Rezolvare BAC 2025 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2025 la Matematică M_pedagogic, sesiunea august–septembrie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $3\cdot\left(\dfrac32 - \dfrac16\right) + 2 : \dfrac12 = 8$

Paranteza, la numitorul comun 6: $\dfrac32 - \dfrac16 = \dfrac96 - \dfrac16 = \dfrac86$.

Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei: $2 : \dfrac12 = 2\cdot 2 = 4$.

$3\cdot\frac86 + 4 = 4 + 4 = 8.$

(Ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, la final adunarea.) Barem: 3p calculele intermediare, 2p rezultatul.

2. $f(x) = 5x - 2$, $g(x) = 2x + 7$: determinați $m$ cu $f(1) + g(1) = 2m$

$f(1) = 5 - 2 = 3$, $g(1) = 2 + 7 = 9$.

$3 + 9 = 2m \iff 2m = 12 \iff m = 6.$

Răspuns: $m = 6$. Barem: 2p valorile funcțiilor, 3p rezolvarea ecuației.

3. Ecuație exponențială: $2^{-x} = 2^{2x - 6}$

Bazele sunt egale ($2 > 0$, $2 \ne 1$), deci egalăm exponenții:

$-x = 2x - 6 \iff 6 = 3x \iff x = 2.$

Verificare: $2^{-2} = 2^{-2}$ ✔.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. Probabilitatea ca, pentru $n \in A = \{0, 1, \dots, 19\}$, numărul $3n + 2$ să fie în $A$

Cazuri posibile: $A$ are $20$ de elemente (de la 0 la 19).

Cazuri favorabile: $3n + 2 \in A \iff 3n + 2 \le 19 \iff 3n \le 17 \iff n \le 5$ (cu $n$ natural; $3n + 2 \ge 0$ mereu). Deci $n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, adică $6$ valori (ele dau $2, 5, 8, 11, 14, 17$).

$p = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.$

Răspuns: $p = \dfrac{3}{10}$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(1,0)$, $B(0,6)$, $C(5,4)$, $D$ mijlocul lui $AC$: distanța $BD$

Mijlocul: $D\left(\dfrac{1 + 5}{2}, \dfrac{0 + 4}{2}\right) = D(3, 2)$.

$BD = \sqrt{(3 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$

Răspuns: $BD = 5$. Barem: 2p coordonatele lui $D$, 3p distanța.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 4$, $AC = 8$: arătați că $\sin C = \dfrac{\sqrt5}{5}$

Ipotenuza, cu Pitagora: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt5$.

$\sin C$ = cateta opusă unghiului $C$ / ipotenuză. Cateta opusă lui $C$ este $AB$:

$\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{4\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5} = \frac{\sqrt5}{5}.$

Barem: 2p $BC = 4\sqrt5$, 3p calculul lui $\sin C$. Atenție să nu folosești $AC$ (cateta alăturată lui $C$ — aceea dă $\cos C$).

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $\mathbb R$ se definește legea asociativă $x * y = xy + 90 - 9x - 9y$.

1. Arătați că $0 * 9 = 9$

$0 * 9 = 0\cdot 9 + 90 - 9\cdot 0 - 9\cdot 9 = 0 + 90 - 0 - 81 = 9.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

2. Arătați că $x * y = (x - 9)(y - 9) + 9$

Scriem $90 = 81 + 9$ și grupăm:

$x * y = xy - 9x - 9y + 81 + 9 = x(y - 9) - 9(y - 9) + 9 = (x - 9)(y - 9) + 9.$

(Verificare inversă: $(x-9)(y-9) + 9 = xy - 9x - 9y + 81 + 9 = xy + 90 - 9x - 9y$ ✔.) Barem: 2p scrierea $90 = 81 + 9$, 3p factorizarea.

3. Arătați că $e = 10$ este elementul neutru

Folosim forma de la punctul 2:

$x * 10 = (x - 9)(10 - 9) + 9 = x - 9 + 9 = x, \qquad 10 * x = (10 - 9)(x - 9) + 9 = x,$

pentru orice $x$ real. Deci $e = 10$ este elementul neutru.

