Rezolvare BAC 2011 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică M4 (filiera vocațională, profil pedagogic), sesiunea iunie–iulie, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresie aritmetică cu $a_2 = 5$, $a_4 = 11$; calculați $a_6$

$a_4 - a_2 = 2r = 6 \Rightarrow r = 3$, deci $a_6 = a_4 + 2r = 11 + 6 = 17$.

Răspuns: $a_6 = 17$. Barem: 3p rația, 2p rezultatul.

2. Dacă $f(1) = g(1)$ și $f(3) = g(3)$, atunci $f(5) = g(5)$ ($f, g$ de gradul I)

Din ipoteză: $a + b = c + d$ și $3a + b = 3c + d$. Scăzând: $2a = 2c \Rightarrow a = c$, apoi $b = d$. Deci $f = g$ și, în particular, $f(5) = g(5)$. $\blacksquare$ Barem: 2p + 2p + 1p.

3. $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ pentru $x^2 - 5x + 3 = 0$

Viète: $S = 5$, $P = 3$.

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac53.$

Barem: 1p + 1p + 2p + 1p.

4. Ecuația $\log_2(x^2 + x + 2) = 2$

$x^2 + x + 2 > 0$ pentru orice $x$ ($\Delta < 0$). Ecuația: $x^2 + x + 2 = 4 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff (x+2)(x-1) = 0$.

Răspuns: $S = \{-2, 1\}$. Barem: 3p + 2p.

5. $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{NC}$: $MN \parallel BC$

Din relațiile vectoriale, $M \in [AB]$ cu $\dfrac{AM}{MB} = 3$ și $N \in [AC]$ cu $\dfrac{AN}{NC} = 3$. Cum $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$, din reciproca teoremei lui Thales, $MN \parallel BC$. $\blacksquare$

(Vectorial: $\overrightarrow{AM} = \frac34\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN} = \frac34\overrightarrow{AC}$, deci $\overrightarrow{MN} = \frac34\overrightarrow{BC}$.) Barem: 2p + 2p + 1p.

6. $A = 30^\circ$, $C = 90^\circ$, $BC = 6$; aflați $AC$

$\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC}$, deci

$AC = \frac{BC}{\operatorname{tg}30^\circ} = BC\cdot\operatorname{ctg}30^\circ = 6\sqrt3.$

Răspuns: $AC = 6\sqrt3$. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea: $x * y = xy - 2x - 2y + 6$.

a) Comutativitate

$y * x = yx - 2y - 2x + 6 = xy - 2x - 2y + 6 = x * y.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

b) Asociativitate

Folosind forma de la c), $x * y = (x-2)(y-2) + 2$:

$(x*y)*z = (x-2)(y-2)(z-2) + 2 = x*(y*z).$

Dezvoltat, ambele dau $xyz - 2xy - 2xz - 2yz + 4x + 4y + 4z - 6$. Barem: 2p + 2p + 1p.

c) $a$ cu $x * y = (2-x)(2-y) + a$

$(2-x)(2-y) = 4 - 2x - 2y + xy$, deci $xy - 2x - 2y + 6 = xy - 2x - 2y + 4 + a \iff a = 2$.

Răspuns: $a = 2$. Barem: 2p + 3p.

d) $x * x = x$

$x^2 - 4x + 6 = x \iff x^2 - 5x + 6 = 0 \iff (x-2)(x-3) = 0.$

Răspuns: $x \in \{2, 3\}$. Barem: 3p + 2p.

e) Elementul neutru

$x * e = x$ pentru orice $x$: $(x-2)(e-2) + 2 = x \iff (x-2)(e-2) = x - 2$ pentru orice $x$, deci $e - 2 = 1$.

Răspuns: $e = 3$. Barem: 1p + 2p + 2p.

f) $(x+2) * \left(\frac1x + 2\right) = 3$ pentru $x \ne 0$

$(x+2) * \left(\frac1x + 2\right) = (2 - x - 2)\left(2 - \frac1x - 2\right) + 2 = (-x)\left(-\frac1x\right) + 2 = 1 + 2 = 3. \ \blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & -a\\ -a & 0 & 0\end{pmatrix}$.

a) $\det(A + I_3) = 1$

$A + I_3 = \begin{pmatrix} 1 & a & 0\\ 0 & 1 & -a\\ -a & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det(A + I_3) = 1 + a\cdot(-a)\cdot(-a) = 1 + a^3.$

$1 + a^3 = 1 \iff a = 0$. Răspuns: $a = 0$. Barem: 1p + 3p + 1p.

b) $\det(A + {}^tA)$

${}^tA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -a\\ a & 0 & 0\\ 0 & -a & 0\end{pmatrix}, \qquad A + {}^tA = \begin{pmatrix} 0 & a & -a\\ a & 0 & -a\\ -a & -a & 0\end{pmatrix}.$

Sarrus: diagonala principală $0$; termenii $a\cdot(-a)\cdot(-a) = a^3$ și $(-a)\cdot a\cdot(-a) = a^3$; termenii scăzuți conțin toți un $0$.

Răspuns: $\det(A + {}^tA) = 2a^3$. Barem: 1p + 2p + 2p.

c) Inversa lui $A$ pentru $a = 1$

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$, $\det A = a^3 = 1 \ne 0$. Din d), $A^3 = I_3$, deci $A^{-1} = A^2$:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}.$

Barem: 2p inversabilitatea, 3p inversa.

d) $A^3 = a^3I_3$

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -a^2\\ a^2 & 0 & 0\\ 0 & -a^2 & 0\end{pmatrix}, \qquad A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix} a^3 & 0 & 0\\ 0 & a^3 & 0\\ 0 & 0 & a^3\end{pmatrix} = a^3I_3.$

(De exemplu $(1,1)$: $(-a^2)(-a) = a^3$.) Barem: 2p + 3p.

e) Pentru $a = 1$: $(A + I_3)(A^2 - A + I_3) = 2I_3$

$A$ comută cu $I_3$, deci se aplică identitatea $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$:

$(A + I_3)(A^2 - A + I_3) = A^3 + I_3 = I_3 + I_3 = 2I_3. \ \blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

f) $\det(A + {}^tA + I_3) = 1$

$A + {}^tA + I_3 = \begin{pmatrix} 1 & a & -a\\ a & 1 & -a\\ -a & -a & 1\end{pmatrix},$

$\det = 1 + a^3 + a^3 - \big(a^2 + a^2 + a^2\big) = 2a^3 - 3a^2 + 1.$

$2a^3 - 3a^2 + 1 = 1 \iff a^2(2a - 3) = 0$.

Răspuns: $a \in \left\{0, \dfrac32\right\}$. Barem: 1p + 2p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_6 = 17$
I.3	$\frac53$
I.4	$\{-2, 1\}$
I.6	$AC = 6\sqrt3$
II.c	$a = 2$
II.d	$x \in \{2, 3\}$
II.e	$e = 3$
III.a	$a = 0$
III.b	$2a^3$
III.c	$A^{-1} = A^2$
III.f	$a \in \{0, \frac32\}$

Ce merită reținut din varianta 5

• Două funcții de gradul I egale în două puncte sunt identice.
• Legea $(x-a)(y-a) + a$ are elementul neutru $a + 1$.
• Dacă $A^3 = I_3$, atunci $A^{-1} = A^2$.
• Identitățile algebrice ($x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$) funcționează pentru matrice care comută.