac14\left(xy - 4x - 4y + 16\right) + 4.$

Factorizăm: $xy - 4x - 4y + 16 = x(y - 4) - 4(y - 4) = (x - 4)(y - 4)$. Deci $x * y = \dfrac14(x-4)(y-4) + 4$, pentru orice $x, y$ reali.

Barem: 2p rescrierea, 3p factorizarea.

4. Dacă $x * (y + 1) = (x - 1) * y$, atunci $x + y = 8$

Cu forma de la 3:

$x * (y+1) = \frac14(x - 4)(y - 3) + 4, \qquad (x - 1) * y = \frac14(x - 5)(y - 4) + 4.$

Egalitatea devine $(x - 4)(y - 3) = (x - 5)(y - 4)$. Desfacem:

$xy - 3x - 4y + 12 = xy - 4x - 5y + 20 \iff x + y = 8. \ \blacksquare$

Barem: 2p cele două expresii, 3p obținerea relației.

5. Dacă $x, y \in [4, +\infty)$, atunci $x * y \in [4, +\infty)$

Din $x \ge 4$ și $y \ge 4$ avem $x - 4 \ge 0$ și $y - 4 \ge 0$, deci produsul $(x-4)(y-4) \ge 0$ (produsul a două numere nenegative este nenegativ).

Atunci $x * y = \dfrac14(x-4)(y-4) + 4 \ge 0 + 4 = 4$, adică $x * y \in [4, +\infty)$. $\blacksquare$

Barem: 3p semnul produsului, 2p concluzia. (Spunem că $[4, +\infty)$ este parte stabilă în raport cu legea $*$.)

6. Perechile $(m, n)$ de numere naturale cu $4^m * (n + 1) = \left(2^{2m} - 1\right) * n$

Observăm că $2^{2m} = 4^m$, deci egalitatea are exact forma de la cerința 4 cu $x = 4^m$ și $y = n$: $x * (y + 1) = (x - 1) * y$. Din calculul de la 4 (care este o echivalență), egalitatea are loc exact când

$4^m + n = 8.$

Cum $n \ge 0$, avem $4^m \le 8$, deci $m \in \{0, 1\}$:

• $m = 0$: $1 + n = 8 \Rightarrow n = 7$;
• $m = 1$: $4 + n = 8 \Rightarrow n = 4$;
• $m = 2$: $16 > 8$, imposibil.

Răspuns: $(m, n) \in \{(0, 7),\ (1, 4)\}$. Barem: 3p relația $4^m + n = 8$, 2p perechile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră $A = \begin{pmatrix}9 & 6\\ 4 & -1\end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix}x + 2 & 3\\ 2 & x - 2\end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\det(B(4)) = 6$

$B(4) = \begin{pmatrix}6 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}$, deci $\det(B(4)) = 6\cdot 2 - 3\cdot 2 = 12 - 6 = 6$.

Barem: 3p formula, 2p calculul.

2. Arătați că $2B(3) + B(6) = 3B(4)$

$2B(3) + B(6) = 2\begin{pmatrix}5 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}8 & 3\\ 2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 6\\ 4 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}8 & 3\\ 2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18 & 9\\ 6 & 6\end{pmatrix}.$

$3B(4) = 3\begin{pmatrix}6 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18 & 9\\ 6 & 6\end{pmatrix}.$

Cele două matrice coincid. Barem: 3p suma, 2p identificarea cu $3B(4)$.

3. Numărul $a$ cu $B(-2)\cdot B(5) = aB(0)$

$B(-2) = \begin{pmatrix}0 & 3\\ 2 & -4\end{pmatrix}$, $B(5) = \begin{pmatrix}7 & 3\\ 2 & 3\end{pmatrix}$, $B(0) = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 2 & -2\end{pmatrix}$.

$B(-2)\cdot B(5) = \begin{pmatrix}0\cdot7 + 3\cdot2 & 0\cdot3 + 3\cdot3\\ 2\cdot7 - 4\cdot2 & 2\cdot3 - 4\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 9\\ 6 & -6\end{pmatrix} = 3B(0).$

Din $aB(0) = 3B(0)$ (de exemplu, comparând elementul $(1,2)$: $3a = 9$) rezultă $a = 3$.

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p produsul, 2p valoarea lui $a$.

