Rezolvare BAC 2012 Matematică (pedagogic) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2012 la Matematică, filiera vocațională, profilul pedagogic (specializarea învățător-educatoare). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $a = |\sqrt3 - 5| + |\sqrt3 - 1|$ este număr întreg

• $\sqrt3 < 5$, deci $\sqrt3 - 5 < 0$ și $|\sqrt3 - 5| = 5 - \sqrt3$;
• $\sqrt3 > 1$, deci $\sqrt3 - 1 > 0$ și $|\sqrt3 - 1| = \sqrt3 - 1$.

$a = 5 - \sqrt3 + \sqrt3 - 1 = 4 \in \mathbb Z.$

Barem: 2p, 2p, 1p.

2. $f(x) = 2x - 1$; calculați $f(1) + f(2) + \dots + f(10)$

$\sum_{k=1}^{10}(2k - 1) = 2(1 + 2 + \dots + 10) - 10 = 2\cdot\frac{10\cdot 11}{2} - 10 = 110 - 10 = 100.$

(Suma primelor 10 numere impare este $10^2 = 100$.) Răspuns: $100$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. Sistemul $\begin{cases} 2x - 1 = y\\ x^2 - 2x + 3 = y\end{cases}$

Egalăm expresiile lui $y$:

$x^2 - 2x + 3 = 2x - 1 \iff x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x - 2)^2 = 0 \iff x = 2,$

iar $y = 2\cdot 2 - 1 = 3$.

Răspuns: $(x, y) = (2, 3)$. Barem: 1p, 2p, 2p.

4. Ecuația $\sqrt{3 + 4x} = 5$

Condiție: $3 + 4x \ge 0 \iff x \ge -\frac34$. Ridicăm la pătrat: $3 + 4x = 25 \iff x = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$, care verifică condiția.

Răspuns: $x = \dfrac{11}{2}$. Barem: 1p, 2p, 2p.

5. $\vec v = 2\vec i + \vec j$, $\vec u = \vec i - 5\vec j$; coordonatele lui $\vec w = \vec v + \vec u$

$\vec w = (2 + 1)\vec i + (1 - 5)\vec j = 3\vec i - 4\vec j.$

Răspuns: $\vec w(3, -4)$. Barem: 3p, 2p.

6. $AC$ în triunghiul cu $AB = 3$, $BC = 8$, $m(\angle ABC) = 60^\circ$

Teorema cosinusului:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B = 9 + 64 - 2\cdot 3\cdot 8\cdot\frac12 = 73 - 24 = 49.$

Răspuns: $AC = 7$. Barem: 1p, 3p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Inelul $(\mathbb Z_8, +, \cdot)$, $\mathbb Z_8 = \{\hat 0, \hat 1, \dots, \hat 7\}$.

a) $\hat 1 + \hat 3 + \hat 5 + \hat 7$

$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 2\cdot 8$, deci suma este $\hat 0$.

Răspuns: $\hat 0$. Barem: 5p.

b) $\hat 2^{10} + \hat 2^8 + \hat 2^6 + \hat 2^4 + \hat 2^2 = \hat 4$

$\hat 2^2 = \hat 4$, $\hat 2^3 = \hat 8 = \hat 0$, deci $\hat 2^k = \hat 0$ pentru orice $k \ge 3$. Rezultă

$\hat 0 + \hat 0 + \hat 0 + \hat 0 + \hat 4 = \hat 4.$

Barem: 1p, 1p, 2p, 1p.

c) Inversul lui $\hat 7$

$\hat 7\cdot\hat 7 = \widehat{49} = \hat 1$ (deoarece $49 = 6\cdot 8 + 1$). Deci $\hat 7^{-1} = \hat 7$.

Răspuns: $\hat 7$. Barem: 2p, 3p.

d) Ecuația $\hat 7x + \hat 2 = \hat 5$

$\hat 7x = \hat 3$; înmulțim cu $\hat 7^{-1} = \hat 7$: $x = \hat 7\cdot\hat 3 = \widehat{21} = \hat 5$.

