Rezolvare BAC 2011 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică M4 (filiera vocațională, profil pedagogic), sesiunea august–septembrie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Calculați $\log_2(5 + \sqrt{17}) + \log_2(5 - \sqrt{17})$

$\log_2\big((5+\sqrt{17})(5-\sqrt{17})\big) = \log_2(25 - 17) = \log_2 8 = 3.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

2. Calculați $\dfrac{P_4 - C_4^1}{A_5^1}$

$P_4 = 4! = 24$, $C_4^1 = 4$, $A_5^1 = 5$:

$\frac{24 - 4}{5} = 4.$

Barem: 3p valorile, 2p rezultatul.

3. Parabolă cu abscisa vârfului $2$, care taie $Ox$ în $x = 5$ și în alt punct

Dreapta $x = 2$ este axă de simetrie a parabolei, deci punctele de intersecție cu $Ox$ sunt simetrice față de ea:

$\frac{x_1 + 5}{2} = 2 \iff x_1 = -1.$

Răspuns: $x_1 = -1$. Barem: 2p axa de simetrie, 3p rezultatul.

4. Ecuația $2^{x+3} = \frac14$ în $\mathbb Z$

$2^{x+3} = 2^{-2} \iff x + 3 = -2 \iff x = -5 \in \mathbb Z.$

Barem: 2p + 1p + 2p.

5. $AB \perp d$, unde $A(1,-2)$, $B(-2,4)$, $d: x - 2y + 3 = 0$

$d: y = \frac12x + \frac32$, deci $m_d = \frac12$. $m_{AB} = \dfrac{4 - (-2)}{-2 - 1} = -2$.

$m_d\cdot m_{AB} = \frac12\cdot(-2) = -1$, deci $AB \perp d$. $\blacksquare$ Barem: 2p + 1p + 2p.

6. Raza cercului circumscris, $AB = 6$, $C = 60^\circ$

$2R = \frac{AB}{\sin C} = \frac{6}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3 \Rightarrow R = 2\sqrt3.$

Răspuns: $R = 2\sqrt3$. Barem: 2p + 2p + 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legile pe $\mathbb R$: $x * y = x + y - 1$ și $x\circ y = \frac12(xy - x - y + 3)$.

a) Legea $*$ este asociativă

$(x*y)*z = (x + y - 1) + z - 1 = x + y + z - 2, \qquad x*(y*z) = x + (y + z - 1) - 1 = x + y + z - 2.$

Egale pentru orice $x, y, z$. Barem: 2p + 2p + 1p.

b) Elementul neutru pentru $*$

$x * e = x + e - 1 = x$ pentru orice $x \iff e = 1$ (și $e * x = x$ analog, legea fiind comutativă).

Răspuns: $e = 1$. Barem: 2p + 2p + 1p.

c) $x\circ y = \frac12(x-1)(y-1) + 1$

$\frac12(xy - x - y + 1 + 2) = \frac12(xy - x - y + 1) + 1 = \frac12(x-1)(y-1) + 1.$

Barem: 3p + 2p.

d) Ecuația $2^x\circ3 = 1$

$\frac12(2^x - 1)(3 - 1) + 1 = 1 \iff 2^x - 1 = 0 \iff 2^x = 1 \iff x = 0.$

Răspuns: $x = 0$. Barem: 2p + 2p + 1p.

e) Sistemul $(x+1)*y = 3$, $(2x)\circ(y-1) = xy - 1$

• $(x+1) + y - 1 = 3 \iff x + y = 3$.
• $\frac12(2x - 1)(y - 2) + 1 = xy - 1 \iff (2x-1)(y-2) = 2xy - 4 \iff 2xy - 4x - y + 2 = 2xy - 4 \iff 4x + y = 6$.

Scăzând: $3x = 3$, deci $x = 1$, $y = 2$.

Răspuns: $x = 1$, $y = 2$. Barem: 3p sistemul, 2p soluția.

f) $(x * y)\circ z = (x\circ z) * (y\circ z)$

Membrul stâng, cu c): $(x + y - 1)\circ z = \frac12(x + y - 2)(z - 1) + 1$.

