Rezolvare BAC 2025 Matematică (pedagogic) — Simulare națională

Rezolvarea completă a subiectului de la simularea națională de Bacalaureat 2025 la Matematică M_pedagogic. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt5\left(2\sqrt5 + \sqrt{10}\right) - 2 - 5\sqrt2 = 8$

Desfacem paranteza: $\sqrt5\cdot 2\sqrt5 = 2\cdot 5 = 10$ și $\sqrt5\cdot\sqrt{10} = \sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt2$.

$\sqrt5\left(2\sqrt5 + \sqrt{10}\right) - 2 - 5\sqrt2 = 10 + 5\sqrt2 - 2 - 5\sqrt2 = 10 - 2 = 8.$

Barem: 3p desfacerea parantezei și scoaterea factorilor de sub radical, 2p finalizarea.

2. $f(x) = 3x - 1$, $g(x) = x + 7$: abscisa punctului de intersecție a graficelor

Un punct comun al graficelor are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci $f(x) = g(x)$:

$3x - 1 = x + 7 \iff 2x = 8 \iff x = 4.$

(Ordonata ar fi $f(4) = g(4) = 11$.)

Răspuns: $x = 4$. Barem: 3p ecuația $f(x) = g(x)$, 2p soluția.

3. Ecuația $3^{3x}\cdot\dfrac{1}{3^3} = 9^x$

Aducem la baza 3: $3^{3x}\cdot 3^{-3} = 3^{3x - 3}$ și $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$. Ecuația devine

$3^{3x - 3} = 3^{2x} \iff 3x - 3 = 2x \iff x = 3.$

Verificare: $3^9 : 27 = 3^6 = 729 = 9^3$ ✔.

Răspuns: $x = 3$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. Preț afișat 900 lei, vânzare cu $70\%$ din preț, apoi încă $10\%$ reducere la electronice

Primul pas: produsul se vinde cu $70\%$ din prețul de raft:

$\frac{70}{100}\cdot 900 = 630 \text{ lei}.$

Al doilea pas: ieftinire cu $10\%$ din noul preț (630 lei):

$630 - \frac{10}{100}\cdot 630 = 630 - 63 = 567 \text{ lei}.$

Răspuns: 567 de lei. Barem: 2p prețul de 630 lei, 3p prețul final. Greșeli frecvente: să calculezi $30\%$ reducere în loc de $70\%$ din preț, sau să aplici cei $10\%$ la 900 lei.

5. $A(1,5)$, $B(5,3)$, $C(8,4)$, $D$ mijlocul lui $AB$: triunghiul $ODC$ este isoscel

$D\left(\dfrac{1 + 5}{2}, \dfrac{5 + 3}{2}\right) = D(3, 4)$.

$OD = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \qquad DC = \sqrt{(8 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{25} = 5.$

Cum $OD = DC$, triunghiul $ODC$ este isoscel (cu vârful în $D$). Barem: 2p coordonatele lui $D$, 3p lungimile și concluzia.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 4$, $\sin B = \dfrac13$: arătați că $AC = \sqrt2$

Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă supra ipotenuză: $\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac13$, deci $BC = 3AC$.

Teorema lui Pitagora: $AB^2 + AC^2 = BC^2$:

$16 + AC^2 = 9AC^2 \iff 8AC^2 = 16 \iff AC^2 = 2 \iff AC = \sqrt2$

(lungimea este pozitivă). Barem: 2p relația $BC = 3AC$, 3p Pitagora și rezultatul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea de compoziție pe $\mathbb R$: $x \circ y = x + y - \dfrac{xy}{6} + 1$.

1. Arătați că $2\circ 3 = 5$

$2\circ 3 = 2 + 3 - \frac{2\cdot 3}{6} + 1 = 5 - 1 + 1 = 5.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Arătați că $x\circ y = 7 - \dfrac16(x - 6)(y - 6)$

Scriem $1 = -6 + 7$ și grupăm termenii cu $x$:

$x\circ y = x - \frac{xy}{6} + y - 6 + 7 = -\frac{x}{6}(y - 6) + (y - 6) + 7 = (y - 6)\left(1 - \frac{x}{6}\right) + 7.$

Cum $1 - \dfrac{x}{6} = -\dfrac16(x - 6)$:

$x\circ y = 7 - \frac16(x - 6)(y - 6).$

(Verificare prin desfacere: $7 - \frac16(xy - 6x - 6y + 36) = 7 - \frac{xy}{6} + x + y - 6 = x + y - \frac{xy}{6} + 1$ ✔.) Barem: 3p gruparea, 2p forma finală.

