Rezolvare BAC 2010 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică, filiera vocațională, profilul pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\log_2\sqrt6 - \log_2\sqrt3$

$\log_2\sqrt6 - \log_2\sqrt3 = \log_2\frac{\sqrt6}{\sqrt3} = \log_2\sqrt2 = \log_2 2^{1/2} = \frac12.$

Răspuns: $\dfrac12$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x - 5$; calculați $f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(10)$

Printre factori se află $f(5) = 0$, deci produsul este $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 3p $f(5) = 0$, 2p concluzia.

3. Ecuația $2^{2x+1} - 2^{x+1} = 24$

Notăm $y = 2^x > 0$: $2^{2x+1} = 2y^2$, $2^{x+1} = 2y$.

$2y^2 - 2y = 24 \iff y^2 - y - 12 = 0 \iff y \in \{-3, 4\}.$

$y = -3 < 0$ nu convine; $2^x = 4 \iff x = 2$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

4. Numărul submulțimilor cu două elemente ale lui $A = \{x \in \mathbb N \mid x \le 8\}$

$A = \{0, 1, \dots, 8\}$ are 9 elemente (atenție la $0$!).

$C_9^2 = \frac{9\cdot 8}{2} = 36.$

Răspuns: $36$. Barem: 2p, 1p, 2p.

5. $A(3, 4)$, $B(2, m)$ pe dreapta $y = 3x + 20$; mijlocul segmentului $[AB]$

$B$ pe dreaptă: $m = 3\cdot 2 + 20 = 26$. Mijlocul:

$M\left(\frac{3 + 2}{2}, \frac{4 + 26}{2}\right) = M\left(\frac52, 15\right).$

Răspuns: $M\left(\frac52, 15\right)$. Barem: 2p $m$, 3p mijlocul.

6. $E(x) = \cos x + \sin 2x$ pentru $x = 30^\circ$

$E(30^\circ) = \cos 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3.$

Răspuns: $\sqrt3$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

$M = \{a + b\sqrt2 \mid a, b \in \mathbb Z\}$, $x \circ y = x + y + \sqrt2$.

a) $x + y \in M$ pentru orice $x, y \in M$

Fie $x = a + b\sqrt2$, $y = c + d\sqrt2$ cu $a, b, c, d \in \mathbb Z$:

$x + y = (a + c) + (b + d)\sqrt2 \in M,$

deoarece $a + c,\ b + d \in \mathbb Z$. Barem: 2p, 3p.

b) $x\cdot y \in M$ pentru orice $x, y \in M$

$x\cdot y = ac + ad\sqrt2 + bc\sqrt2 + 2bd = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2 \in M.$

Barem: 1p, 2p, 2p.

c) $x \in M$ cu $x\cdot(1 + \sqrt2)^2 = 1$

$(1 + \sqrt2)^2 = 1 + 2\sqrt2 + 2 = 3 + 2\sqrt2$. Atunci

$x = \frac{1}{3 + 2\sqrt2} = \frac{3 - 2\sqrt2}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt2 \in M.$

Răspuns: $x = 3 - 2\sqrt2$. Barem: 2p, 3p.

d) $\dfrac{1}{1 + \sqrt2}\circ\dfrac{1}{3 + 2\sqrt2} \in M$

Raționalizăm: $\dfrac{1}{1+\sqrt2} = \sqrt2 - 1$, $\dfrac{1}{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2$. Atunci

$(\sqrt2 - 1)\circ(3 - 2\sqrt2) = \sqrt2 - 1 + 3 - 2\sqrt2 + \sqrt2 = 2 = 2 + 0\cdot\sqrt2 \in M.$

Barem: 2p, 2p, 1p.

e) Legea „$\circ$" este asociativă

$(x\circ y)\circ z = x + y + \sqrt2 + z + \sqrt2 = x + y + z + 2\sqrt2 = x\circ(y\circ z).$

Barem: 2p, 2p, 1p.

f) $(M, \circ)$ este grup

• Lege de compoziție pe $M$: $x \circ y = x + y + \sqrt2 \in M$ (din a), cu $\sqrt2 = 0 + 1\cdot\sqrt2 \in M$);
• Asociativitate: punctul e);
• Element neutru: $x \circ e = x \iff e = -\sqrt2 \in M$ (și $e \circ x = x$, legea fiind comutativă);
• Simetrice: $x \circ x' = -\sqrt2 \iff x' = -x - 2\sqrt2 \in M$.

Deci $(M, \circ)$ este grup (chiar abelian). $\blacksquare$ Barem: 1p, 2p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$M = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}$, $A(a) = M + aI_2 = \begin{pmatrix} a + 2 & 2\\ -1 & a - 1\end{pmatrix}$.

a) $M^2 = M$

$M^2 = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 4 - 2\\ -2 + 1 & -2 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix} = M.$

Barem: 1p, 4p.

b) $A(2010)$

$A(2010) = M + 2010I_2 = \begin{pmatrix} 2012 & 2\\ -1 & 2009\end{pmatrix}.$

Barem: 2p, 3p.

c) $a$ cu $\det(A(a)) = 2$

$\det A(a) = (a + 2)(a - 1) + 2 = a^2 + a.$

$a^2 + a = 2 \iff a^2 + a - 2 = 0 \iff (a - 1)(a + 2) = 0$.

Răspuns: $a \in \{-2, 1\}$. Barem: 2p, 2p, 1p.

d) $A^{-1}(1) = \dfrac12\begin{pmatrix} 0 & -2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$

$A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix}$. Verificăm:

$A(1)\cdot\frac12\begin{pmatrix} 0 & -2\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & -6 + 6\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I_2,$

și analog produsul în ordine inversă este $I_2$. Barem: 2p, 3p.

e) $A(a) + (A(a))^t$ este inversabilă pentru orice $a \in \mathbb Z$

$A(a) + (A(a))^t = \begin{pmatrix} 2a + 4 & 1\\ 1 & 2a - 2\end{pmatrix}, \quad \det = (2a + 4)(2a - 2) - 1 = 4a^2 + 4a - 9.$

Pentru $a \in \mathbb Z$, $4a^2 + 4a$ este par, deci $4a^2 + 4a - 9$ este impar, în particular nenul. Matricea este inversabilă. $\blacksquare$ Barem: 2p, 2p, 1p.

f) Ecuația $X\cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 6\end{pmatrix}$

Înmulțim la dreapta cu $A^{-1}(1)$:

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 6\end{pmatrix}\cdot\frac12\begin{pmatrix} 0 & -2\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 7\end{pmatrix}.$

Răspuns: $X = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 7\end{pmatrix}$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$\tfrac12$
I.2	$0$
I.3	$x = 2$
I.4	$36$
I.5	$M(\tfrac52, 15)$
I.6	$\sqrt3$
II.c	$x = 3 - 2\sqrt2$
II.f	element neutru $-\sqrt2$, simetric $-x - 2\sqrt2$
III.b	$\begin{pmatrix}2012&2\\-1&2009\end{pmatrix}$
III.c	$a \in \{-2, 1\}$
III.f	$X = \begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 9

• Produs cu un factor nul: caută $f(k) = 0$ printre factori înainte de a calcula.
• $\mathbb N$ conține $0$: $\{x \in \mathbb N \mid x \le 8\}$ are 9 elemente.
• Raționalizarea cu conjugata ($a - b\sqrt2$) arată că inversul lui $3 + 2\sqrt2$ este tot în $M$.
• Ecuația $XA = B$ se rezolvă cu $X = BA^{-1}$ (inversa la dreapta!).
• Paritate: un număr impar nu poate fi $0$ — argument elegant pentru inversabilitate.