Răspuns: $x = \hat 5$. Barem: 2p, 3p.

e) $x^2 + \hat 5 = \hat 0$ nu are soluții în $\mathbb Z_8$

Pătratele din $\mathbb Z_8$: $\hat 0^2 = \hat 0$, $\hat 1^2 = \hat 1$, $\hat 2^2 = \hat 4$, $\hat 3^2 = \hat 1$, $\hat 4^2 = \hat 0$, $\hat 5^2 = \hat 1$, $\hat 6^2 = \hat 4$, $\hat 7^2 = \hat 1$. Deci $x^2 \in \{\hat 0, \hat 1, \hat 4\}$ și

$x^2 + \hat 5 \in \{\hat 5, \hat 6, \hat 1\},$

niciuna egală cu $\hat 0$. Ecuația nu are soluții. $\blacksquare$ Barem: 2p, 2p, 1p.

f) Sistemul $\begin{cases} x + y = \hat 4\\ \hat 3x + \hat 2y = \hat 1\end{cases}$ în $\mathbb Z_8$

Scriem $\hat 3x + \hat 2y = x + \hat 2(x + y) = x + \hat 8 = x + \hat 0$. Deci $x = \hat 1$ și $y = \hat 4 - \hat 1 = \hat 3$.

Verificare: $\hat 3 + \hat 6 = \hat 9 = \hat 1$ ✔.

Răspuns: $x = \hat 1$, $y = \hat 3$. Barem: 4p, 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$, $C = I_3 + A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.

a) $\det(C + {}^tC)$

${}^tC = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad C + {}^tC = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix},$

$\det(C + {}^tC) = 8 + 1 + 1 - 2 - 2 - 2 = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 3p, 2p.

b) $A^3$

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad A^3 = A^2\cdot A = O_3.$

Răspuns: $A^3 = O_3$. Barem: 3p, 2p.

c) $(I_3 + A)(I_3 - A + A^2) = I_3$

Dezvoltăm (matricele $I_3$ și $A$ comută):

$(I_3 + A)(I_3 - A + A^2) = I_3 - A + A^2 + A - A^2 + A^3 = I_3 + A^3 = I_3 + O_3 = I_3.$

Barem: 3p, 2p.

d) $a$ cu $(I_3 + aA)(I_3 + A + A^2) = I_3$

$(I_3 + aA)(I_3 + A + A^2) = I_3 + A + A^2 + aA + aA^2 + aA^3 = I_3 + (a + 1)(A + A^2).$

Egalitatea cere $(a + 1)(A + A^2) = O_3$. Dar $A + A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix} \ne O_3$, deci $a + 1 = 0$.

Răspuns: $a = -1$. Barem: 2p, 1p, 2p.

e) Inversa matricei $C$

Din c), $C^{-1} = I_3 - A + A^2$:

$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}.$

Barem: 3p, 2p.

f) $x, y, z$ cu $xC + yA^2 + zI_3 = A$

$xC + yA^2 + zI_3 = \begin{pmatrix} x + z & 0 & 0\\ x & x + z & 0\\ x + y & x & x + z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}.$

Identificând: $x = 1$, $x + z = 0 \Rightarrow z = -1$, $x + y = 1 \Rightarrow y = 0$.

Răspuns: $x = 1$, $y = 0$, $z = -1$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a = 4$
I.2	$100$
I.3	$(2, 3)$
I.4	$x = \tfrac{11}{2}$
I.5	$(3, -4)$
I.6	$AC = 7$
II.a	$\hat 0$
II.c	$\hat 7$
II.d	$x = \hat 5$
II.f	$x = \hat 1$, $y = \hat 3$
III.a	$4$
III.b	$O_3$
III.d	$a = -1$
III.f	$x = 1$, $y = 0$, $z = -1$

Ce merită reținut din model

• Modul: semnul expresiei de sub modul decide cum îl „deschizi".
• În $\mathbb Z_n$, un element $\hat a$ este inversabil exact când $(a, n) = 1$; inversul se găsește prin încercări mici.
• Ecuații de gradul 2 în $\mathbb Z_n$: listează toate pătratele.
• Matrice nilpotente ($A^3 = O_3$): $(I_3 + A)^{-1} = I_3 - A + A^2$, ca la suma unei progresii geometrice.