3. Determinați $x$ cu $x\circ 4 = 4$

$x\circ 4 = x + 4 - \frac{4x}{6} + 1 = x - \frac{2x}{3} + 5 = \frac{x}{3} + 5.$

Ecuația: $\dfrac{x}{3} + 5 = 4 \iff \dfrac{x}{3} = -1 \iff x = -3$.

Răspuns: $x = -3$. Barem: 3p expresia, 2p soluția.

4. Perechile $(m, n)$ de numere întregi, $m < n$, cu $m\circ n = \dfrac16$

Cu forma de la punctul 2:

$7 - \frac16(m - 6)(n - 6) = \frac16 \iff 42 - (m - 6)(n - 6) = 1 \iff (m - 6)(n - 6) = 41.$

41 este număr prim, deci produsul a doi întregi egal cu 41 se obține doar ca $1\cdot 41$, $41\cdot 1$, $(-1)(-41)$, $(-41)(-1)$. Cum $m < n$, avem $m - 6 < n - 6$:

• $m - 6 = 1$, $n - 6 = 41$ $\Rightarrow (m, n) = (7, 47)$;
• $m - 6 = -41$, $n - 6 = -1$ $\Rightarrow (m, n) = (-35, 5)$.

Răspuns: $(m, n) \in \{(-35, 5),\ (7, 47)\}$. Barem: 3p relația $(m-6)(n-6) = 41$, 2p perechile. Nu uita divizorii negativi — se cer numere întregi, nu naturale.

5. Determinați $x$ cu $(0\circ x)\circ(x + 1) = 1$

Mai întâi $0\circ x = 0 + x - 0 + 1 = x + 1$. Apoi, cu forma de la punctul 2:

$(x + 1)\circ(x + 1) = 7 - \frac16(x + 1 - 6)^2 = 7 - \frac16(x - 5)^2.$

Ecuația: $7 - \dfrac16(x - 5)^2 = 1 \iff (x - 5)^2 = 36 \iff x - 5 = \pm 6 \iff x \in \{-1, 11\}$.

Răspuns: $x = -1$ sau $x = 11$. Barem: 3p calculul compunerii, 2p soluțiile.

6. Tripletele $(a, b, c)$: $a, b, c$ în progresie aritmetică cu rația 6 și $b\circ c = -5$

Rația 6 înseamnă $b = a + 6$ și $c = b + 6$. Cu forma de la punctul 2:

$b\circ c = 7 - \frac16(b - 6)(c - 6) = 7 - \frac16(b - 6)\,b = -5 \iff b(b - 6) = 72 \iff b^2 - 6b - 72 = 0.$

$\Delta = 36 + 288 = 324 = 18^2$, deci $b = \dfrac{6 \pm 18}{2}$, adică $b = 12$ sau $b = -6$.

• $b = -6$: $a = -12$, $c = 0$ $\Rightarrow (-12, -6, 0)$;
• $b = 12$: $a = 6$, $c = 18$ $\Rightarrow (6, 12, 18)$.

Verificare pentru $(6, 12, 18)$: $12\circ 18 = 7 - \frac16\cdot 6\cdot 12 = 7 - 12 = -5$ ✔.

Răspuns: $(a, b, c) \in \{(-12, -6, 0),\ (6, 12, 18)\}$. Barem: 3p ecuația $b^2 - 6b - 72 = 0$, 2p tripletele.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricele $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix}2x & 3x + 1\\ 1 - x & 1\end{pmatrix}$, $x \in \mathbb R$.

1. Arătați că $\det(B(1)) = 2$

$B(1) = \begin{pmatrix}2 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det(B(1)) = 2\cdot 1 - 4\cdot 0 = 2.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

2. Arătați că $B(1)\cdot B(2) - B(2) = 11A$

$B(2) = \begin{pmatrix}4 & 7\\ -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B(1)\cdot B(2) = \begin{pmatrix}2\cdot 4 + 4\cdot(-1) & 2\cdot 7 + 4\cdot 1\\ 0\cdot 4 + 1\cdot(-1) & 0\cdot 7 + 1\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 18\\ -1 & 1\end{pmatrix}.$

$B(1)\cdot B(2) - B(2) = \begin{pmatrix}0 & 11\\ 0 & 0\end{pmatrix} = 11\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} = 11A.$

Barem: 3p $B(2)$ și produsul, 2p concluzia.

