Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_tehnologic , sesiunea de rezervă, varianta 3 . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Media geometrică a numerelor 16 16 16 9 9 9 12 12 12
m g = 16 ⋅ 9 = 4 ⋅ 3 = 12. m_g = \sqrt{16\cdot9} = 4\cdot3 = 12. m g = 16 ⋅ 9 = 4 ⋅ 3 = 12.
Barem: 3p + 2p.
2. m m m f ( 2 ) = 0 f(2) = 0 f ( 2 ) = 0 f ( x ) = x + m f(x) = x + m f ( x ) = x + m
2 + m = 0 ⟺ m = − 2 2 + m = 0 \iff m = -2 2 + m = 0 ⟺ m = − 2 Barem: 2p + 3p.
3. Ecuația 3 2 x + 1 = 3 5 3^{2x+1} = 3^5 3 2 x + 1 = 3 5
2 x + 1 = 5 ⟺ x = 2 2x + 1 = 5 \iff x = 2 2 x + 1 = 5 ⟺ x = 2 Barem: 3p + 2p.
4. Probabilitatea ca un număr din { 1 , … , 9 } \{1, \dots, 9\} { 1 , … , 9 }
Favorabile: 2 , 4 , 6 , 8 2, 4, 6, 8 2 , 4 , 6 , 8
p = 4 9 . p = \frac49. p = 9 4 .
Barem: 1p + 2p + 2p.
5. Mijlocul segmentului A B AB A B A ( − 1 , 3 ) A(-1,3) A ( − 1 , 3 ) B ( 5 , 3 ) B(5,3) B ( 5 , 3 )
x M = − 1 + 5 2 = 2 x_M = \frac{-1 + 5}{2} = 2 x M = 2 − 1 + 5 = 2 y M = 3 y_M = 3 y M = 3 Răspuns: M ( 2 , 3 ) M(2, 3) M ( 2 , 3 ) Barem: 3p + 2p.
6. sin x = 1 2 \sin x = \frac12 sin x = 2 1 x ∈ ( 0 , π 2 ) x \in \left(0, \frac\pi2\right) x ∈ ( 0 , 2 π ) cos x = 3 2 \cos x = \frac{\sqrt3}{2} cos x = 2 3
sin 2 x = 1 − 3 4 = 1 4 , \sin^2 x = 1 - \frac34 = \frac14, sin 2 x = 1 − 4 3 = 4 1 ,
iar în cadranul I sin x > 0 \sin x > 0 sin x > 0 sin x = 1 2 \sin x = \frac12 sin x = 2 1 Barem: 3p + 2p.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. A = ( 1 3 2 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix} A = ( 1 2 3 1 ) B = ( − 4 0 0 4 ) B = \begin{pmatrix} -4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} B = ( − 4 0 0 4 ) C ( x ) = ( x 1 2 3 ) C(x) = \begin{pmatrix} x & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix} C ( x ) = ( x 2 1 3 )
a) det A = − 5 \det A = -5 det A = − 5
det A = 1 − 6 = − 5. \det A = 1 - 6 = -5. det A = 1 − 6 = − 5.
Barem: 3p + 2p.
b) det ( A + C ( − 1 ) ) = det B \det(A + C(-1)) = \det B det ( A + C ( − 1 )) = det B
A + C ( − 1 ) = ( 0 4 4 4 ) , det = 0 − 16 = − 16 ; det B = − 16. A + C(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 4 & 4\end{pmatrix}, \quad \det = 0 - 16 = -16; \qquad \det B = -16. A + C ( − 1 ) = ( 0 4 4 4 ) , det = 0 − 16 = − 16 ; det B = − 16.
Barem: 3p + 2p.
c) x x x C ( x ) ⋅ A − A ⋅ C ( x ) = B C(x)\cdot A - A\cdot C(x) = B C ( x ) ⋅ A − A ⋅ C ( x ) = B
C ( x ) ⋅ A = ( x + 2 3 x + 1 8 9 ) , A ⋅ C ( x ) = ( x + 6 10 2 x + 2 5 ) , C(x)\cdot A = \begin{pmatrix} x + 2 & 3x + 1\\ 8 & 9\end{pmatrix}, \qquad A\cdot C(x) = \begin{pmatrix} x + 6 & 10\\ 2x + 2 & 5\end{pmatrix}, C ( x ) ⋅ A = ( x + 2 8 3 x + 1 9 ) , A ⋅ C ( x ) = ( x + 6 2 x + 2 10 5 ) ,
C ( x ) A − A C ( x ) = ( − 4 3 x − 9 6 − 2 x 4 ) . C(x)A - AC(x) = \begin{pmatrix} -4 & 3x - 9\\ 6 - 2x & 4\end{pmatrix}. C ( x ) A − A C ( x ) = ( − 4 6 − 2 x 3 x − 9 4 ) .
Egalitatea cu B B B 3 x − 9 = 0 3x - 9 = 0 3 x − 9 = 0 6 − 2 x = 0 6 - 2x = 0 6 − 2 x = 0 x = 3 x = 3 x = 3
Răspuns: x = 3 x = 3 x = 3 Barem: 3p + 2p.
2. f = X 3 + 2 X 2 − 6 X + 3 f = X^3 + 2X^2 - 6X + 3 f = X 3 + 2 X 2 − 6 X + 3
a) f ( 1 ) = 0 f(1) = 0 f ( 1 ) = 0
1 + 2 − 6 + 3 = 0. 1 + 2 - 6 + 3 = 0. 1 + 2 − 6 + 3 = 0.
