Rezolvare BAC 2026 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2026 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\dfrac{14}{5}\cdot\left(1 - \dfrac16\right) + \dfrac23 = 3$

Ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea, la final adunarea.

$1 - \frac16 = \frac66 - \frac16 = \frac56, \qquad \frac{14}{5}\cdot\frac56 = \frac{14}{6} = \frac73.$

$\frac73 + \frac23 = \frac93 = 3.$

Barem: 3p calculul parantezei și al produsului, 2p finalizarea.

2. $f(x) = 4x - 1$, $a = f(1)$; calculați $f(a)$

Întâi aflăm $a$: $a = f(1) = 4\cdot 1 - 1 = 3$.

Apoi $f(a) = f(3) = 4\cdot 3 - 1 = 11$.

Răspuns: $f(a) = 11$. Barem: 2p $a = 3$, 3p $f(3) = 11$.

3. Ecuația $10^3 \cdot 10^x = 100$

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: $10^3\cdot 10^x = 10^{3+x}$. Scriem și $100 = 10^2$:

$10^{3+x} = 10^2 \iff 3 + x = 2 \iff x = -1.$

(Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții trebuie să fie egali.) Verificare: $10^3\cdot 10^{-1} = 10^2 = 100$ ✔.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. Două ieftiniri succesive cu câte 50%; prețul final 200 lei

Notăm cu $x$ prețul inițial. După prima ieftinire cu 50% rămâne jumătate: $x - \dfrac{50}{100}x = \dfrac{x}{2}$.

A doua ieftinire se aplică noului preț $\dfrac x2$: $\dfrac x2 - \dfrac{50}{100}\cdot\dfrac x2 = \dfrac x4$.

$\frac x4 = 200 \Rightarrow x = 800 \text{ lei}.$

Atenție: două ieftiniri de 50% nu înseamnă o ieftinire de 100% — fiecare procent se calculează din prețul de atunci.

Răspuns: 800 de lei. Barem: 2p prețul după prima ieftinire, 3p a doua ieftinire și rezultatul.

5. $A(4,0)$, $B(6,2)$, $C$ mijlocul lui $OB$; arătați că $AC = \sqrt2$

Mijlocul segmentului $OB$, cu $O(0,0)$: $C\left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{0+2}{2}\right) = C(3,1)$.

$AC = \sqrt{(3-4)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2.$

Barem: 2p coordonatele lui $C$, 3p distanța.

6. Arătați că $2\sin45^\circ\cdot\sin30^\circ - \sqrt2\cos60^\circ = 0$

Valori: $\sin45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin30^\circ = \dfrac12$, $\cos60^\circ = \dfrac12$.

$2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 - \sqrt2\cdot\frac12 = \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} = 0.$

Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $\mathbb R$ se definește legea de compoziție $x * y = xy - x - 2y + 4$.

1. Arătați că $3 * 3 = 4$

$3 * 3 = 3\cdot 3 - 3 - 2\cdot 3 + 4 = 9 - 3 - 6 + 4 = 4.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Determinați $x$ pentru care $x * (-2) = x$

$x * (-2) = x\cdot(-2) - x - 2\cdot(-2) + 4 = -2x - x + 4 + 4 = -3x + 8.$

Ecuația: $-3x + 8 = x \iff 8 = 4x \iff x = 2$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p expresia $-3x + 8$, 2p soluția.

3. Determinați $x$ pentru care $(-x) * x = 2x$

$(-x) * x = (-x)\cdot x - (-x) - 2x + 4 = -x^2 + x - 2x + 4 = -x^2 - x + 4.$

Ecuația: $-x^2 - x + 4 = 2x \iff x^2 + 3x - 4 = 0$. $\Delta = 9 + 16 = 25$, deci $x = \dfrac{-3 \pm 5}{2}$, adică $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.

Răspuns: $x \in \{-4, 1\}$. Barem: 2p expresia, 3p rezolvarea ecuației.

