Rezolvare BAC 2025 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2025 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $3\cdot(1{,}5 - 0{,}3) + 0{,}8 : 2 = 4$

Respectăm ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, la final adunarea.

$1{,}5 - 0{,}3 = 1{,}2, \qquad 3\cdot 1{,}2 = 3{,}6, \qquad 0{,}8 : 2 = 0{,}4.$

$3\cdot(1{,}5 - 0{,}3) + 0{,}8 : 2 = 3{,}6 + 0{,}4 = 4.$

Barem: 3p calculul $3\cdot 1{,}2 + 0{,}4$, 2p finalizarea.

2. $f(x) = 2x + 1$: determinați $a$ cu $f(a) = f(3) - a$

Calculăm: $f(3) = 2\cdot 3 + 1 = 7$ și $f(a) = 2a + 1$. Ecuația devine:

$2a + 1 = 7 - a \iff 3a = 6 \iff a = 2.$

Verificare: $f(2) = 5$ și $f(3) - 2 = 7 - 2 = 5$ ✔.

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p $f(3)$ și $f(a)$, 2p rezolvarea ecuației.

3. Ecuația $\log_2(5x - 12) = \log_2(2x)$

Condiții de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive: $5x - 12 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{12}{5}$ și $2x > 0 \Rightarrow x > 0$. Deci $x > \dfrac{12}{5} = 2{,}4$.

Funcția $\log_2$ este injectivă, deci logaritmii sunt egali exact când argumentele sunt egale:

$5x - 12 = 2x \iff 3x = 12 \iff x = 4.$

Cum $4 > 2{,}4$, soluția convine (verificare: $\log_2 8 = \log_2 8 = 3$ ✔).

Răspuns: $x = 4$. Barem: 3p ecuația $5x - 12 = 2x$, 2p soluția și faptul că ea convine.

4. După o scumpire cu $35\%$, un obiect costă 54 de lei. Prețul inițial?

Notăm cu $x$ prețul inițial. Scumpirea este $\dfrac{35}{100}\cdot x$, deci noul preț este

$x + \frac{35}{100}x = \frac{135}{100}x = 54 \iff x = \frac{54\cdot 100}{135} = 40.$

Verificare: $35\%$ din 40 înseamnă 14 lei, iar $40 + 14 = 54$ ✔.

Răspuns: 40 de lei. Barem: 3p scrierea ecuației, 2p rezultatul. Greșeală frecventă: să scazi $35\%$ din 54 — procentul se aplică prețului inițial, nu celui final.

5. $A(2,5)$, $B(4,1)$, $C(6,0)$, $M$ mijlocul lui $AB$: arătați că $OM = CM$

Coordonatele mijlocului: $x_M = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$, $y_M = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$, deci $M(3,3)$.

Cu formula distanței $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$OM = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2, \qquad CM = \sqrt{(3 - 6)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2.$

Deci $OM = CM$. Barem: 3p coordonatele lui $M$ și $OM$, 2p $CM$ și concluzia.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 16$, $5AB = 4BC$: arătați că $AC = 12$

Din $5AB = 4BC$: $5\cdot 16 = 4BC \Rightarrow BC = 20$ (ipotenuza, opusă unghiului drept din $A$).

Teorema lui Pitagora: $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 400 - 256 = 144$, deci $AC = 12$ (lungimea e pozitivă).

Barem: 2p $BC = 20$, 3p aplicarea teoremei lui Pitagora și finalizarea.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea de compoziție pe $\mathbb R$: $x * y = xy - 6(x + y) + 14$.

1. Arătați că $0 * 2 = 2$

$0 * 2 = 0\cdot 2 - 6(0 + 2) + 14 = 0 - 12 + 14 = 2.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Legea „$*$” este comutativă

Trebuie arătat că $x * y = y * x$ pentru orice $x, y \in \mathbb R$:

$y * x = yx - 6(y + x) + 14 = xy - 6(x + y) + 14 = x * y,$

folosind comutativitatea înmulțirii și adunării numerelor reale. Barem: 3p calculul lui $y * x$, 2p concluzia.