Barem: 2p $x * 10 = x$, 3p $10 * x = x$ și concluzia.

4. Simetricul lui $\dfrac{26}{3}$

Căutăm $x$ cu $\dfrac{26}{3} * x = x * \dfrac{26}{3} = 10$:

$\left(\frac{26}{3} - 9\right)(x - 9) + 9 = 10 \iff -\frac13(x - 9) = 1 \iff x - 9 = -3 \iff x = 6.$

(Legea este comutativă, deci ambele egalități se reduc la aceeași ecuație.)

Verificare: $\left(\frac{26}{3} - 9\right)(6 - 9) + 9 = \left(-\frac13\right)(-3) + 9 = 10$ ✔.

Răspuns: simetricul lui $\dfrac{26}{3}$ este $6$. Barem: 3p ecuația, 2p soluția.

5. Calculați $3^0 * 3^1 * 3^2 * 3^3 * 3^4$

Observație-cheie: $9$ este „element absorbant”: pentru orice $x$,

$x * 9 = (x - 9)\cdot 0 + 9 = 9 \quad\text{și}\quad 9 * y = 0\cdot(y - 9) + 9 = 9.$

Al treilea factor este $3^2 = 9$. Folosind asociativitatea:

$3^0 * 3^1 * 9 * 3^3 * 3^4 = \left((3^0 * 3^1) * 9\right) * 3^3 * 3^4 = 9 * 3^3 * 3^4 = 9 * 3^4 = 9.$

Răspuns: $9$. Barem: 2p observația $x * 9 = 9 * y = 9$, 3p calculul final.

6. Numerele naturale $\overline{ab}$ cu $a * b = 12$

$a * b = 12 \iff (a - 9)(b - 9) + 9 = 12 \iff (a - 9)(b - 9) = 3.$

$a$ și $b$ sunt cifre, cu $a \ne 0$ (prima cifră a unui număr de două cifre). Atunci $a - 9 \in \{-8, \dots, 0\}$ și $b - 9 \in \{-9, \dots, 0\}$ — ambii factori sunt $\le 0$, deci produsul $3$ se obține doar ca $(-1)\cdot(-3)$ sau $(-3)\cdot(-1)$:

• $a - 9 = -1$, $b - 9 = -3$: $a = 8$, $b = 6$ — numărul $68$;
• $a - 9 = -3$, $b - 9 = -1$: $a = 6$, $b = 8$ — numărul $86$.

Răspuns: $68$ și $86$. Barem: 2p ecuația $(a-9)(b-9) = 3$, 3p numerele.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $M(a) = \begin{pmatrix}a & 1\\ -3 & 2 - a\end{pmatrix}$, $a \in \mathbb R$.

1. Arătați că $\det(M(1)) = 4$

$M(1) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det(M(1)) = 1\cdot1 - 1\cdot(-3) = 1 + 3 = 4.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

2. Arătați că $3M(4) - M(2) = 2M(5)$

$M(4) = \begin{pmatrix}4 & 1\\ -3 & -2\end{pmatrix}$, $M(2) = \begin{pmatrix}2 & 1\\ -3 & 0\end{pmatrix}$, $M(5) = \begin{pmatrix}5 & 1\\ -3 & -3\end{pmatrix}$.

$3M(4) - M(2) = \begin{pmatrix}12 & 3\\ -9 & -6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 1\\ -3 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 2\\ -6 & -6\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}5 & 1\\ -3 & -3\end{pmatrix} = 2M(5).$

Barem: 3p calculul, 2p identificarea cu $2M(5)$.

3. Numerele reale $a$ cu $\det(M(a)) = 0$

$\det(M(a)) = a(2 - a) - 1\cdot(-3) = -a^2 + 2a + 3.$

$-a^2 + 2a + 3 = 0 \iff a^2 - 2a - 3 = 0$, cu $\Delta = 4 + 12 = 16$, deci $a = \dfrac{2 \pm 4}{2}$: $a = -1$ sau $a = 3$.

