Rezolvare BAC 2024 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_pedagogic, modelul oficial publicat de minister. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează de obicei. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Baremul oficial pentru această variantă nu este disponibil în arhivă; rezolvarea a fost verificată independent.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $0{,}25 : 0{,}5 + \dfrac12 = 1$

Ordinea operațiilor: întâi împărțirea. $0{,}25 : 0{,}5 = \dfrac14 : \dfrac12 = \dfrac14\cdot 2 = \dfrac12$.

$0{,}25 : 0{,}5 + \frac12 = \frac12 + \frac12 = 1.$

Punctaj orientativ: 3p împărțirea, 2p finalizarea.

2. $f(x) = x^2 - 4x$: numerele naturale $n$ cu $f(n) \ge n^2 - 8$

$n^2 - 4n \ge n^2 - 8 \iff -4n \ge -8 \iff n \le 2.$

(La împărțirea cu $-4$ sensul inegalității se schimbă.) Numerele naturale cu $n \le 2$ sunt $0, 1, 2$.

Răspuns: $n \in \{0, 1, 2\}$. Punctaj orientativ: 3p inecuația $n \le 2$, 2p mulțimea soluțiilor.

3. Ecuația $2\log_2(3x - 1) = \sqrt{36}$

Condiția de existență: $3x - 1 > 0$, adică $x > \dfrac13$.

$\sqrt{36} = 6$, deci $2\log_2(3x-1) = 6 \iff \log_2(3x - 1) = 3 \iff 3x - 1 = 2^3 = 8 \iff x = 3$.

Verificare: $x = 3 > \frac13$ ✔ și $2\log_2 8 = 2\cdot 3 = 6$ ✔.

Răspuns: $x = 3$. Punctaj orientativ: 3p $3x - 1 = 8$, 2p soluția care convine.

4. După o scumpire cu 20%, prețul crește cu 80 de lei: prețul final

Fie $x$ prețul inițial. Creșterea este 20% din $x$:

$\frac{20}{100}\cdot x = 80 \iff x = 400 \text{ lei}.$

Prețul final = prețul inițial + creșterea $= 400 + 80 = 480$ de lei.

Răspuns: 480 de lei. Punctaj orientativ: 3p prețul inițial, 2p prețul final. Atenție: aici se cere prețul final, nu cel inițial.

5. $A(-1, 2)$, $B(1, m)$, $C(3, 6)$: $m$ astfel încât $C$ să fie simetricul lui $A$ față de $B$

$C$ este simetricul lui $A$ față de $B$ exact când $B$ este mijlocul segmentului $AC$:

$x_B = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \ \checkmark, \qquad y_B = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4.$

Abscisa se potrivește (este dată, $1$), iar ordonata dă $m = 4$.

Răspuns: $m = 4$. Punctaj orientativ: 2p $B$ mijlocul lui $AC$, 3p valoarea lui $m$.

6. Arătați că $\sin30^\circ\cdot\cos45^\circ - \dfrac12\cdot\sin45^\circ = 0$

$\sin30^\circ = \dfrac12$, $\cos45^\circ = \sin45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$:

$\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{4} - \frac{\sqrt2}{4} = 0.$

Punctaj orientativ: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $\mathbb R$ se definește $x \circ y = \dfrac12xy - x - y + 4$.

1. Arătați că $2 \circ 1 = 2$

$2 \circ 1 = \frac12\cdot 2\cdot 1 - 2 - 1 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2.$

2. Demonstrați că $x \circ y = \dfrac12(x - 2)(y - 2) + 2$

Dezvoltăm membrul drept:

$\frac12(x-2)(y-2) + 2 = \frac12(xy - 2x - 2y + 4) + 2 = \frac12xy - x - y + 2 + 2 = \frac12xy - x - y + 4 = x \circ y.$

Punctaj orientativ: 3p desfacerea parantezelor, 2p finalizarea.

3. Arătați că $e = 4$ este elementul neutru

Folosim forma de la punctul 2:

$x \circ 4 = \frac12(x-2)\cdot 2 + 2 = x - 2 + 2 = x, \qquad 4 \circ x = \frac12\cdot 2\cdot(x-2) + 2 = x,$

pentru orice $x$ real, deci $e = 4$ este elementul neutru.

4. $N = m \circ n$ este natural par pentru $m, n$ naturale pare

Fie $m = 2k$, $n = 2p$, cu $k, p$ naturale. Din punctul 2:

$N = \frac12(2k - 2)(2p - 2) + 2 = \frac12\cdot 4(k-1)(p-1) + 2 = 2(k-1)(p-1) + 2 = 2\big[(k-1)(p-1) + 1\big].$

Deci $N$ este un număr întreg par (de forma $2\cdot$întreg).

Rămâne să vedem că $N \ge 0$. Dacă $m, n \ge 2$ (adică $k, p \ge 1$), atunci $(k-1)(p-1) \ge 0$, deci $N \ge 2$ — natural par.