3. Determinați $x$ cu $x * 4 = 4$

$x * 4 = 4x - 6(x + 4) + 14 = 4x - 6x - 24 + 14 = -2x - 10.$

Ecuația: $-2x - 10 = 4 \iff -2x = 14 \iff x = -7$.

Răspuns: $x = -7$. Barem: 3p expresia $x * 4$, 2p soluția.

4. Perechile $(m, n)$ de numere naturale, $m < n$, cu $(-m) * (-n) = (m * n) + 36$

Calculăm cei doi membri:

$(-m) * (-n) = mn - 6(-m - n) + 14 = mn + 6(m + n) + 14,$ $m * n + 36 = mn - 6(m + n) + 14 + 36.$

Egalând: $mn + 6(m + n) + 14 = mn - 6(m + n) + 50 \iff 12(m + n) = 36 \iff m + n = 3$.

Numere naturale cu $m < n$ și suma 3: $(0, 3)$ și $(1, 2)$ (perechea $(2,1)$ sau $(3,0)$ nu respectă $m < n$).

Răspuns: $(m, n) \in \{(0, 3),\ (1, 2)\}$. Barem: 2p calculul lui $(-m) * (-n)$, 3p relația $m + n = 3$ și perechile. Nu uita perechea care conține 0 — $0 \in \mathbb N$.

5. Determinați $x$ cu $(1 + 3^x) * (1 - 3^x) = 0$

Produsul: $(1 + 3^x)(1 - 3^x) = 1 - 3^{2x}$. Suma: $(1 + 3^x) + (1 - 3^x) = 2$. Deci

$(1 + 3^x) * (1 - 3^x) = 1 - 3^{2x} - 6\cdot 2 + 14 = 3 - 3^{2x}.$

Ecuația: $3 - 3^{2x} = 0 \iff 3^{2x} = 3^1 \iff 2x = 1 \iff x = \dfrac12$ (funcția exponențială este injectivă).

Răspuns: $x = \dfrac12$. Barem: 3p expresia $-3^{2x} + 3$, 2p soluția.

6. Arătați că $x * \dfrac1x \le 3$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$

$x * \frac1x = x\cdot\frac1x - 6\left(x + \frac1x\right) + 14 = 1 - \frac{6(x^2 + 1)}{x} + 14 = 15 - \frac{6(x^2 + 1)}{x}.$

Scriem $15 = 12 + 3 = \dfrac{12x}{x} + 3$:

$x * \frac1x = -\frac{6(x^2 + 1) - 12x}{x} + 3 = -\frac{6(x^2 - 2x + 1)}{x} + 3 = -\frac{6(x - 1)^2}{x} + 3.$

Pentru $x > 0$: $(x - 1)^2 \ge 0$ și $x > 0$, deci $\dfrac{6(x-1)^2}{x} \ge 0$, adică $x * \dfrac1x \le 3$. Egalitatea are loc pentru $x = 1$.

Barem: 2p calculul lui $x * \frac1x$, 3p forma cu pătrat perfect și concluzia.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricele $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $M(x) = \begin{pmatrix}2 & 3x\\ x & 2\end{pmatrix}$, $x \in \mathbb R$.

1. Arătați că $\det(M(1)) = 1$

$M(1) = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(M(1)) = \begin{vmatrix}2 & 3\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2\cdot 2 - 3\cdot 1 = 4 - 3 = 1.$

Barem: 3p scrierea determinantului și aplicarea formulei, 2p rezultatul.

2. Arătați că $M(1) + 2M(4) = 3M(3)$

$M(1) + 2M(4) = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}2 & 12\\ 4 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & 24\\ 8 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 27\\ 9 & 6\end{pmatrix}.$

$3M(3) = 3\begin{pmatrix}2 & 9\\ 3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 27\\ 9 & 6\end{pmatrix}.$

Matricele coincid. Barem: 3p calculul sumei, 2p comparația cu $3M(3)$.

3. Determinați $a$ cu $M(2)\cdot M(-2) = aI_2$

$M(2) = \begin{pmatrix}2 & 6\\ 2 & 2\end{pmatrix}, \quad M(-2) = \begin{pmatrix}2 & -6\\ -2 & 2\end{pmatrix}.$

Înmulțim linie cu coloană:

$M(2)\cdot M(-2) = \begin{pmatrix}2\cdot2 + 6\cdot(-2) & 2\cdot(-6) + 6\cdot 2\\ 2\cdot 2 + 2\cdot(-2) & 2\cdot(-6) + 2\cdot 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & 0\\ 0 & -8\end{pmatrix} = -8I_2.$

Din $aI_2 = -8I_2$ rezultă $a = -8$.