4. Arătați că $x * y = (x-2)(y-1) + 2$

Pornim de la membrul drept și desfacem parantezele:

$(x-2)(y-1) + 2 = xy - x - 2y + 2 + 2 = xy - x - 2y + 4 = x * y.$

Alternativ, grupând: $xy - 2y - x + 2 + 2 = y(x-2) - (x-2) + 2 = (x-2)(y-1) + 2$.

Barem: 2p scrierea convenabilă, 3p factorizarea. Această formă este cheia cerințelor 5 și 6.

5. Numerele reale nenule $a$ cu $4 * (4 * a) = \dfrac1a$

Cu forma de la 4: $4 * a = (4-2)(a-1) + 2 = 2a - 2 + 2 = 2a$.

Apoi $4 * (4 * a) = 4 * (2a) = 2\cdot(2a) = 4a$ (aceeași regulă: $4 * t = 2t$).

Ecuația: $4a = \dfrac1a$, cu $a \ne 0$, se înmulțește cu $a$: $4a^2 = 1 \iff a^2 = \dfrac14 \iff a = \pm\dfrac12$. Ambele sunt nenule, deci convin.

Răspuns: $a \in \left\{-\dfrac12, \dfrac12\right\}$. Barem: 2p $4 * (4 * a) = 4a$, 3p soluțiile.

6. Perechile $(n, p)$ de numere naturale cu $n * p = p$

$(n-2)(p-1) + 2 = p \iff (n-2)(p-1) - (p - 1) = -1 \iff (p-1)(n-3) = -1$.

Produsul a două numere întregi este $-1$ doar dacă unul este $1$ și celălalt $-1$:

• $n - 3 = 1$, $p - 1 = -1$ $\Rightarrow$ $n = 4$, $p = 0$;
• $n - 3 = -1$, $p - 1 = 1$ $\Rightarrow$ $n = 2$, $p = 2$.

Verificare: $4 * 0 = 2\cdot(-1) + 2 = 0$ ✔; $2 * 2 = 0 + 2 = 2$ ✔.

Răspuns: $(n,p) \in \{(2,2),\ (4,0)\}$. Barem: 2p ecuația, 3p perechile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\det(A(2)) = 2$

$A(2) = \begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}$, deci

$\det(A(2)) = 2\cdot(-1) - 2\cdot(-2) = -2 + 4 = 2.$

Barem: 3p scrierea și formula determinantului, 2p calculul.

2. Numărul $a$ cu $3A(2) - A(4) = 2A(a)$

$A(4) = \begin{pmatrix}0 & 4\\ -4 & -3\end{pmatrix}$, deci

$3A(2) - A(4) = \begin{pmatrix}6 & 6\\ -6 & -3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 4\\ -4 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}3 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} = 2A(1).$

(Recunoaștem $A(1) = \begin{pmatrix}3 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$.) Deci $2A(a) = 2A(1)$; comparând elementul din colțul dreapta-sus, $a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p calculul matricei, 2p valoarea lui $a$.

3. Numerele $x$ cu $\det(A(x)) = x$

$\det(A(x)) = (4-x)(1-x) - x\cdot(-x) = 4 - 5x + x^2 + x^2 = 2x^2 - 5x + 4.$

Ecuația: $2x^2 - 5x + 4 = x \iff 2x^2 - 6x + 4 = 0 \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x-1)(x-2) = 0$.

Răspuns: $x \in \{1, 2\}$. (Verificare cu 1: $\det A(2) = 2$ ✔.) Barem: 2p determinantul, 3p soluțiile.