Răspuns: $a \in \{-1, 3\}$. Barem: 3p determinantul, 2p soluțiile.

4. $x$ real cu $M(3)\cdot M(3) = xM(3)$

$M(3) = \begin{pmatrix}3 & 1\\ -3 & -1\end{pmatrix}$. Înmulțim linie cu coloană:

$M(3)\cdot M(3) = \begin{pmatrix}9 - 3 & 3 - 1\\ -9 + 3 & -3 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 2\\ -6 & -2\end{pmatrix} = 2M(3).$

Din $2M(3) = xM(3)$ și $M(3) \ne O_2$ (de exemplu, elementul $(1,2)$: $2 = x\cdot 1$) rezultă $x = 2$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p produsul, 2p valoarea lui $x$.

5. $X \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ cu $M(1)\cdot X = 2M(-1)$

$\det(M(1)) = 4 \ne 0$, deci $M(1)$ este inversabilă și $X = 2\left(M(1)\right)^{-1} M(-1)$ (înmulțim la stânga cu inversa).

Pentru $\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$ cu determinant $d \ne 0$, inversa este $\dfrac1d\begin{pmatrix}s & -q\\ -r & p\end{pmatrix}$:

$\left(M(1)\right)^{-1} = \frac14\begin{pmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{pmatrix}.$

Cu $M(-1) = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ -3 & 3\end{pmatrix}$:

$X = 2\cdot\frac14\begin{pmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -3 & 3\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}-1 + 3 & 1 - 3\\ -3 - 3 & 3 + 3\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}2 & -2\\ -6 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\ -3 & 3\end{pmatrix}.$

Verificare: $M(1)\cdot X = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1\\ -3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 2\\ -6 & 6\end{pmatrix} = 2M(-1)$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}1 & -1\\ -3 & 3\end{pmatrix}$. Barem: 3p inversa lui $M(1)$, 2p matricea $X$. (Atenție la ordinea înmulțirii: $X = M(1)^{-1}\cdot 2M(-1)$, nu invers.)

6. Numerele întregi $m$ cu $\det\left(M(m) + mI_2\right) \le \det\left(M(-2m)\right)$

$M(m) + mI_2 = \begin{pmatrix}2m & 1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$, deci $\det = 4m + 3$.

$M(-2m) = \begin{pmatrix}-2m & 1\\ -3 & 2 + 2m\end{pmatrix}$, deci $\det = -2m(2 + 2m) + 3 = -4m^2 - 4m + 3$.

Inegalitatea:

$4m + 3 \le -4m^2 - 4m + 3 \iff 4m^2 + 8m \le 0 \iff 4m(m + 2) \le 0 \iff m \in [-2, 0].$

Numerele întregi din $[-2, 0]$ sunt $-2, -1, 0$.

Răspuns: $m \in \{-2, -1, 0\}$. Barem: 2p cei doi determinanți, 3p rezolvarea inecuației și valorile întregi.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$8$
I.2	$m = 6$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \tfrac{3}{10}$
I.5	$BD = 5$
I.6	$\sin C = \tfrac{\sqrt5}{5}$
II.4	simetricul este $6$
II.5	$9$
II.6	$68$ și $86$
III.3	$a \in \{-1, 3\}$
III.4	$x = 2$
III.5	$X = \begin{pmatrix}1 & -1\\ -3 & 3\end{pmatrix}$
III.6	$m \in \{-2, -1, 0\}$

Ce merită reținut din varianta 9

• Forma $(x - k)(y - k) + k$ a unei legi dă imediat elementul neutru ($k + 1$) și elementul absorbant ($k$) — un „produs” lung care conține $k$ este egal cu $k$.
• Ecuații matriceale $AX = B$: $X = A^{-1}B$, cu inversa la stânga.
• Inecuații de gradul II în numere întregi: rezolvă pe $\mathbb R$, apoi alege valorile întregi din interval.