Răspuns: $a = -8$. Barem: 3p produsul matricelor, 2p valoarea lui $a$.

4. Determinați $x$ cu $\det(M(x) + M(-2x)) = 4$

$M(-2x) = \begin{pmatrix}2 & -6x\\ -2x & 2\end{pmatrix}, \qquad M(x) + M(-2x) = \begin{pmatrix}4 & -3x\\ -x & 4\end{pmatrix}.$

$\det(M(x) + M(-2x)) = 4\cdot 4 - (-3x)(-x) = 16 - 3x^2.$

Ecuația: $16 - 3x^2 = 4 \iff 3x^2 = 12 \iff x^2 = 4 \iff x \in \{-2, 2\}$.

Răspuns: $x = -2$ sau $x = 2$. Barem: 3p determinantul $16 - 3x^2$, 2p soluțiile.

5. Determinați $x$, $y$ cu $M(x)\cdot M(-1) + M(y) = 12M(-1)$

$M(-1) = \begin{pmatrix}2 & -3\\ -1 & 2\end{pmatrix}$. Produsul:

$M(x)\cdot M(-1) = \begin{pmatrix}2 & 3x\\ x & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -3\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 - 3x & -6 + 6x\\ 2x - 2 & -3x + 4\end{pmatrix}.$

Adunăm $M(y) = \begin{pmatrix}2 & 3y\\ y & 2\end{pmatrix}$:

$M(x)\cdot M(-1) + M(y) = \begin{pmatrix}6 - 3x & -6 + 6x + 3y\\ 2x - 2 + y & 6 - 3x\end{pmatrix}, \qquad 12M(-1) = \begin{pmatrix}24 & -36\\ -12 & 24\end{pmatrix}.$

Egalăm elementele corespunzătoare:

• $6 - 3x = 24 \Rightarrow x = -6$;
• $2x - 2 + y = -12 \Rightarrow -14 + y = -12 \Rightarrow y = 2$;
• verificare pe elementul rămas: $-6 + 6(-6) + 3\cdot 2 = -36$ ✔.

Răspuns: $x = -6$, $y = 2$. Barem: 3p calculul membrului stâng, 2p valorile lui $x$ și $y$.

6. $N = \det(2M(1) + nI_2)$ este multiplu de 4 pentru orice $n$ natural par

$2M(1) + nI_2 = \begin{pmatrix}4 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n & 0\\ 0 & n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 + n & 6\\ 2 & 4 + n\end{pmatrix}.$

$N = (4 + n)^2 - 12 = n^2 + 8n + 4.$

Fie $n$ par, $n = 2k$ cu $k \in \mathbb N$. Atunci

$N = 4k^2 + 16k + 4 = 4(k^2 + 4k + 1),$

iar $k^2 + 4k + 1$ este număr natural, deci $N$ este multiplu de 4.

Barem: 3p calculul lui $N = n^2 + 8n + 4$, 2p scrierea pentru $n = 2k$ și concluzia.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 2$
I.3	$x = 4$
I.4	40 de lei
I.6	$BC = 20$, $AC = 12$
II.3	$x = -7$
II.4	$(0,3)$ și $(1,2)$
II.5	$x = \tfrac12$
III.3	$a = -8$
III.4	$x \in \{-2, 2\}$
III.5	$x = -6$, $y = 2$
III.6	$N = n^2 + 8n + 4 = 4(k^2 + 4k + 1)$

Ce merită reținut din varianta 1

• Procente: scumpirea cu $p\%$ înseamnă înmulțirea prețului inițial cu $1 + \frac{p}{100}$.
• Ecuații logaritmice: scrie condițiile de existență înainte să egalezi argumentele.
• Inegalități cu legi de compoziție: adu expresia la forma „constantă minus pătrat perfect” pentru a citi direct semnul.
• Divizibilitate cu parametru par: substituția $n = 2k$ scoate factorul comun.