Rezolvare BAC 2010 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 6

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică, filiera vocațională, profilul pedagogic, sesiunea august–septembrie, varianta 6. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

Submulțimile cu 2 elemente ale unei mulțimi cu 5 elemente sunt combinări:

$C_5^2 = \frac{5\cdot 4}{2} = 10.$

Răspuns: $10$. Barem: 4p formula, 1p rezultatul.

2. $m \ne \frac13$ pentru care $f(x) = (3m - 1)x + 2$ este crescătoare

O funcție de gradul I este crescătoare dacă panta este pozitivă: $3m - 1 > 0 \iff m > \frac13$.

Răspuns: $m \in \left(\frac13, +\infty\right)$. Barem: 2p, 3p.

3. $x_1, x_2$ soluțiile lui $ax^2 - (2a+1)x + 5 = 0$; arătați că $x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) = -10$

Viète: $x_1 + x_2 = \dfrac{2a+1}{a}$, $x_1x_2 = \dfrac5a$.

$x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) = \frac{5 - 10a - 5}{a} = \frac{-10a}{a} = -10.$

Barem: 2p relațiile lui Viète, 3p finalizarea.

4. Ecuația $\log_2\dfrac{3x - 2}{x + 2} = 1$

Condiții: $x + 2 \ne 0$ și $\dfrac{3x-2}{x+2} > 0$.

$\frac{3x - 2}{x + 2} = 2^1 = 2 \iff 3x - 2 = 2x + 4 \iff x = 6.$

Verificare: $\dfrac{16}{8} = 2 > 0$ ✔.

Răspuns: $x = 6$. Barem: 1p condițiile, 2p ecuația, 2p soluția.

5. Vectorul de poziție al centrului de greutate al triunghiului $ABC$

$\vec r_A = 3\vec i - 2\vec j$, $\vec r_B = -5\vec i + 4\vec j$, $\vec r_C = 8\vec i + 7\vec j$.

$\vec r_G = \frac{\vec r_A + \vec r_B + \vec r_C}{3} = \frac{6\vec i + 9\vec j}{3} = 2\vec i + 3\vec j.$

Răspuns: $\vec r_G = 2\vec i + 3\vec j$. Barem: 2p formula, 3p rezultatul.

6. Ecuația dreptei prin $A(4, 3)$ cu panta $m = \operatorname{tg} 45^\circ$

$m = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$. Atunci

$y - 3 = 1\cdot(x - 4) \iff y = x - 1.$

Răspuns: $y = x - 1$. Barem: 2p panta, 3p ecuația.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legile: $x * y = x + y + 2$ și $x \circ y = xy - 2x - 2y + m$, $m \in \mathbb R$.

a) Legea „$*$" este asociativă

$(x * y) * z = (x + y + 2) + z + 2 = x + y + z + 4,$ $x * (y * z) = x + (y + z + 2) + 2 = x + y + z + 4.$

Expresiile coincid pentru orice $x, y, z$, deci legea este asociativă. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $m$ cu $11 \circ 1 = 0$

$11 \circ 1 = 11 - 22 - 2 + m = m - 13 = 0 \iff m = 13.$

Răspuns: $m = 13$. Barem: 3p, 2p.

c) Ecuația $(x - 1)\circ 4 = (3 * 3) + m$

$(x-1)\circ 4 = 4(x-1) - 2(x-1) - 8 + m = 2x - 10 + m, \qquad (3 * 3) + m = 8 + m.$

$2x - 10 + m = 8 + m \iff x = 9.$

Răspuns: $x = 9$. Barem: 2p, 2p, 1p.

d) $m$ pentru care „$\circ$" admite elementul neutru $e = 3$

Legea e comutativă, deci e suficient $x \circ 3 = x$ pentru orice $x$:

$3x - 2x - 6 + m = x \iff x - 6 + m = x \iff m = 6.$

Răspuns: $m = 6$. Barem: 3p, 2p.

e) Pentru $m = 6$: elementele $x$ ale căror simetrice verifică $x' = \frac32 - x$

Pentru $m = 6$: $x \circ y = (x-2)(y-2) + 2$, cu elementul neutru $e = 3$.