Barem: 3p + 2p.
b) Câtul și restul împărțirii la X 2 + 3 X − 3 X^2 + 3X - 3 X 2 + 3 X − 3
( X − 1 ) ( X 2 + 3 X − 3 ) = X 3 + 3 X 2 − 3 X − X 2 − 3 X + 3 = X 3 + 2 X 2 − 6 X + 3 = f (X - 1)(X^2 + 3X - 3) = X^3 + 3X^2 - 3X - X^2 - 3X + 3 = X^3 + 2X^2 - 6X + 3 = f ( X − 1 ) ( X 2 + 3 X − 3 ) = X 3 + 3 X 2 − 3 X − X 2 − 3 X + 3 = X 3 + 2 X 2 − 6 X + 3 = f
Răspuns: câtul X − 1 X - 1 X − 1 0 0 0 Barem: 3p + 2p.
c) x 1 + x 2 + x 3 + 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 0 x_1 + x_2 + x_3 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 1 1 + x 2 1 + x 3 1 = 0
Viète: ∑ x i = − 2 \sum x_i = -2 ∑ x i = − 2 ∑ x i x j = − 6 \sum x_ix_j = -6 ∑ x i x j = − 6 x 1 x 2 x 3 = − 3 x_1x_2x_3 = -3 x 1 x 2 x 3 = − 3
∑ 1 x i = ∑ x i x j x 1 x 2 x 3 = − 6 − 3 = 2 , \sum\frac{1}{x_i} = \frac{\sum x_ix_j}{x_1x_2x_3} = \frac{-6}{-3} = 2, ∑ x i 1 = x 1 x 2 x 3 ∑ x i x j = − 3 − 6 = 2 ,
deci suma cerută este − 2 + 2 = 0 -2 + 2 = 0 − 2 + 2 = 0 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p + 2p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 f(x) = x^3 - 3x + 1 f ( x ) = x 3 − 3 x + 1
a) f ′ ( x ) = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) f'(x) = 3(x-1)(x+1) f ′ ( x ) = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 )
f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) . f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1). f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) .
Barem: 3p + 2p.
b) lim x → + ∞ f ( x ) − x 3 x \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x) - x^3}{x} x → + ∞ lim x f ( x ) − x 3
lim x → + ∞ − 3 x + 1 x = − 3. \lim_{x\to+\infty}\frac{-3x + 1}{x} = -3. lim x → + ∞ x − 3 x + 1 = − 3.
Barem: 2p + 3p.
c) − 1 ≤ f ( x ) ≤ 3 -1 \le f(x) \le 3 − 1 ≤ f ( x ) ≤ 3 x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1, 1] x ∈ [ − 1 , 1 ]
Pe [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [ − 1 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x) \le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f f ( 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( − 1 ) f(1) \le f(x) \le f(-1) f ( 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( − 1 )
f ( 1 ) = 1 − 3 + 1 = − 1 f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 f ( 1 ) = 1 − 3 + 1 = − 1 f ( − 1 ) = − 1 + 3 + 1 = 3 f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 f ( − 1 ) = − 1 + 3 + 1 = 3 ■ \blacksquare ■ Barem: 2p + 3p.
2. f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x + 1 x f(x) = 2x + \frac1x f ( x ) = 2 x + x 1
a) ∫ 2 3 ( f ( x ) − 1 x ) d x = 5 \displaystyle\int_2^3\left(f(x) - \frac1x\right)dx = 5 ∫ 2 3 ( f ( x ) − x 1 ) d x = 5
∫ 2 3 2 x d x = x 2 ∣ 2 3 = 9 − 4 = 5. \int_2^3 2x\,dx = x^2\Big|_2^3 = 9 - 4 = 5. ∫ 2 3 2 x d x = x 2 2 3 = 9 − 4 = 5.
Barem: 3p + 2p.
b) F ( x ) = x 2 + ln x + 2015 F(x) = x^2 + \ln x + 2015 F ( x ) = x 2 + ln x + 2015 f f f
F ′ ( x ) = 2 x + 1 x = f ( x ) . F'(x) = 2x + \frac1x = f(x). F ′ ( x ) = 2 x + x 1 = f ( x ) .
Barem: 2p + 3p.
c) Volumul pentru g ( x ) = f ( x ) − 2 x = 1 x g(x) = f(x) - 2x = \frac1x g ( x ) = f ( x ) − 2 x = x 1 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ]
V = π ∫ 1 2 1 x 2 d x = π ( − 1 x ) ∣ 1 2 = π ( − 1 2 + 1 ) = π 2 . V = \pi\int_1^2\frac{1}{x^2}\,dx = \pi\left(-\frac1x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(-\frac12 + 1\right) = \frac\pi2. V = π ∫ 1 2 x 2 1 d x = π ( − x 1 ) 1 2 = π ( − 2 1 + 1 ) = 2 π .
Barem: 3p + 2p.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.2 m = − 2 m = -2 m = − 2 I.3 x = 2 x = 2 x = 2 I.4 p = 4 9 p = \frac49 p = 9 4 I.5 M ( 2 , 3 ) M(2, 3) M ( 2 , 3 ) II.1.c x = 3 x = 3 x = 3 II.2.b cât X − 1 X - 1 X − 1 0 0 0 III.1.b − 3 -3 − 3 III.2.c π 2 \frac\pi2 2 π
Ce merită reținut din varianta 3
Media geometrică : m g = a b m_g = \sqrt{ab} m g = ab ∑ 1 x i = σ 2 σ 3 \sum\frac{1}{x_i} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3} ∑ x i 1 = σ 3 σ 2 Încadrarea unei funcții monotone pe un interval: valorile de la capete.A B − B A AB - BA A B − B A