Rezolvare BAC 2024 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 10

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 10. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia geometrică cu $b_1 = 4$, $b_2 = 8$: calculați $b_3$

Într-o progresie geometrică fiecare termen se obține din precedentul înmulțind cu rația $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac84 = 2, \qquad b_3 = b_2\cdot q = 8\cdot 2 = 16.$

(Altfel: $b_2^2 = b_1 b_3 \Rightarrow 64 = 4b_3 \Rightarrow b_3 = 16$.)

Răspuns: $b_3 = 16$. Barem: 3p rația, 2p $b_3$.

2. $f(x) = 7x + 2$: determinați $a$ cu $f(a) = 9$

$f(a) = 7a + 2 = 9 \iff 7a = 7 \iff a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 2p $f(a)$, 3p rezolvarea.

3. Ecuația $\log_2(2x + 3) = \log_2(3x + 1)$

Condiții de existență: $2x + 3 > 0$ și $3x + 1 > 0$, adică $x > -\dfrac13$.

Funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale:

$2x + 3 = 3x + 1 \iff x = 2.$

Verificare: $x = 2 > -\frac13$ ✔ (ambele argumente devin $7$).

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p egalarea argumentelor, 2p soluția care convine.

4. După o scumpire cu 25%, prețul crește cu 50 de lei: prețul inițial

Fie $x$ prețul inițial. Creșterea reprezintă 25% din $x$:

$\frac{25}{100}\cdot x = 50 \iff x = 50\cdot 4 = 200 \text{ lei}.$

Răspuns: 200 de lei. Barem: 3p ecuația, 2p rezultatul. Atenție: se cere prețul înainte de scumpire (prețul final ar fi 250 de lei).

5. $A(0,4)$, $B(8,4)$, $C(4,0)$; arătați că $BM = CM$, $M$ mijlocul lui $AB$

Mijlocul: $M\left(\dfrac{0 + 8}{2}, \dfrac{4 + 4}{2}\right) = M(4, 4)$.

$BM = \sqrt{(8-4)^2 + (4-4)^2} = 4, \qquad CM = \sqrt{(4-4)^2 + (0-4)^2} = 4.$

Deci $BM = CM$. Barem: 2p coordonatele lui $M$, 3p distanțele.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 12$, $BC = 13$: perimetrul este 30

$BC$ este ipotenuza (opusă unghiului drept). Din teorema lui Pitagora:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5.$

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 12 + 13 + 5 = 30.$

Barem: 3p $AC$, 2p perimetrul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $M = (0, +\infty)$ se definește $x \circ y = \dfrac1x + \dfrac1y + 1$.

1. Arătați că $1 \circ 1 = 3$

$1 \circ 1 = \frac11 + \frac11 + 1 = 3.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p rezultatul.

2. Determinați $x \in M$ cu $x \circ x = 2$

$x \circ x = \dfrac2x + 1$. Ecuația: $\dfrac2x + 1 = 2 \iff \dfrac2x = 1 \iff x = 2$, care aparține lui $M$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p expresia lui $x\circ x$, 2p soluția.

3. Legea este comutativă

Pentru orice $x, y \in M$:

$y \circ x = \frac1y + \frac1x + 1 = \frac1x + \frac1y + 1 = x \circ y,$

pentru că adunarea numerelor reale este comutativă. Barem: 3p calculul lui $y\circ x$, 2p concluzia.

4. Determinați $x \in M$ cu $x \circ \frac1x = 3$

Cum $\dfrac{1}{1/x} = x$:

$x \circ \frac1x = \frac1x + x + 1 = \frac{x^2 + x + 1}{x}.$

Ecuația: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x} = 3 \iff x^2 + x + 1 = 3x \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x-1)^2 = 0 \iff x = 1$, care convine ($1 \in M$).

Răspuns: $x = 1$. Barem: 2p expresia, 3p rezolvarea.

5. Numerele naturale $n$ pentru care $(n+1)\circ(n+1)$ este natural

$(n+1)\circ(n+1) = \frac{2}{n+1} + 1.$

Acesta este natural exact când $\dfrac{2}{n+1}$ este natural, adică $n + 1$ divide pe 2. Cum $n + 1 \ge 1$, avem $n + 1 \in \{1, 2\}$, deci $n \in \{0, 1\}$.

Verificare: $n = 0$: $2 + 1 = 3$ ✔; $n = 1$: $1 + 1 = 2$ ✔.

Răspuns: $n \in \{0, 1\}$. Barem: 2p expresia, 3p valorile lui $n$.