$x \circ x' = 3 \iff (x-2)(x'-2) = 1 \iff x' = 2 + \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{2x - 3}{x - 2}$, pentru $x \ne 2$.

$\frac{2x - 3}{x - 2} = \frac32 - x = \frac{3 - 2x}{2} \iff 2(2x - 3) + (2x - 3)(x - 2) = 0 \iff (2x - 3)\,x = 0.$

Răspuns: $x \in \left\{0, \dfrac32\right\}$. Barem: 1p $e$, 2p simetricul, 2p soluțiile.

f) $a = x * x$, $b = a * x$, $c = b * x$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice

$a = 2x + 2,\quad b = (2x + 2) + x + 2 = 3x + 4,\quad c = (3x + 4) + x + 2 = 4x + 6.$

$a + c = 6x + 8 = 2b$, deci $b$ este media aritmetică a lui $a$ și $c$ (rația este $x + 2$). $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$, $C = I_3 + A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.

a) $\det(C) + \det(A)$

Ambele matrice sunt triunghiulare, deci determinantul este produsul elementelor diagonalei: $\det A = 0$, $\det C = 1$.

Răspuns: $\det C + \det A = 1$. Barem: 2p, 3p.

b) $C^{-1}$

$\det C = 1 \ne 0$, deci $C$ e inversabilă.

$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}.$

Verificare: $C\cdot C^{-1}$ are linia a doua $(1 - 1,\ 1,\ 0) = (0, 1, 0)$ și linia a treia $(1 - 1 + 0,\ 1 - 1,\ 1) = (0, 0, 1)$ ✔. Barem: 2p, 3p.

c) $M = C\cdot(C - 2A + A^2) - I_3$

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$, deci

$C - 2A + A^2 = I_3 - A + A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} = C^{-1}.$

Atunci $M = C\cdot C^{-1} - I_3 = I_3 - I_3 = O_3$.

Răspuns: $M = O_3$. Barem: 3p, 2p.

d) $\det(I_3 + xA) = 1$

$I_3 + xA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ x & 1 & 0\\ x & x & 1\end{pmatrix},$

matrice triunghiulară cu diagonala $1, 1, 1$, deci $\det = 1$ pentru orice $x$. Barem: 3p, 2p.

e) $C + C^t$ este inversabilă

$C + C^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}, \quad \det = 8 + 1 + 1 - 2 - 2 - 2 = 4 \ne 0,$

deci $C + C^t$ este inversabilă. Barem: 3p, 2p.

f) $A^{2010}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$, $A^3 = A^2\cdot A = O_3$. Cum $2010 = 3\cdot 670$:

$A^{2010} = (A^3)^{670} = O_3.$

Răspuns: $A^{2010} = O_3$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$10$
I.2	$m \in (\tfrac13, +\infty)$
I.4	$x = 6$
I.5	$2\vec i + 3\vec j$
I.6	$y = x - 1$
II.b	$m = 13$
II.c	$x = 9$
II.d	$m = 6$
II.e	$x \in \{0, \tfrac32\}$
III.a	$1$
III.b	$C^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}$
III.c	$O_3$
III.f	$O_3$

Ce merită reținut din varianta 6

• Determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonală.
• Matrice nilpotente: dacă $A^3 = O_3$, orice putere $A^n$ cu $n \ge 3$ este $O_3$.
• $(I + A)^{-1} = I - A + A^2$ când $A^3 = O_3$ — se verifică prin înmulțire.
• Legea $(x-a)(y-a) + a$ are elementul neutru $a + 1$, iar simetricul se găsește din $(x-a)(x'-a) = 1$.