Rezolvare BAC 2014 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_tehnologic, sesiunea de rezervă, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $(1 + \sqrt2)^2 - 2\sqrt2 = 3$

$(1 + \sqrt2)^2 = 1 + 2\sqrt2 + 2 = 3 + 2\sqrt2, \qquad 3 + 2\sqrt2 - 2\sqrt2 = 3.$

Barem: 3p + 2p.

2. Intersecția graficului lui $f(x) = x - 1$ cu $Ox$

$f(x) = 0 \iff x = 1$. Răspuns: punctul $(1, 0)$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $3^{x+1} = 3^2$

$x + 1 = 2 \iff x = 1$. Barem: 3p + 2p.

4. Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să fie divizor al lui $8$

Numere de o cifră: $0, 1, \dots, 9$ — 10 cazuri posibile. Divizori ai lui $8$: $1, 2, 4, 8$ — 4 favorabile.

$p = \frac{4}{10} = \frac25.$

Barem: 2p + 1p + 2p.

5. Triunghiul $A(1,1)$, $B(3,1)$, $C(3,3)$ este isoscel

$AB = 3 - 1 = 2$ (segment orizontal), $BC = 3 - 1 = 2$ (segment vertical). $AB = BC$, deci triunghiul este isoscel. Barem: 2p + 3p.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $BC = 10$, $C = 30^\circ$; aflați $AB$

$AB$ este cateta opusă unghiului $C$:

$\sin C = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = 10\cdot\frac12 = 5.$

Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} a & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix}$, $a \in \mathbb Z$

a) $\det B = -5$

$\det B = 3 - 8 = -5.$

Barem: 2p + 3p.

b) $\det A \ne 0$ pentru orice $a$ întreg

$\det A = 3a - 8$. $3a - 8 = 0 \iff a = \frac83 \notin \mathbb Z$, deci pentru $a$ întreg $\det A \ne 0$. Barem: 3p + 2p.

c) $a$ întreg pentru care $A^{-1}$ are toate elementele întregi

$A^{-1} = \frac{1}{3a - 8}\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -8 & a\end{pmatrix}.$

Elementul $\dfrac{-1}{3a - 8}$ trebuie să fie întreg, deci $3a - 8 \in \{-1, 1\}$:

• $3a - 8 = -1 \Rightarrow a = \frac73 \notin \mathbb Z$;
• $3a - 8 = 1 \Rightarrow a = 3$; atunci $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -8 & 3\end{pmatrix}$, cu elemente întregi.

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p + 1p + 1p.

2. $x * y = xy - 5x - 5y + 30$

a) $1 * 5 = 5$

$5 - 5 - 25 + 30 = 5.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x * y = (x-5)(y-5) + 5$

$xy - 5x - 5y + 25 + 5 = x(y-5) - 5(y-5) + 5 = (x-5)(y-5) + 5.$

Barem: 2p + 3p.

c) $x * x = x$

$(x-5)^2 + 5 = x \iff x^2 - 11x + 30 = 0 \iff (x-5)(x-6) = 0.$

Răspuns: $x \in \{5, 6\}$. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^2 - x$

a) $f'(x) = 2x - 1$

$(x^2)' - x' = 2x - 1$. Barem: 2p + 3p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^2}$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 - x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\left(1 - \frac1x\right) = 1.$

Barem: 2p + 3p.

c) Tangenta în $x_0 = 1$

$f(1) = 0$, $f'(1) = 1$, deci $y = x - 1$. Barem: 2p + 3p.

2. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = 2x + \frac1x$

a) $\displaystyle\int_1^e\frac1x\,dx = 1$

$\ln x\Big|_1^e = 1 - 0 = 1.$

Barem: 3p + 2p.

b) $F(x) = x^2 + \ln x + 2$ este primitivă a lui $f$

$F'(x) = 2x + \frac1x = f(x).$

Barem: 3p + 2p.

c) Aria pe $[1,2]$ este strict mai mică decât $4$

$f > 0$ pe $[1,2]$, deci

$\mathcal A = \int_1^2\left(2x + \frac1x\right)dx = (x^2 + \ln x)\Big|_1^2 = 4 + \ln2 - 1 = 3 + \ln2.$

Cum $2 < e$, $\ln2 < 1$, deci $\mathcal A < 4$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$(1, 0)$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \frac25$
I.6	$AB = 5$
II.1.c	$a = 3$
II.2.c	$x \in \{5, 6\}$
III.1.b	$1$
III.1.c	$y = x - 1$
III.2.c	$3 + \ln2 < 4$

Ce merită reținut din varianta 3

• Inversa unei matrice cu elemente întregi are elemente întregi când $\det = \pm1$ (aici, impus de un element $\pm1$ din adjunctă).
• Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză.
• Numerele naturale de o cifră includ și $0$ — 10 cazuri posibile.
• Estimări cu $\ln$: $\ln2 < \ln e = 1$.