Rezolvare BAC 2014 Matematică (tehnologic) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2014 la Matematică M_tehnologic. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $3(4 + \sqrt3) - \sqrt{27}$ este natural

$\sqrt{27} = 3\sqrt3$, deci

$3(4 + \sqrt3) - 3\sqrt3 = 12 + 3\sqrt3 - 3\sqrt3 = 12 \in \mathbb N.$

Barem: 2p + 3p.

2. $f(x) = 2x + 3$; $f(1) + \dots + f(10)$

$2(1 + 2 + \dots + 10) + 10\cdot3 = 2\cdot55 + 30 = 140.$

Barem: 2p + 3p.

3. Ecuația $\log_7(x^2 + 8) = \log_7(6x)$

Condiție: $x > 0$. $x^2 + 8 = 6x \iff x^2 - 6x + 8 = 0 \iff (x-2)(x-4) = 0$; ambele soluții sunt pozitive.

Răspuns: $x \in \{2, 4\}$. Barem: 2p + 3p.

4. După o scumpire cu 30%, prețul este 325 lei

$x + 0{,}3x = 1{,}3x = 325 \iff x = 250$.

Răspuns: 250 de lei. Barem: 2p + 3p.

5. $Q$ astfel încât $R(3,3)$ să fie mijlocul lui $PQ$, $P(1,3)$

$x_Q = 2x_R - x_P = 5$, $y_Q = 2y_R - y_P = 3$.

Răspuns: $Q(5, 3)$. Barem: 1p + 2p + 2p.

6. $\sin10^\circ + \sin30^\circ - \sin170^\circ = \frac12$

$\sin170^\circ = \sin(180^\circ - 10^\circ) = \sin10^\circ$, deci expresia este $\sin30^\circ = \frac12$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} -3 & 1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

a) $\det A$

$\det A = (-3)(-2) - 2\cdot1 = 6 - 2 = 4.$

Barem: 3p + 2p.

b) $B\cdot A - A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}$

Înmulțirea la stânga cu $B$ schimbă liniile, la dreapta schimbă coloanele:

$B\cdot A = \begin{pmatrix} 2 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -3\\ -2 & 2\end{pmatrix}, \qquad B\cdot A - A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}.$

Barem: 2p + 3p.

c) $\det(A + xB) = 0$

$A + xB = \begin{pmatrix} -3 & 1 + x\\ 2 + x & -2\end{pmatrix}, \qquad \det = 6 - (1+x)(2+x) = -x^2 - 3x + 4.$

$x^2 + 3x - 4 = 0 \iff (x + 4)(x - 1) = 0$.

Răspuns: $x \in \{-4, 1\}$. Barem: 3p + 2p.

2. Legea asociativă $x\circ y = xy - 3(x + y) + 12$

a) $x\circ3 = 3\circ x = 3$

$x\circ3 = 3x - 3x - 9 + 12 = 3, \qquad 3\circ x = 3x - 9 - 3x + 12 = 3.$

Barem: 2p + 3p.

b) $x\circ x = x$

$x^2 - 6x + 12 = x \iff x^2 - 7x + 12 = 0 \iff (x-3)(x-4) = 0.$

Răspuns: $x \in \{3, 4\}$. Barem: 1p + 2p + 2p.

c) $1\circ2\circ\dots\circ2014$

Din a), $3$ este element absorbant. Grupând (asociativitate):

$(1\circ2)\circ3\circ(4\circ\dots\circ2014) = \big((1\circ2)\circ3\big)\circ(\dots) = 3\circ(\dots) = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = e^x - x$

a) $f'(x)$

$f'(x) = e^x - 1$. Barem: 3p + 2p.

b) Tangenta în $x_0 = 0$

$f(0) = 1$, $f'(0) = 0$, deci tangenta este $y = 1$. Barem: 2p + 3p.

c) $e^x \ge x + 1$ pentru orice $x$

$f'(x) < 0$ pentru $x < 0$ și $f'(x) > 0$ pentru $x > 0$, deci $0$ este punct de minim global: $f(x) \ge f(0) = 1$, adică $e^x - x \ge 1 \iff e^x \ge x + 1$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

2. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = 3 - \frac1x$

a) $\displaystyle\int_1^2(3 - f(x))\,dx$

$3 - f(x) = \frac1x$, deci $\displaystyle\int_1^2\frac1x\,dx = \ln2$. Barem: 2p + 3p.

b) Primitiva $F$ cu $F(1) = 3$

$F(x) = 3x - \ln x + c$; $F(1) = 3 + c = 3 \Rightarrow c = 0$.

Răspuns: $F(x) = 3x - \ln x$. Barem: 3p + 2p.

c) Volumul pentru $g(x) = xf(x) = 3x - 1$ pe $[1,2]$

$V = \pi\int_1^2(3x - 1)^2\,dx = \pi\int_1^2(9x^2 - 6x + 1)\,dx = \pi(3x^3 - 3x^2 + x)\Big|_1^2 = \pi(14 - 1) = 13\pi.$

Răspuns: $V = 13\pi$. Barem: 2p + 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$12$
I.2	$140$
I.3	$x \in \{2, 4\}$
I.4	250 lei
I.5	$Q(5, 3)$
II.1.a	$4$
II.1.c	$x \in \{-4, 1\}$
II.2.b	$x \in \{3, 4\}$
II.2.c	$3$
III.1.b	$y = 1$
III.2.a	$\ln2$
III.2.b	$F(x) = 3x - \ln x$
III.2.c	$13\pi$

Ce merită reținut din modelul 2014

• $xy - a(x + y) + a^2 + a = (x-a)(y-a) + a$: $a$ este absorbant (aici $a = 3$).
• Inegalitatea $e^x \ge x + 1$ se demonstrează studiind minimul lui $e^x - x$.
• Unghiuri suplementare: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.
• Matricea $B = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ schimbă liniile (la stânga) sau coloanele (la dreapta).