Rezolvare BAC 2012 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică, filiera vocațională, profilul pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\lg 100 + \lg\frac{1}{10}$

$\lg 100 + \lg\frac{1}{10} = \lg\left(100\cdot\frac{1}{10}\right) = \lg 10 = 1.$

(Sau: $2 + (-1) = 1$.) Răspuns: $1$. Barem: 3p, 2p.

2. Mulțimea valorilor funcției $f:\{-1, 0, 1\} \to \mathbb R$, $f(x) = -x + 2$

$f(-1) = 3$, $f(0) = 2$, $f(1) = 1$.

Răspuns: $\operatorname{Im} f = \{1, 2, 3\}$. Barem: 3p, 2p.

3. Vârful parabolei asociate funcției $f(x) = x^2 + 2x - 1$

$x_V = -\frac{b}{2a} = -1, \qquad y_V = f(-1) = 1 - 2 - 1 = -2 \quad\left(= -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{8}{4}\right).$

Răspuns: $V(-1, -2)$. Barem: 2p, 3p.

4. Ecuația $3^{2x+1} = 9$

$9 = 3^2$, deci $2x + 1 = 2 \iff x = \dfrac12$.

Răspuns: $x = \dfrac12$. Barem: 2p, 3p.

5. Distanța de la $A(1, 2)$ la $B(2, 0)$

$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5.$

Răspuns: $\sqrt5$. Barem: 3p, 2p.

6. $\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ$

Unghiurile sunt complementare: $\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$. Atunci

$\sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe $M = \left(\frac13, +\infty\right)$: $x \circ y = xy - \frac13x - \frac13y + \frac49$.

a) $x \circ y = \left(x - \frac13\right)\left(y - \frac13\right) + \frac13$

$\left(x - \frac13\right)\left(y - \frac13\right) + \frac13 = xy - \frac13x - \frac13y + \frac19 + \frac39 = xy - \frac13x - \frac13y + \frac49 = x \circ y.$

Barem: 1p, 2p, 2p.

b) $x \circ y = y \circ x$

$x \circ y = xy - \frac13x - \frac13y + \frac49$ și $y \circ x = yx - \frac13y - \frac13x + \frac49$ — aceeași expresie (înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative). Barem: 2p, 2p, 1p.

c) Legea este asociativă

Din a):

$(x \circ y)\circ z = \left(x - \tfrac13\right)\left(y - \tfrac13\right)\left(z - \tfrac13\right) + \tfrac13 = x \circ (y \circ z),$

deoarece $x \circ y - \frac13 = \left(x - \frac13\right)\left(y - \frac13\right)$. Barem: 2p, 2p, 1p.

d) Elementul neutru $e \in M$

Legea fiind comutativă, e suficient $x \circ e = x$:

$\left(x - \frac13\right)\left(e - \frac13\right) + \frac13 = x \iff \left(x - \frac13\right)\left(e - \frac13\right) = x - \frac13,\ \forall x \in M.$

Cum $x - \frac13 \ne 0$, $e - \frac13 = 1$, adică $e = \frac43 \in M$.

Răspuns: $e = \dfrac43$. Barem: 1p, 3p, 1p.

e) Ecuația $x \circ x = \frac49$

$\left(x - \frac13\right)^2 + \frac13 = \frac49 \iff \left(x - \frac13\right)^2 = \frac19 \iff x - \frac13 = \pm\frac13 \iff x \in \left\{0, \frac23\right\}.$

Cum $0 \notin M$, singura soluție este $x = \frac23$. (Echivalent: $x^2 - \frac23x = 0$.)

Răspuns: $x = \dfrac23$. Barem: 2p, 2p, 1p.

f) $\left(a + \frac13\right)\circ 3\circ\left(a + \frac13\right) = \dfrac{8a^2 + 1}{3}$

Folosind forma de la a) (extinsă la trei elemente prin asociativitate):

$\left(a + \tfrac13\right)\circ 3\circ\left(a + \tfrac13\right) = a\cdot\left(3 - \tfrac13\right)\cdot a + \frac13 = \frac83a^2 + \frac13 = \frac{8a^2 + 1}{3}. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & -1\\ 1 & m & -1\\ -1 & 1 & m\end{pmatrix}$ și sistemul $(S)$: $\begin{cases} mx + y - z = 1\\ x + my - z = 1\\ -x + y + mz = 1\end{cases}$

a) $\det(A(2))$

$\det A(2) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & -1\\ -1 & 1 & 2\end{vmatrix} = 8 + 1 - 1 - 2 + 2 - 2 = 6.$

Răspuns: $6$. Barem: 2p, 3p.

b) $\det(A(m)) = m^3 - m$

Regula lui Sarrus:

$\det A(m) = m^3 + 1 - 1 - \big(m - m + m\big) = m^3 - m.$

(Termenii: $m\cdot m\cdot m$, $1\cdot(-1)\cdot(-1)$, $(-1)\cdot 1\cdot 1$, minus $(-1)\cdot m\cdot(-1)$, $m\cdot(-1)\cdot 1$, $1\cdot 1\cdot m$.) Barem: 2p, 3p.

c) $m$ cu $\det(A(m)) = 0$

$m^3 - m = m(m - 1)(m + 1) = 0 \iff m \in \{-1, 0, 1\}.$

Răspuns: $m \in \{-1, 0, 1\}$. Barem: 2p, 3p.

d) Pentru $m = 3$, $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$ este soluție

$3\cdot\tfrac13 + \tfrac13 - \tfrac13 = 1,\quad \tfrac13 + 3\cdot\tfrac13 - \tfrac13 = 1,\quad -\tfrac13 + \tfrac13 + 3\cdot\tfrac13 = 1. \ ✔$

Barem: 2p, 3p.

e) Rezolvați sistemul pentru $m = 2$

$\begin{cases} 2x + y - z = 1\\ x + 2y - z = 1\\ -x + y + 2z = 1\end{cases}$

$\det A(2) = 6 \ne 0$ (sistem Cramer). Scăzând primele două ecuații: $x - y = 0$, deci $y = x$. Rămân $3x - z = 1$ și $2z = 1$, de unde $z = \frac12$ și $x = \frac12$.

Răspuns: $(x, y, z) = \left(\dfrac12, \dfrac12, \dfrac12\right)$. Barem: 1p, 4p.

f) Pentru $m = 0$ sistemul nu are soluții

$\begin{cases} y - z = 1\\ x - z = 1\\ -x + y = 1\end{cases}$

Scăzând primele două ecuații: $y - x = 0$. Înlocuind în a treia: $0 = 1$, imposibil. Deci sistemul este incompatibil. $\blacksquare$ Barem: 1p, 2p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$1$
I.2	$\{1, 2, 3\}$
I.3	$V(-1, -2)$
I.4	$x = \tfrac12$
I.5	$\sqrt5$
I.6	$1$
II.d	$e = \tfrac43$
II.e	$x = \tfrac23$
III.a	$6$
III.c	$m \in \{-1, 0, 1\}$
III.e	$(\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12)$

Ce merită reținut din varianta 5

• Unghiuri complementare: $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, deci $\sin^2 x + \sin^2(90^\circ - x) = 1$.
• Legea $(x-a)(y-a) + a$: asociativă, comutativă, cu elementul neutru $a + 1$.
• Verifică apartenența la mulțime: soluțiile ecuațiilor cu legi definite pe intervale trebuie să fie în $M$.
• Sistem incompatibil: combinațiile de ecuații duc la o contradicție de tipul $0 = 1$.