Rezolvare BAC 2012 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică, filiera vocațională, profilul pedagogic, sesiunea august–septembrie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $r = -2$ și $a_1 = 19$. Calculați $a_7$

$a_7 = a_1 + 6r = 19 - 12 = 7.$

Răspuns: $a_7 = 7$. Barem: 3p, 2p.

2. Intersecțiile graficului funcției $f(x) = 4 - \frac{4x}{3}$ cu axele

• cu $Ox$: $f(x) = 0 \iff \frac{4x}{3} = 4 \iff x = 3$, punctul $A(3, 0)$;
• cu $Oy$: $f(0) = 4$, punctul $B(0, 4)$.

Răspuns: $A(3, 0)$ și $B(0, 4)$. Barem: 3p, 2p.

3. $x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$ are două soluții reale distincte pentru orice $m$

$\Delta = (2m + 1)^2 - 4(m^2 + m) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m = 1 > 0,$

deci ecuația are mereu două soluții reale distincte (chiar $x_1 = m$, $x_2 = m + 1$). $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

4. Ecuația $3^{x+1} + 2\cdot 3^x = 45$

$3\cdot 3^x + 2\cdot 3^x = 45 \iff 5\cdot 3^x = 45 \iff 3^x = 9 \iff x = 2.$

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p, 2p.

5. Paralelogramul $ABCD$, $M, N, P, Q$ mijloacele laturilor; arătați că $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{CP} = \vec 0$

Fie $O$ centrul paralelogramului (mijlocul diagonalelor).

$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AQ} = \frac12\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right) = \frac12\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO},$

și analog $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{CP} = \frac12\left(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}\right) = \frac12\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CO}$.

Cum $O$ este mijlocul lui $AC$, $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{CO} = \vec 0$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 2p, 1p.

6. Triunghi dreptunghic cu ipotenuza $BC = 20$ și $\cos B = \frac35$. Perimetrul

$\cos B = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow AB = 20\cdot\frac35 = 12$. Pitagora: $AC = \sqrt{400 - 144} = 16$.

$P = 12 + 16 + 20 = 48.$

Răspuns: $48$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea: $x * y = x + y + 1$.

a) $(-5) * 5 = (-10) * 10$

$(-5) * 5 = -5 + 5 + 1 = 1$ și $(-10) * 10 = -10 + 10 + 1 = 1$, deci sunt egale. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) Inecuația $x^2 * x \le 13$

$x^2 + x + 1 \le 13 \iff x^2 + x - 12 \le 0 \iff (x + 4)(x - 3) \le 0 \iff x \in [-4, 3].$

Răspuns: $x \in [-4, 3]$. Barem: 2p, 3p.

c) Ecuația $4^x * 2^x = 21$

$4^x + 2^x + 1 = 21 \iff 4^x + 2^x = 20$. Cu $t = 2^x > 0$: $t^2 + t - 20 = 0 \iff (t - 4)(t + 5) = 0$.

$t = -5$ nu convine; $2^x = 4 \iff x = 2$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 1p, 1p, 2p, 1p.

d) $(x * y) * z = x * (y * z)$

$(x * y) * z = (x + y + 1) + z + 1 = x + y + z + 2 = x + (y + z + 1) + 1 = x * (y * z).$

Barem: 2p, 2p, 1p.

e) Simetricul lui $x = 3$ (elementul neutru $e = -1$)

$3 * x' = -1 \iff 3 + x' + 1 = -1 \iff x' = -5$

(și $x' * 3 = -1$, legea fiind comutativă).

Răspuns: $x' = -5$. Barem: 2p, 3p.

f) Numărul elementelor mulțimii $A = \{n \in \mathbb N \mid n * (n+1) \le 2012\}$

$n * (n + 1) = 2n + 2 \le 2012 \iff n \le 1005.$

$A = \{0, 1, \dots, 1005\}$ are 1006 elemente.

Răspuns: $1006$. Barem: 1p, 2p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & a & a\\ a & a & 0\\ a & 0 & a\end{pmatrix}$, sistemul $(S)$: $\begin{cases} ay + az = 1\\ ax + ay = 0\\ ax + az = 2\end{cases}$, $a \ne 0$.

a) $\det A$

$\det A = 6 + 6 + 6 - 27 - 1 - 8 = 18 - 36 = -18.$

Barem: 3p, 2p.

b) $B$ este inversabilă pentru orice $a \ne 0$

$\det B = 0 + 0 + 0 - a^3 - 0 - a^3 = -2a^3 \ne 0 \text{ pentru } a \ne 0,$

deci $B$ este inversabilă. Barem: 3p, 2p.

c) Pentru $a = 1$: ${}^t(AB) = BA$

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad AB = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 4\\ 4 & 5 & 3\\ 3 & 4 & 5\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3\\ 3 & 5 & 4\\ 4 & 3 & 5\end{pmatrix}.$

Transpusa lui $AB$ este $\begin{pmatrix} 5 & 4 & 3\\ 3 & 5 & 4\\ 4 & 3 & 5\end{pmatrix} = BA$. (Explicație: $A$ și $B$ sunt simetrice, iar ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA = BA$.) Barem: 1p, 2p, 2p.

d) Pentru $a = 1$, $\left(\frac12, -\frac12, \frac32\right)$ este soluție

$y + z = -\frac12 + \frac32 = 1, \quad x + y = \frac12 - \frac12 = 0, \quad x + z = \frac12 + \frac32 = 2. \ ✔$

Barem: 2p, 3p.

e) Rezolvarea sistemului pentru $a \ne 0$

Matricea sistemului este $B$, cu $\det B \ne 0$: sistem Cramer. Adunând cele trei ecuații: $2a(x + y + z) = 3$, deci $x + y + z = \dfrac{3}{2a}$. Scăzând pe rând ecuațiile:

$x = \frac{3}{2a} - \frac1a = \frac{1}{2a}, \quad z = \frac{3}{2a} - 0 = \frac{3}{2a}, \quad y = \frac{3}{2a} - \frac2a = -\frac{1}{2a}.$

Răspuns: $(x, y, z) = \left(\dfrac{1}{2a}, -\dfrac{1}{2a}, \dfrac{3}{2a}\right)$. Barem: 2p, 3p.

f) $a$ pentru care $x_0 + y_0 + z_0 = \frac14$

$\frac{3}{2a} = \frac14 \iff 2a = 12 \iff a = 6.$

Răspuns: $a = 6$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_7 = 7$
I.2	$(3, 0)$ și $(0, 4)$
I.4	$x = 2$
I.6	$48$
II.b	$x \in [-4, 3]$
II.c	$x = 2$
II.e	$x' = -5$
II.f	$1006$
III.a	$-18$
III.e	$(\tfrac{1}{2a}, -\tfrac{1}{2a}, \tfrac{3}{2a})$
III.f	$a = 6$

Ce merită reținut din varianta 9

• Mijloacele laturilor și centrul paralelogramului: $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AQ} = \frac12\overrightarrow{AC}$.
• Discriminant constant (aici $\Delta = 1$) arată că ecuația are mereu rădăcini reale distincte.
• ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA$ — pentru matrice simetrice devine $BA$.
• Sisteme simetrice: adună toate ecuațiile ca să afli $x + y + z$, apoi scade fiecare ecuație.