4. Numărul întreg $m$ cu $\det(2B(m) - A) < 0$

$2B(m) - A = \begin{pmatrix}2m + 4 - 9 & 6 - 6\\ 4 - 4 & 2m - 4 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2m - 5 & 0\\ 0 & 2m - 3\end{pmatrix}.$

Matricea este diagonală, deci $\det(2B(m) - A) = (2m - 5)(2m - 3)$.

Produsul este negativ când factorii au semne opuse, adică $m$ este strict între rădăcinile $\dfrac32$ și $\dfrac52$: $m \in \left(\dfrac32, \dfrac52\right) = (1{,}5;\ 2{,}5)$. Singurul număr întreg din acest interval este $m = 2$ (verificare: $(-1)\cdot 1 = -1 < 0$ ✔).

Răspuns: $m = 2$. Barem: 2p determinantul, 3p rezolvarea inecuației în $\mathbb Z$.

5. Perechile $(n, p)$ de numere naturale cu $B(n)\cdot B(-n) = 2pI_2$

$B(-n) = \begin{pmatrix}2 - n & 3\\ 2 & -n - 2\end{pmatrix}$.

$B(n)\cdot B(-n) = \begin{pmatrix}(n+2)(2-n) + 6 & 3(n+2) - 3(n+2)\\ 2(2-n) + 2(n-2) & 6 - (n-2)(n+2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 - n^2 & 0\\ 0 & 10 - n^2\end{pmatrix}.$

Egalitatea cu $\begin{pmatrix}2p & 0\\ 0 & 2p\end{pmatrix}$ înseamnă $10 - n^2 = 2p$. Cum $p \ge 0$, trebuie $n^2 \le 10$, deci $n \in \{0, 1, 2, 3\}$, iar $10 - n^2$ trebuie să fie par, deci $n$ par:

• $n = 0$: $2p = 10 \Rightarrow p = 5$;
• $n = 1$: $2p = 9$ — nu e natural;
• $n = 2$: $2p = 6 \Rightarrow p = 3$;
• $n = 3$: $2p = 1$ — nu e natural.

Răspuns: $(n, p) \in \{(0, 5),\ (2, 3)\}$. Barem: 3p produsul, 2p perechile.

6. Matricea $X$ cu $B(4)\cdot X = 2A$

$\det(B(4)) = 6 \ne 0$, deci $B(4)$ este inversabilă și înmulțim la stânga cu inversa: $X = (B(4))^{-1}\cdot 2A$.

Inversa unei matrice $2\times 2$ $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ este $\dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$:

$(B(4))^{-1} = \frac16\begin{pmatrix}2 & -3\\ -2 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac13 & -\frac12\\ -\frac13 & 1\end{pmatrix}.$

$X = \begin{pmatrix}\frac13 & -\frac12\\ -\frac13 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}18 & 12\\ 8 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 - 4 & 4 + 1\\ -6 + 8 & -4 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 5\\ 2 & -6\end{pmatrix}.$

Verificare: $B(4)X = \begin{pmatrix}12 + 6 & 30 - 18\\ 4 + 4 & 10 - 12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18 & 12\\ 8 & -2\end{pmatrix} = 2A$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}2 & 5\\ 2 & -6\end{pmatrix}$. Barem: 2p scrierea $X = (B(4))^{-1}\cdot 2A$, 3p inversa și rezultatul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$x = -4$
I.3	$x = 5$
I.4	$p = \frac15$
I.5	$BM = 4$
II.2	$x = 12$
II.6	$(0,7)$ și $(1,4)$
III.3	$a = 3$
III.4	$m = 2$
III.5	$(0,5)$ și $(2,3)$
III.6	$X = \begin{pmatrix}2 & 5\\ 2 & -6\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 7

• Ecuații iraționale $\sqrt{E(x)} = x$: pune condiția $x \ge 0$ și verifică soluția la final.
• Forma $\frac14(x-4)(y-4) + 4$ face evidente atât parte stabilă $[4, +\infty)$, cât și ecuațiile cu compuneri.
• Refolosește cerințele anterioare: cerința 6 de la Subiectul II este exact cerința 4 cu $x = 4^m$.
• Inecuații în $\mathbb Z$: produsul $(2m-5)(2m-3) < 0$ înseamnă $m$ strict între rădăcini.