Observație importantă: dacă se admite și valoarea $0$ (care e număr natural par), afirmația nu mai e adevărată în toate cazurile: pentru $m = 0$, $N = 2\big[-(p - 1) + 1\big] = 4 - n$, de exemplu $0 \circ 6 = -2$, care nu e natural. Enunțul trebuie deci înțeles pentru numere naturale pare nenule ($m, n \ge 2$); cu această precizare demonstrația de mai sus este completă. (La examen, scrie demonstrația pentru $k, p \ge 1$ și menționează cazul.)

5. Numerele reale $x$ cu $x \circ x = 4$

$x \circ x = \frac12(x-2)^2 + 2 = 4 \iff (x-2)^2 = 4 \iff x - 2 = \pm 2 \iff x \in \{0, 4\}.$

Verificare: $0 \circ 0 = 4$ ✔, $4 \circ 4 = 4$ ✔ (4 e elementul neutru).

Răspuns: $x \in \{0, 4\}$.

6. Numerele reale $x$ cu $4^x \circ 8^x = 2$

Din punctul 2: $4^x \circ 8^x = \dfrac12(4^x - 2)(8^x - 2) + 2$. Ecuația devine

$\frac12(4^x - 2)(8^x - 2) = 0 \iff 4^x = 2 \ \text{ sau } \ 8^x = 2.$

• $4^x = 2 \iff 2^{2x} = 2^1 \iff x = \dfrac12$;
• $8^x = 2 \iff 2^{3x} = 2^1 \iff x = \dfrac13$.

Răspuns: $x \in \left\{\dfrac13, \dfrac12\right\}$. Punctaj orientativ: 3p produsul nul, 2p soluțiile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră $A = \begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$, $I_2$, $O_2$ și $B(a) = \begin{pmatrix}a + 1 & 3\\ 3 & a + 4\end{pmatrix}$.

1. Arătați că $B(1) - B(0) = I_2$

$B(1) - B(0) = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 3 & 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2.$

2. Arătați că $B(-1)\cdot B(-4) = 9I_2$

$B(-1) = \begin{pmatrix}0 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}$, $B(-4) = \begin{pmatrix}-3 & 3\\ 3 & 0\end{pmatrix}$.

$B(-1)\cdot B(-4) = \begin{pmatrix}0 + 9 & 0 + 0\\ -9 + 9 & 9 + 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 0\\ 0 & 9\end{pmatrix} = 9I_2.$

3. Numerele reale $a$ cu $\det(B(a)) = a$

$\det(B(a)) = (a+1)(a+4) - 9 = a^2 + 5a - 5.$

Ecuația $a^2 + 5a - 5 = a \iff a^2 + 4a - 5 = 0 \iff (a + 5)(a - 1) = 0 \iff a \in \{-5, 1\}$.

Răspuns: $a \in \{-5, 1\}$. Punctaj orientativ: 3p determinantul, 2p soluțiile.

4. $C(n) = B(n) - A$ este inversabilă pentru orice $n$ natural

$C(n) = \begin{pmatrix}n + 1 - (-1) & 3 - 3\\ 3 - 3 & n + 4 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n + 2 & 0\\ 0 & n + 2\end{pmatrix}.$

$\det(C(n)) = (n+2)^2$. Pentru $n$ natural, $n + 2 \ge 2$, deci $\det(C(n)) \ge 4 \ne 0$. O matrice pătratică cu determinant nenul este inversabilă.

Punctaj orientativ: 3p determinantul, 2p concluzia.

5. Numărul real $a$ cu $A\cdot A = B(a)$

$A\cdot A = \begin{pmatrix}1 + 9 & -3 + 6\\ -3 + 6 & 9 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 3\\ 3 & 13\end{pmatrix}.$

Egalăm cu $B(a)$: $a + 1 = 10$ și $a + 4 = 13$, ambele dau $a = 9$ (elementele $3$ coincid deja).

Răspuns: $a = 9$. Punctaj orientativ: 3p produsul, 2p valoarea lui $a$.

6. Numerele reale $a \ge 0$ cu $B(a) - B(\sqrt a) = O_2$

$B(a) - B(\sqrt a) = \begin{pmatrix}a - \sqrt a & 0\\ 0 & a - \sqrt a\end{pmatrix} = O_2 \iff a = \sqrt a.$

Notăm $t = \sqrt a \ge 0$: $t^2 = t \iff t(t - 1) = 0 \iff t \in \{0, 1\}$, deci $a \in \{0, 1\}$.

Răspuns: $a \in \{0, 1\}$. Punctaj orientativ: 2p diferența matricelor, 3p soluțiile.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$n \in \{0, 1, 2\}$
I.3	$x = 3$
I.4	480 de lei
I.5	$m = 4$
II.5	$x \in \{0, 4\}$
II.6	$x \in \{\frac13, \frac12\}$
III.3	$a \in \{-5, 1\}$
III.5	$a = 9$
III.6	$a \in \{0, 1\}$

Ce merită reținut din model

• Forma $\frac12(x-2)(y-2) + 2$ rezolvă rapid elementul neutru, ecuațiile $x\circ x = c$ și produsele nule.
• Simetricul față de un punct = punctul acela este mijlocul segmentului.
• Inversabilitate: arată că determinantul e nenul (aici un pătrat strict pozitiv).