4. Arătați că $B = \dfrac12\left(I_2 - A(2)\right)$ este inversa lui $A(2)$

$I_2 - A(2) = \begin{pmatrix}-1 & -2\\ 2 & 2\end{pmatrix} \Rightarrow B = \begin{pmatrix}-\frac12 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.$

O matrice $B$ este inversa lui $A(2)$ dacă $A(2)\cdot B = B\cdot A(2) = I_2$:

$A(2)\cdot B = \begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac12 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 + 2 & -2 + 2\\ 1 - 1 & 2 - 1\end{pmatrix} = I_2,$

$B\cdot A(2) = \begin{pmatrix}-\frac12 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 + 2 & -1 + 1\\ 2 - 2 & 2 - 1\end{pmatrix} = I_2.$

Barem: 2p matricea $B$, 3p verificarea celor două produse.

5. Numerele $x$, $y$ cu $A(x)\cdot A(x) = yI_2$

$A(x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix}(4-x)^2 - x^2 & x(4-x) + x(1-x)\\ -x(4-x) - x(1-x) & -x^2 + (1-x)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 - 8x & 5x - 2x^2\\ -5x + 2x^2 & 1 - 2x\end{pmatrix}.$

Pentru a fi egală cu $\begin{pmatrix}y & 0\\ 0 & y\end{pmatrix}$ avem nevoie de:

• $5x - 2x^2 = 0 \iff x(5 - 2x) = 0 \iff x \in \left\{0, \dfrac52\right\}$;
• $16 - 8x = 1 - 2x \iff 6x = 15 \iff x = \dfrac52$.

Doar $x = \dfrac52$ îndeplinește ambele condiții ($x = 0$ ar da elementele diagonale 16 și 1, diferite). Atunci $y = 16 - 8\cdot\dfrac52 = -4$ (și $1 - 2\cdot\frac52 = -4$ ✔).

Răspuns: $x = \dfrac52$, $y = -4$. Barem: 3p produsul, 2p valorile.

6. Matricea $X$ cu $X - A(2)\cdot X = A(3)$

Dăm factor comun $X$ la dreapta (contează ordinea la matrice): $X - A(2)X = (I_2 - A(2))X$. Ecuația devine $(I_2 - A(2))X = A(3)$.

Din cerința 4: $I_2 - A(2) = 2B = 2A(2)^{-1}$, deci $(I_2 - A(2))^{-1} = \dfrac12 A(2)$. Înmulțim la stânga:

$X = \frac12 A(2)\cdot A(3), \quad A(3) = \begin{pmatrix}1 & 3\\ -3 & -2\end{pmatrix}.$

$A(2)\cdot A(3) = \begin{pmatrix}2 - 6 & 6 - 4\\ -2 + 3 & -6 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 2\\ 1 & -4\end{pmatrix} \Rightarrow X = \begin{pmatrix}-2 & 1\\ \frac12 & -2\end{pmatrix}.$

Verificare: $A(2)X = \begin{pmatrix}-3 & -2\\ \frac72 & 0\end{pmatrix}$, iar $X - A(2)X = \begin{pmatrix}1 & 3\\ -3 & -2\end{pmatrix} = A(3)$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}-2 & 1\\ \frac12 & -2\end{pmatrix}$. Barem: 3p scrierea $X = \frac12 A(2)A(3)$, 2p calculul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$f(a) = 11$
I.3	$x = -1$
I.4	800 de lei
II.2	$x = 2$
II.3	$x \in \{-4, 1\}$
II.5	$a = \pm\frac12$
II.6	$(2,2)$ și $(4,0)$
III.2	$a = 1$
III.3	$x \in \{1, 2\}$
III.5	$x = \frac52$, $y = -4$
III.6	$X = \begin{pmatrix}-2 & 1\\ \frac12 & -2\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 3

• Ieftiniri succesive: fiecare procent se aplică prețului curent; 50% + 50% înseamnă împărțire la 4.
• Legea scrisă ca produs $(x-2)(y-1) + 2$ simplifică enorm calculele cu compuneri repetate și ecuațiile în numere naturale.
• Ecuații matriceale: dă factor comun pe partea corectă ($X - AX = (I_2 - A)X$) și folosește inversa deja găsită.