Rezolvare BAC 2015 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 8

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie–iulie, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\left(\frac12 + \frac15\right)\cdot\frac{20}{7} = 2$

$\frac12 + \frac15 = \frac{7}{10}, \qquad \frac{7}{10}\cdot\frac{20}{7} = 2.$

Barem: 3p + 2p.

2. $A(a, 0)$ pe graficul lui $f(x) = x - 2$

$f(a) = 0 \iff a - 2 = 0 \iff a = 2$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\sqrt{x + 3} = 4$

$x + 3 = 16 \iff x = 13$, care verifică. Barem: 3p + 2p.

4. Probabilitatea ca un număr din $M = \{10, 20, \dots, 90\}$ să fie multiplu de 15

Cazuri posibile: 9. Multiplii de 15 din $M$: $30, 60, 90$ — 3 cazuri favorabile.

$p = \frac39 = \frac13.$

Barem: 1p + 2p + 2p.

5. Mijlocul segmentului $AB$, $A(4,2)$, $B(4,6)$

$x_M = \frac{4+4}{2} = 4, \qquad y_M = \frac{2+6}{2} = 4.$

Răspuns: $M(4, 4)$. Barem: 2p + 3p.

6. $\sin x = \frac{12}{13}$, știind $x \in \left(0, \frac\pi2\right)$ și $\cos x = \frac{5}{13}$

$\sin^2 x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$

În cadranul I, $\sin x > 0$, deci $\sin x = \frac{12}{13}$. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det A = -2$

$\det A = 4 - 6 = -2.$

Barem: 3p + 2p.

b) $A + B = 5C$

$A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5\\ 5 & 5\end{pmatrix} = 5C.$

Barem: 3p + 2p.

c) $AB + BA + 4I_2 = 25C$

$AB = \begin{pmatrix} 8 & 5\\ 20 & 13\end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} 13 & 20\\ 5 & 8\end{pmatrix},$

$AB + BA + 4I_2 = \begin{pmatrix} 8 + 13 + 4 & 25\\ 25 & 13 + 8 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 25\\ 25 & 25\end{pmatrix} = 25C. \ \blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

2. $x\circ y = xy + 4x + 4y + 12$

a) $5\circ(-4) = -4$

$-20 + 20 - 16 + 12 = -4.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x\circ y = (x+4)(y+4) - 4$

$xy + 4x + 4y + 16 - 4 = x(y+4) + 4(y+4) - 4 = (x+4)(y+4) - 4.$

Barem: 2p + 3p.

c) $x\circ x = x$

$(x+4)^2 - 4 = x \iff (x+4)^2 - (x+4) = 0 \iff (x+4)(x+3) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-4, -3\}$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 5$

a) $f'(x) = 6x(x+1)$

$f'(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1).$

Barem: 2p + 3p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{f(x) - 2x^3}$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{6x^2 + 6x}{3x^2 + 5} = \frac63 = 2.$

Barem: 2p + 3p.

c) Intervalele de monotonie

$f'(x) = 0 \iff x \in \{-1, 0\}$.

$x$	$(-\infty, -1]$	$[-1, 0]$	$[0, +\infty)$
$f'$	$+$	$-$	$+$
$f$	crescătoare	descrescătoare	crescătoare

Barem: 2p + 1p + 1p + 1p.

2. $f(x) = 4x^3 + 3x^2$

a) $\displaystyle\int_1^2(f(x) - 3x^2)\,dx = 15$

$\int_1^2 4x^3\,dx = x^4\Big|_1^2 = 16 - 1 = 15.$

Barem: 3p + 2p.

b) Primitiva $F$ cu $F(1) = 2015$

$F(x) = x^4 + x^3 + c$; $F(1) = 2 + c = 2015 \Rightarrow c = 2013$.

Răspuns: $F(x) = x^4 + x^3 + 2013$. Barem: 2p + 3p.

c) $n > 1$ cu $\displaystyle\int_1^n\frac{f(x)}{x^2}\,dx = 9$

$\dfrac{f(x)}{x^2} = 4x + 3$:

$\int_1^n(4x + 3)\,dx = (2x^2 + 3x)\Big|_1^n = 2n^2 + 3n - 5.$

$2n^2 + 3n - 5 = 9 \iff 2n^2 + 3n - 14 = 0 \iff (n - 2)(2n + 7) = 0$, deci $n = 2$.

Răspuns: $n = 2$. Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 2$
I.3	$x = 13$
I.4	$p = \frac13$
I.5	$M(4, 4)$
II.2.c	$x \in \{-4, -3\}$
III.1.b	$2$
III.1.c	cresc. pe $(-\infty,-1]$ și $[0,+\infty)$, descresc. pe $[-1,0]$
III.2.b	$F(x) = x^4 + x^3 + 2013$
III.2.c	$n = 2$

Ce merită reținut din varianta 8

• Înmulțirea matricelor nu e comutativă: $AB \ne BA$ în general — calculează-le separat.
• Legea $(x+a)(y+a) - a$: ecuația $x\circ x = x$ devine $(x+a)(x+a-1) = 0$.
• Monotonia se citește din semnul derivatei între rădăcinile ei.
• Primitiva cu condiție $F(x_0) = c$: determină constanta de integrare.