Membrul drept:

$(x\circ z) + (y\circ z) - 1 = \frac12(x-1)(z-1) + 1 + \frac12(y-1)(z-1) + 1 - 1 = \frac12(x + y - 2)(z-1) + 1.$

Cele două expresii coincid. $\blacksquare$ Barem: 2p + 2p + 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a\\ 2 & a & 1\\ a & 1 & 2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ și sistemul $(S)$ cu matricea $A$ și termenii liberi $6, 6, 6$.

a) $a$ pentru care $(1,1,1)$ este soluție

Fiecare ecuație devine $1 + 2 + a = 6$, deci $a = 3$.

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p + 2p.

b) $A^2 - (a^2 + 5)I_3 = (3a + 2)B$

$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + 5 & 3a + 2 & 3a + 2\\ 3a + 2 & a^2 + 5 & 3a + 2\\ 3a + 2 & 3a + 2 & a^2 + 5\end{pmatrix}$

(de exemplu $(1,1)$: $1 + 4 + a^2$; $(1,2)$: $2 + 2a + a = 3a + 2$; matricea fiind simetrică „circulantă", la fel pentru toate). Scăzând $(a^2 + 5)I_3$ rămâne exact $(3a+2)B$. $\blacksquare$ Barem: 2p $A^2$, 1p + 1p, 1p finalizarea.

c) Suma elementelor lui $A^2$ egală cu $0$

$3(a^2 + 5) + 6(3a + 2) = 3a^2 + 18a + 27 = 3(a + 3)^2 = 0 \iff a = -3.$

Răspuns: $a = -3$. Barem: 3p suma, 2p valoarea.

d) Pentru $a = -3$, $(S)$ este incompatibil

$\begin{cases} x + 2y - 3z = 6\\ 2x - 3y + z = 6\\ -3x + y + 2z = 6\end{cases}$

Adunând cele trei ecuații: membrul stâng devine $0x + 0y + 0z = 0$, iar membrul drept $18$. Obținem $0 = 18$, contradicție, deci sistemul este incompatibil. Barem: 1p + 3p + 1p.

e) Pentru $a = 0$, rezolvați $(S)$

$\begin{cases} x + 2y = 6\\ 2x + z = 6\\ y + 2z = 6\end{cases}$

Din prima: $x = 6 - 2y$; din a doua: $z = 6 - 2x = 4y - 6$; în a treia: $y + 8y - 12 = 6 \Rightarrow y = 2$, deci $x = 2$, $z = 2$.

Răspuns: $(2, 2, 2)$. Barem: 2p + 3p.

f) Inversa lui $B$

$\det B = 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 2 \ne 0$. Observăm $B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} = B + 2I_3$, deci $B(B - I_3) = 2I_3$ și

$B^{-1} = \frac12(B - I_3) = \begin{pmatrix} -\frac12 & \frac12 & \frac12\\ \frac12 & -\frac12 & \frac12\\ \frac12 & \frac12 & -\frac12\end{pmatrix}.$

(Același rezultat se obține cu adjuncta $B^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}$.) Barem: 2p determinantul, 3p inversa.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$3$
I.2	$4$
I.3	$-1$
I.4	$x = -5$
I.6	$R = 2\sqrt3$
II.b	$e = 1$
II.d	$x = 0$
II.e	$x = 1$, $y = 2$
III.a	$a = 3$
III.c	$a = -3$
III.e	$(2, 2, 2)$
III.f	$B^{-1} = \frac12(B - I_3)$

Ce merită reținut din varianta 2

• Rădăcinile unei funcții de gradul II sunt simetrice față de abscisa vârfului: $\frac{x_1 + x_2}{2} = x_V$.
• Legea $x + y - k$ are elementul neutru $k$.
• Sisteme incompatibile: caută o combinație a ecuațiilor care anulează necunoscutele, dar nu și termenul liber.
• Relații de tip $B^2 = B + 2I$ dau inversa fără adjunctă.