Rezolvare BAC 2025 Matematică (pedagogic) — Sesiune specială, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2025 la Matematică M_pedagogic, sesiunea specială, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt6\cdot(\sqrt6 - 2) - \sqrt{16} + 2\sqrt6 = 2$

Desfacem paranteza: $\sqrt6\cdot\sqrt6 = 6$ și $\sqrt6\cdot 2 = 2\sqrt6$; apoi $\sqrt{16} = 4$.

$\sqrt6(\sqrt6 - 2) - \sqrt{16} + 2\sqrt6 = 6 - 2\sqrt6 - 4 + 2\sqrt6 = 6 - 4 = 2.$

Termenii cu radical se reduc. Barem: 3p desfacerea parantezei și $\sqrt{16} = 4$, 2p finalizarea.

2. $f(x) = 3x - 1$: determinați $a$ cu $f(a) = 4f(1)$

$f(1) = 3 - 1 = 2$ și $f(a) = 3a - 1$. Ecuația:

$3a - 1 = 4\cdot 2 = 8 \iff 3a = 9 \iff a = 3.$

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p $f(1)$ și $f(a)$, 2p rezolvarea.

3. Ecuația $3^{4+x} = 3^{2-x}$

Ambii membri sunt puteri ale aceleiași baze 3, iar funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali:

$4 + x = 2 - x \iff 2x = -2 \iff x = -1.$

Verificare: $3^{3} = 3^{3}$ ✔.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. Probabilitatea ca un număr din $A = \{1, 2, \dots, 15\}$ să fie divizor al lui 15

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.$

• Cazuri posibile: mulțimea are 15 elemente.
• Cazuri favorabile: divizorii lui 15 din $A$ sunt $1, 3, 5, 15$ — adică 4 numere.

$p = \frac{4}{15}.$

Răspuns: $p = \dfrac{4}{15}$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea. Nu uita divizorii „banali” 1 și 15.

5. $A(4,8)$, $B(5,0)$, $C$ mijlocul lui $OA$: distanța $BC$

$O(0,0)$, deci $C\left(\dfrac{0 + 4}{2}, \dfrac{0 + 8}{2}\right) = C(2, 4)$.

$BC = \sqrt{(2 - 5)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$

Răspuns: $BC = 5$. Barem: 3p coordonatele lui $C$, 2p distanța.

6. Arătați că $2\sin 30^\circ - (\cos 45^\circ)^2 - \cos 60^\circ = 0$

Valori: $\sin 30^\circ = \dfrac12$, $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos 60^\circ = \dfrac12$.

$2\cdot\frac12 - \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 - \frac12 = 1 - \frac24 - \frac12 = 1 - \frac12 - \frac12 = 0.$

Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea de compoziție pe $\mathbb R$: $x * y = xy + x + y + 10$.

1. Arătați că $2 * 5 = 27$

$2 * 5 = 2\cdot 5 + 2 + 5 + 10 = 10 + 2 + 5 + 10 = 27.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Arătați că $x * y = (x + 1)(y + 1) + 9$

Scriem $10 = 1 + 9$ și grupăm:

$x * y = xy + x + y + 1 + 9 = x(y + 1) + (y + 1) + 9 = (x + 1)(y + 1) + 9.$

(Verificare inversă: $(x+1)(y+1) + 9 = xy + x + y + 1 + 9$ ✔.) Barem: 2p scrierea lui 10 ca $1 + 9$, 3p factorizarea.

3. Determinați $x$ cu $(-10) * x = 10 + x$

Cu forma de la punctul 2: $(-10) * x = (-10 + 1)(x + 1) + 9 = -9x - 9 + 9 = -9x$.

Ecuația: $-9x = 10 + x \iff -10x = 10 \iff x = -1$.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 2p expresia $-9x$, 3p soluția.

4. Determinați $x$ cu $x * (-x) = 1$

$x * (-x) = x\cdot(-x) + x + (-x) + 10 = -x^2 + 10.$

Ecuația: $-x^2 + 10 = 1 \iff x^2 = 9 \iff x \in \{-3, 3\}$.

Răspuns: $x = -3$ sau $x = 3$. Barem: 3p expresia, 2p soluțiile.

5. Determinați $x \in [0, +\infty)$ cu $(x - 9) * (9 - \sqrt x) = 9$

Condiția $x \ge 0$ asigură existența lui $\sqrt x$. Cu forma de la punctul 2:

$(x - 9) * (9 - \sqrt x) = (x - 9 + 1)(9 - \sqrt x + 1) + 9 = (x - 8)(10 - \sqrt x) + 9.$

Ecuația: $(x - 8)(10 - \sqrt x) + 9 = 9 \iff (x - 8)(10 - \sqrt x) = 0$.

Un produs este nul dacă un factor este nul:

• $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$;
• $10 - \sqrt x = 0 \Rightarrow \sqrt x = 10 \Rightarrow x = 100$.

Ambele valori sunt în $[0, +\infty)$, deci convin.

Răspuns: $x \in \{8, 100\}$. Barem: 2p forma produsului, 3p soluțiile care convin.

6. Pentru $n$ natural divizibil cu 3, $(n + 1) * (n + 2)$ este divizibil cu 3

Cu forma de la punctul 2:

$(n + 1) * (n + 2) = (n + 2)(n + 3) + 9.$

Fie $n = 3m$, $m \in \mathbb N$. Atunci $n + 3 = 3m + 3 = 3(m + 1)$, deci

$(n + 1) * (n + 2) = (3m + 2)\cdot 3(m + 1) + 9 = 3\big((3m + 2)(m + 1) + 3\big),$

iar $(3m + 2)(m + 1) + 3$ este număr natural. Așadar $(n + 1) * (n + 2)$ este divizibil cu 3.

