Rezolvare BAC 2014 Matematică (tehnologic) — August–Septembrie, varianta 7

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_tehnologic, sesiunea august–septembrie, varianta 7. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Pentru $a = 3$: $\frac a2 - \frac2a = \frac56$

$\frac32 - \frac23 = \frac{9 - 4}{6} = \frac56.$

Barem: 2p + 3p.

2. Abscisa punctului de intersecție a graficelor lui $f(x) = 2x - 3$ și $g(x) = x + 1$

$2x - 3 = x + 1 \iff x = 4.$

Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 + 5} = 3$

$x^2 + 5 = 9 \iff x^2 = 4 \iff x \in \{-2, 2\}$; ambele verifică ($\sqrt9 = 3$).

Barem: 2p + 3p.

4. Prețul de 120 lei după o scumpire cu 10%

$\frac{10}{100}\cdot120 = 12$ lei, deci prețul nou este $132$ lei. Barem: 3p + 2p.

5. Perimetrul triunghiului $A(2,2)$, $B(2,5)$, $C(6,5)$

$AB = 5 - 2 = 3$ (vertical), $BC = 6 - 2 = 4$ (orizontal), deci triunghiul e dreptunghic în $B$ și $AC = \sqrt{9 + 16} = 5$.

$P = 3 + 4 + 5 = 12.$

Barem: 3p + 2p.

6. $\cos A$, știind $\sin A = \frac{\sqrt3}{2}$ și $A$ ascuțit

$\cos A = \sqrt{1 - \frac34} = \frac12.$

Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b & b\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$

a) $\det A = -2$

$\det A = 1\cdot0 - 1\cdot2 = -2.$

Barem: 2p + 3p.

b) $b$ cu $A + B = AB + C$

$A + B = \begin{pmatrix} b+1 & b+2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad AB = \begin{pmatrix} b & b + 2\\ b & b\end{pmatrix}, \qquad AB + C = \begin{pmatrix} b+1 & b+2\\ b & b\end{pmatrix}.$

Egalitatea cere $b = 1$ (din linia a doua).

Răspuns: $b = 1$. Barem: 3p + 2p.

c) $\det(B + 2C) = \det B - \det A$

$B + 2C = \begin{pmatrix} b + 2 & b\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det(B + 2C) = b + 2.$

$\det B = b$, deci $\det B - \det A = b - (-2) = b + 2$. Egalitate pentru orice $b$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

2. $f = X^3 - 4X^2 + X + 2$

a) $f(1) = 0$

$f(1) = 1 - 4 + 1 + 2 = 0.$

Barem: 3p + 2p.

b) Câtul și restul împărțirii la $X - 1$

Schema lui Horner cu $1$:

	$1$	$-4$	$1$	$2$
$1$	$1$	$-3$	$-2$	$0$

Răspuns: câtul $X^2 - 3X - 2$, restul $0$. Barem: 3p + 2p.

c) $(x_1 + x_2 + x_3)\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right) = -2$

Viète: $\sum x_i = 4$, $\sum x_ix_j = 1$, $x_1x_2x_3 = -2$.

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3}{x_1x_2x_3} = -\frac12,$

deci produsul este $4\cdot\left(-\frac12\right) = -2$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = x^2 - \ln x$

a) $\lim\limits_{x\to1} f(x) = 1$

$f$ este continuă, deci $\lim\limits_{x\to1} f(x) = f(1) = 1 - \ln1 = 1$. Barem: 2p + 3p.

b) $f'(x) = 2x - \frac1x$

$f'(x) = (x^2)' - (\ln x)' = 2x - \frac1x.$

Barem: 2p + 3p.

c) $f$ convexă pe $(0, +\infty)$

$f''(x) = 2 + \frac{1}{x^2} > 0,$

deci $f$ este convexă. Barem: 2p + 3p.

2. $f:(-1,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$

a) $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$

$\int_0^1 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \frac13.$

Barem: 3p + 2p.

b) Aria sub grafic pe $[0,1]$

$f(x) \ge 0$ pe $[0,1]$. Împărțim: $x^2 = (x+1)(x-1) + 1$, deci $\dfrac{x^2}{x+1} = x - 1 + \dfrac{1}{x+1}$.

$\mathcal A = \int_0^1\left(x - 1 + \frac{1}{x+1}\right)dx = \left(\frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)\right)\Big|_0^1 = \frac12 - 1 + \ln2 = \ln2 - \frac12.$

Răspuns: $\ln2 - \dfrac12$. Barem: 3p + 2p.

c) Orice primitivă a lui $f$ este crescătoare pe $(-1, +\infty)$

Dacă $F$ este o primitivă, $F'(x) = f(x) = \dfrac{x^2}{x+1} \ge 0$ pentru $x > -1$ (numărător $\ge 0$, numitor $> 0$). Deci $F$ este crescătoare. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$x = 4$
I.3	$x \in \{-2, 2\}$
I.4	132 lei
I.5	$12$
I.6	$\cos A = \frac12$
II.1.b	$b = 1$
II.2.b	cât $X^2 - 3X - 2$, rest $0$
III.2.b	$\ln2 - \frac12$

Ce merită reținut din varianta 7

• Suma inverselor rădăcinilor: $\sum\frac{1}{x_i} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3}$ (din Viète).
• Schema lui Horner dă rapid câtul și restul împărțirii la $X - a$.
• Primitivele unei funcții pozitive sunt crescătoare (derivata lor este chiar funcția).
• Fracții raționale cu grad numărător $\ge$ grad numitor: împarte înainte să integrezi.