6. Determinați $x \in (1, +\infty)$ cu $(\log_2 x)\circ(\log_x 2) = \dfrac72$

Pentru $x > 1$, $\log_2 x > 0$ și $\log_x 2 > 0$, deci ambele aparțin lui $M$. Știm că $\log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x}$. Notăm $t = \log_2 x > 0$:

$(\log_2 x)\circ(\log_x 2) = \frac1t + \frac{1}{1/t} + 1 = \frac1t + t + 1.$

Ecuația: $t + \dfrac1t + 1 = \dfrac72 \iff t + \dfrac1t = \dfrac52 \iff 2t^2 - 5t + 2 = 0$, cu $\Delta = 25 - 16 = 9$:

$t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4} \Rightarrow t = 2 \text{ sau } t = \frac12.$

• $\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4$;
• $\log_2 x = \frac12 \Rightarrow x = 2^{1/2} = \sqrt2$.

Ambele sunt mai mari decât 1, deci convin.

Răspuns: $x \in \{\sqrt2, 4\}$. Barem: 2p scrierea expresiei, 3p rezolvarea și soluțiile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră $I_2$ și $A(a) = \begin{pmatrix}a + 2 & 2\\ 2 & a - 6\end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\det(A(6)) = -4$

$A(6) = \begin{pmatrix}8 & 2\\ 2 & 0\end{pmatrix}, \qquad \det(A(6)) = 8\cdot 0 - 2\cdot 2 = -4.$

Barem: 3p aplicarea formulei, 2p rezultatul.

2. Arătați că $A(3)\cdot A(1) = 19I_2$

$A(3) = \begin{pmatrix}5 & 2\\ 2 & -3\end{pmatrix}$, $A(1) = \begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & -5\end{pmatrix}$.

$A(3)\cdot A(1) = \begin{pmatrix}15 + 4 & 10 - 10\\ 6 - 6 & 4 + 15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19 & 0\\ 0 & 19\end{pmatrix} = 19I_2.$

Barem: 3p produsul, 2p scrierea ca $19I_2$.

3. Demonstrați că $A(a) + A(-a) = 2A(0)$

$A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix}a + 2 & 2\\ 2 & a - 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-a + 2 & 2\\ 2 & -a - 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 4 & -12\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & -6\end{pmatrix} = 2A(0).$

Barem: 3p suma, 2p identificarea cu $2A(0)$.

4. Numărul real $a$ cu $\det(A(a)) = -20$

$\det(A(a)) = (a+2)(a-6) - 4 = a^2 - 4a - 12 - 4 = a^2 - 4a - 16.$

Ecuația: $a^2 - 4a - 16 = -20 \iff a^2 - 4a + 4 = 0 \iff (a - 2)^2 = 0 \iff a = 2$.

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p determinantul, 2p soluția.

5. Numerele reale $a$ cu $A(a^2) - A(a) = 2I_2$

$A(a^2) - A(a) = \begin{pmatrix}a^2 + 2 - a - 2 & 0\\ 0 & a^2 - 6 - a + 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a^2 - a & 0\\ 0 & a^2 - a\end{pmatrix}.$

Egalând cu $2I_2$: $a^2 - a = 2 \iff a^2 - a - 2 = 0 \iff (a - 2)(a + 1) = 0 \iff a \in \{-1, 2\}$.

Răspuns: $a = -1$ sau $a = 2$. Barem: 2p diferența matricelor, 3p soluțiile.

6. Numerele reale $x, y$ cu $A(-1)\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ 9\end{pmatrix}$

$A(-1) = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & -7\end{pmatrix}$, deci

$A(-1)\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x + 2y\\ 2x - 7y\end{pmatrix}.$

Obținem sistemul $\begin{cases}x + 2y = -1\\ 2x - 7y = 9\end{cases}$. Din prima, $x = -1 - 2y$; înlocuim în a doua: $-2 - 4y - 7y = 9 \iff -11y = 11 \iff y = -1$, apoi $x = -1 + 2 = 1$.

Verificare: $1 - 2 = -1$ ✔, $2 + 7 = 9$ ✔.

Răspuns: $x = 1$, $y = -1$. Barem: 2p produsul, 3p rezolvarea sistemului.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$b_3 = 16$
I.2	$a = 1$
I.3	$x = 2$
I.4	200 de lei
II.2	$x = 2$
II.4	$x = 1$
II.5	$n \in \{0, 1\}$
II.6	$x \in \{\sqrt2, 4\}$
III.4	$a = 2$
III.5	$a \in \{-1, 2\}$
III.6	$x = 1$, $y = -1$

Ce merită reținut din varianta 10

• $\log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x}$: o substituție $t = \log_2 x$ transformă ecuația într-una de gradul II.
• Ecuații logaritmice: scrie condițiile de existență și verifică soluțiile.
• Procente: „crește cu 50 de lei” este creșterea, nu prețul final.