3. Determinați $a$ cu $\det(B(-1) + aA) = 0$

$B(-1) = \begin{pmatrix}-2 & -2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, \qquad B(-1) + aA = \begin{pmatrix}-2 & -2 + a\\ 2 & 1\end{pmatrix}.$

$\det(B(-1) + aA) = (-2)\cdot 1 - 2(-2 + a) = -2 + 4 - 2a = 2 - 2a.$

Ecuația: $2 - 2a = 0 \iff a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p determinantul, 2p soluția.

4. Arătați că $B(-x) + 2B(x) = 3B\left(\dfrac{x}{3}\right)$

$B(-x) = \begin{pmatrix}-2x & -3x + 1\\ 1 + x & 1\end{pmatrix}, \qquad 2B(x) = \begin{pmatrix}4x & 6x + 2\\ 2 - 2x & 2\end{pmatrix},$

$B(-x) + 2B(x) = \begin{pmatrix}2x & 3x + 3\\ 3 - x & 3\end{pmatrix}.$

Pe de altă parte, $B\left(\dfrac x3\right) = \begin{pmatrix}\frac{2x}{3} & x + 1\\ 1 - \frac{x}{3} & 1\end{pmatrix}$, deci

$3B\left(\frac{x}{3}\right) = \begin{pmatrix}2x & 3x + 3\\ 3 - x & 3\end{pmatrix}.$

Matricele coincid pentru orice $x$ real. Barem: 3p calculul membrului stâng, 2p identificarea cu $3B\left(\frac x3\right)$.

5. Determinați $x$ cu $A\cdot(B(x) + I_2) = B(x)\cdot A$

$B(x) + I_2 = \begin{pmatrix}2x + 1 & 3x + 1\\ 1 - x & 2\end{pmatrix}.$

Înmulțirea la stânga cu $A$ „copiază” linia a doua pe prima și pune zerouri pe a doua:

$A\cdot(B(x) + I_2) = \begin{pmatrix}1 - x & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix}.$

Înmulțirea la dreapta cu $A$ mută coloana întâi pe a doua și pune zerouri pe prima:

$B(x)\cdot A = \begin{pmatrix}0 & 2x\\ 0 & 1 - x\end{pmatrix}.$

Egalând elementele: $1 - x = 0$, $2 = 2x$, $0 = 1 - x$ — toate dau $x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p calculul lui $A(B(x) + I_2)$, 2p $B(x)A$ și soluția.

6. $N = \det(B(2m) - B(2n + 1))$ este natural, multiplu impar de 3, pentru orice $m, n$ întregi

$B(2m) = \begin{pmatrix}4m & 6m + 1\\ 1 - 2m & 1\end{pmatrix}, \qquad B(2n + 1) = \begin{pmatrix}4n + 2 & 6n + 4\\ -2n & 1\end{pmatrix},$

$B(2m) - B(2n + 1) = \begin{pmatrix}4m - 4n - 2 & 6m - 6n - 3\\ 1 - 2m + 2n & 0\end{pmatrix}.$

Notăm $k = 1 - 2m + 2n$. Atunci $4m - 4n - 2 = -2k$ și $6m - 6n - 3 = -3k$, deci

$N = (-2k)\cdot 0 - (-3k)\cdot k = 3k^2 = 3(1 - 2m + 2n)^2.$

• $k = 1 + 2(n - m)$ este un număr întreg impar, deci $k^2$ este natural impar.
• Așadar $N = 3k^2$ este natural și este de forma $3\cdot(\text{impar})$, adică multiplu impar de 3.

Barem: 2p diferența matricelor, 3p $N = 3(1 - 2m + 2n)^2$ și concluzia.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$x = 4$
I.3	$x = 3$
I.4	567 de lei
I.6	$AC = \sqrt2$
II.3	$x = -3$
II.4	$(-35, 5)$ și $(7, 47)$
II.5	$x \in \{-1, 11\}$
II.6	$(-12,-6,0)$ și $(6,12,18)$
III.3	$a = 1$
III.5	$x = 1$
III.6	$N = 3(1 - 2m + 2n)^2$

Ce merită reținut din simulare

• Reduceri succesive: fiecare procent se aplică prețului obținut la pasul anterior.
• Forma „canonică” a legii $7 - \frac16(x-6)(y-6)$ transformă ecuațiile în produse de factori — cheia la punctele 4–6.
• Ecuații în numere întregi: când produsul e un număr prim, ia în calcul și divizorii negativi.
• Paritate: un număr de forma $1 + 2t$ cu $t$ întreg este mereu impar, iar pătratul unui impar este impar.