Barem: 2p scrierea $(n+2)(n+3) + 9$, 3p substituția $n = 3m$ și concluzia.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricele $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{pmatrix}$ și $B(a, b) = \begin{pmatrix}a & a\\ b & a\end{pmatrix}$, $a, b \in \mathbb R$.

1. Arătați că $\det(B(1, -1)) = 2$

$B(1, -1) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det = 1\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 1 + 1 = 2.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

2. Arătați că $A\cdot B(1, -3) = 4I_2$

$B(1, -3) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -3 & 1\end{pmatrix},$

$A\cdot B(1, -3) = \begin{pmatrix}1\cdot 1 + (-1)(-3) & 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1\\ 3\cdot 1 + 1\cdot(-3) & 3\cdot 1 + 1\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} = 4I_2.$

Barem: 3p produsul, 2p scrierea ca $4I_2$.

3. Determinați $a$, $b$ cu $A - 2I_2 = B(a, b)$

$A - 2I_2 = \begin{pmatrix}1 - 2 & -1\\ 3 & 1 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -1\\ 3 & -1\end{pmatrix}.$

Egalăm cu $\begin{pmatrix}a & a\\ b & a\end{pmatrix}$: din pozițiile $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,2)$ obținem $a = -1$ (consistent pe toate trei), iar din poziția $(2,1)$, $b = 3$.

Răspuns: $a = -1$, $b = 3$. Barem: 2p $A - 2I_2$, 3p identificarea lui $a$ și $b$.

4. Determinați $X \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ cu $X\cdot B(1, -1) = A$

Din punctul 1, $\det(B(1,-1)) = 2 \ne 0$, deci $B(1,-1)$ este inversabilă. Înmulțind la dreapta cu inversa: $X = A\cdot(B(1, -1))^{-1}$.

Pentru o matrice $\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$ cu determinant nenul, inversa este $\dfrac{1}{ps - qr}\begin{pmatrix}s & -q\\ -r & p\end{pmatrix}$:

$(B(1, -1))^{-1} = \frac12\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac12 & -\frac12\\ \frac12 & \frac12\end{pmatrix}.$

$X = \begin{pmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac12 & -\frac12\\ \frac12 & \frac12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac12 - \frac12 & -\frac12 - \frac12\\ \frac32 + \frac12 & -\frac32 + \frac12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & -1\end{pmatrix}.$

Verificare: $\begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{pmatrix} = A$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & -1\end{pmatrix}$. Barem: 3p inversa lui $B(1,-1)$, 2p matricea $X$. Atenție la ordine: $X\cdot B = A$ dă $X = A\cdot B^{-1}$, nu $B^{-1}\cdot A$.

5. Dacă $a \ne 0$ și $\det(aA - B(a, b)) = 0$, atunci $3a = b$

$aA - B(a, b) = \begin{pmatrix}a & -a\\ 3a & a\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}a & a\\ b & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -2a\\ 3a - b & 0\end{pmatrix}.$

$\det(aA - B(a, b)) = 0\cdot 0 - (-2a)(3a - b) = 2a(3a - b).$

Din $2a(3a - b) = 0$ și $a \ne 0$ rezultă $3a - b = 0$, adică $3a = b$.

Barem: 3p matricea și determinantul, 2p concluzia.

6. Perechile $(a, b)$ reale, $a < b$, cu $(a + b)B(a, b) + bB(a + b, -b) = B(25, 6)$

$(a + b)B(a, b) = \begin{pmatrix}(a+b)a & (a+b)a\\ (a+b)b & (a+b)a\end{pmatrix}, \qquad bB(a + b, -b) = \begin{pmatrix}b(a+b) & b(a+b)\\ -b^2 & b(a+b)\end{pmatrix}.$

Adunând: pe pozițiile $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,2)$ avem $(a+b)a + (a+b)b = (a+b)^2$, iar pe poziția $(2,1)$: $ab + b^2 - b^2 = ab$.

$\begin{pmatrix}(a+b)^2 & (a+b)^2\\ ab & (a+b)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25 & 25\\ 6 & 25\end{pmatrix} \iff (a + b)^2 = 25,\ ab = 6.$

• $a + b = 5$, $ab = 6$: $a, b$ sunt rădăcinile lui $t^2 - 5t + 6 = 0$, adică $2$ și $3$; cu $a < b$: $(2, 3)$.
• $a + b = -5$, $ab = 6$: rădăcinile lui $t^2 + 5t + 6 = 0$ sunt $-3$ și $-2$; cu $a < b$: $(-3, -2)$.

Răspuns: $(a, b) \in \{(2, 3),\ (-3, -2)\}$. Barem: 2p calculul membrului stâng, 3p sistemul și perechile. Nu uita cazul $a + b = -5$ — din $(a+b)^2 = 25$ rezultă două valori.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 3$
I.3	$x = -1$
I.4	$p = \tfrac{4}{15}$
I.5	$BC = 5$
II.3	$x = -1$
II.4	$x \in \{-3, 3\}$
II.5	$x \in \{8, 100\}$
III.3	$a = -1$, $b = 3$
III.4	$X = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & -1\end{pmatrix}$
III.6	$(2,3)$ și $(-3,-2)$

Ce merită reținut din varianta 3

• Legi de forma $xy + x + y + c$: se scriu $(x+1)(y+1) + (c - 1)$ — forma factorizată simplifică toate punctele următoare.
• Ecuații matriceale $X\cdot B = A$: $X = A\cdot B^{-1}$; ordinea înmulțirii contează.
• Sisteme cu sumă și produs: $a, b$ sunt rădăcinile ecuației $t^2 - St + P = 0$.
• Probabilități: numără atent cazurile favorabile, inclusiv 1 și numărul însuși când e vorba de divizori.