Rezolvare BAC 2013 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2013 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $3(1 + \sqrt2) - \sqrt{18} = 3$

$\sqrt{18} = 3\sqrt2$, deci $3 + 3\sqrt2 - 3\sqrt2 = 3$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x - 3$: $f(3) + f(-3) = -6$

$f(3) = 0$, $f(-3) = -6$, suma $-6$. Barem: 2p, 3p.

3. $\log_3(x^2 + 1) = \log_3 5$

$x^2 + 1 = 5 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm2$ (și $x^2 + 1 > 0$ mereu).

Răspuns: $x \in \{-2, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

4. O scumpire cu $10\%$ crește prețul cu 70 lei; prețul după scumpire

$10\%\cdot x = 70 \Rightarrow x = 700$ lei (prețul inițial), deci după scumpire $700 + 70 = 770$ lei.

Răspuns: 770 de lei. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. Mijlocul segmentului $PR$, $P(2,7)$, $R(2,9)$

$M\left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{7 + 9}{2}\right) = M(2, 8).$

Răspuns: $M(2, 8)$. Barem: 1p, 2p, 2p.

6. $BC$ în triunghiul dreptunghic în $A$, $AC = 40$, $\sin B = \dfrac25$

$\sin B = \dfrac{AC}{BC}$ (cateta opusă / ipotenuză), deci $BC = \dfrac{40}{2/5} = 100$.

Răspuns: $BC = 100$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea: $x * y = xy + x + y$.

1. $(-1) * 3$

$(-1)\cdot 3 + (-1) + 3 = -1$. Răspuns: $-1$. Barem: 3p, 2p.

2. $x * y = (x + 1)(y + 1) - 1$

$(x + 1)(y + 1) - 1 = xy + x + y + 1 - 1 = x * y$. Barem: 3p, 2p.

3. $e = 0$ element neutru

$x * 0 = 0 + x + 0 = x$ și $0 * x = x$ pentru orice $x$. Da. Barem: 2p, 2p, 1p.

4. $x * x = x$

$x^2 + 2x = x \iff x^2 + x = 0 \iff x(x + 1) = 0$.

Răspuns: $x \in \{-1, 0\}$. Barem: 3p, 2p.

5. $(-1) * x = -1$

$(-1 + 1)(x + 1) - 1 = -1$ pentru orice $x$. Barem: 2p, 3p.

6. $(-1) * 0 * 1 * \ldots * 2012 * 2013$

Asociativitatea și 5: $(-1) * (0 * 1 * \ldots * 2013) = -1$.

Răspuns: $-1$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & 1\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(1)) = 0$

$A(1)$ are toate liniile egale ($1, 1, 1$), deci determinantul este $0$. Barem: 2p, 3p.

2. $A(1)\cdot A(0)$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 3\end{pmatrix}.$

Fiecare element al produsului este suma unei coloane a lui $A(0)$. Barem: 2p, 3p.

3. $\det(A(m)) = m^2 - 2m + 1$

Sarrus: $m\cdot m\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 - 1\cdot m\cdot1 - m\cdot1\cdot1 - 1\cdot1\cdot1$:

$\det(A(m)) = m^2 + 2 - 2m - 1 = m^2 - 2m + 1.$

Barem: 3p, 2p.

4. $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}$ este inversa lui $A(0)$?

$A(0)\cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I_3,$

și analog $B\cdot A(0) = I_3$. Da, $B = A(0)^{-1}$. Barem: 2p, 3p.

5. $m$ cu suma elementelor lui $A(m)$ egală cu $2013$

Suma: $2m + 7$ (două elemente $m$ și șapte de $1$). $2m + 7 = 2013 \iff m = 1003$.

Răspuns: $m = 1003$. Barem: 2p, 3p.

6. Sistemul pentru $m = 0$: $\begin{cases} y + z = 1\\ x + z = 1\\ x + y + z = 3\end{cases}$

Scăzând prima din a treia: $x = 2$; a doua din a treia: $y = 2$; apoi $z = 1 - y = -1$.

Răspuns: $(x, y, z) = (2, 2, -1)$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.3	$x = \pm2$
I.4	770 lei
I.5	$M(2, 8)$
I.6	$BC = 100$
II.1	$-1$
II.4	$x \in \{-1, 0\}$
II.6	$-1$
III.2	$\begin{pmatrix}2&2&3\\2&2&3\\2&2&3\end{pmatrix}$
III.4	da
III.5	$m = 1003$
III.6	$(2, 2, -1)$

Ce merită reținut din varianta 2

• Atenție la cerință: la I.4 se cere prețul după scumpire, nu cel inițial.
• Legea $xy + x + y = (x+1)(y+1) - 1$: $0$ este element neutru, $-1$ este element absorbant.
• Determinant cu linii egale $= 0$.