Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2015 la Matematică M_tehnologic . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Media aritmetică a numerelor a = 2 ( 5 − 5 ) a = 2(5 - \sqrt5) a = 2 ( 5 − 5 ) b = 2 5 b = 2\sqrt5 b = 2 5
m a = 10 − 2 5 + 2 5 2 = 10 2 = 5. m_a = \frac{10 - 2\sqrt5 + 2\sqrt5}{2} = \frac{10}{2} = 5. m a = 2 10 − 2 5 + 2 5 = 2 10 = 5.
Barem: 3p + 2p.
2. Abscisele punctelor de intersecție ale graficului lui f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 f(x) = x^2 - 4x + 3 f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 O x Ox O x
x 2 − 4 x + 3 = 0 ⟺ ( x − 1 ) ( x − 3 ) = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x-1)(x-3) = 0 x 2 − 4 x + 3 = 0 ⟺ ( x − 1 ) ( x − 3 ) = 0
Răspuns: x 1 = 1 x_1 = 1 x 1 = 1 x 2 = 3 x_2 = 3 x 2 = 3 Barem: 3p + 2p.
3. Ecuația log 5 ( 2 x − 1 ) − log 5 3 = 0 \log_5(2x - 1) - \log_5 3 = 0 log 5 ( 2 x − 1 ) − log 5 3 = 0
log 5 2 x − 1 3 = 0 ⟺ 2 x − 1 3 = 1 ⟺ x = 2 , \log_5\frac{2x-1}{3} = 0 \iff \frac{2x-1}{3} = 1 \iff x = 2, log 5 3 2 x − 1 = 0 ⟺ 3 2 x − 1 = 1 ⟺ x = 2 ,
care verifică (2 x − 1 = 3 > 0 2x - 1 = 3 > 0 2 x − 1 = 3 > 0 Barem: 3p + 2p.
4. Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să fie multiplu de 3
Multiplii lui 3 de o cifră: 0 , 3 , 6 , 9 0, 3, 6, 9 0 , 3 , 6 , 9
p = 4 10 = 2 5 . p = \frac{4}{10} = \frac25. p = 10 4 = 5 2 .
(Atenție: 0 0 0 Barem: 2p + 1p + 2p.
5. Mijlocul segmentului A B AB A B A ( 2 , 4 ) A(2,4) A ( 2 , 4 ) B ( 6 , 4 ) B(6,4) B ( 6 , 4 )
x M = 4 x_M = 4 x M = 4 y M = 4 y_M = 4 y M = 4 Răspuns: M ( 4 , 4 ) M(4, 4) M ( 4 , 4 ) Barem: 3p + 2p.
6. sin ( a + b ) = 63 65 \sin(a + b) = \frac{63}{65} sin ( a + b ) = 65 63 a , b ∈ ( 0 , π 2 ) a, b \in \left(0, \frac\pi2\right) a , b ∈ ( 0 , 2 π ) sin a = 3 5 \sin a = \frac35 sin a = 5 3 sin b = 12 13 \sin b = \frac{12}{13} sin b = 13 12
În cadranul I cosinusurile sunt pozitive: cos a = 4 5 \cos a = \frac45 cos a = 5 4 cos b = 5 13 \cos b = \frac{5}{13} cos b = 13 5
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b = 3 5 ⋅ 5 13 + 4 5 ⋅ 12 13 = 15 + 48 65 = 63 65 . \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b = \frac35\cdot\frac{5}{13} + \frac45\cdot\frac{12}{13} = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}. sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b = 5 3 ⋅ 13 5 + 5 4 ⋅ 13 12 = 65 15 + 48 = 65 63 .
Barem: 2p + 3p.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. A = ( 2 − 2 1 − 1 ) A = \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix} A = ( 2 1 − 2 − 1 )
a) det A \det A det A
det A = − 2 + 2 = 0. \det A = -2 + 2 = 0. det A = − 2 + 2 = 0.
Barem: 3p + 2p.
b) p p p A ⋅ A = p A A\cdot A = pA A ⋅ A = p A
A ⋅ A = ( 4 − 2 − 4 + 2 2 − 1 − 2 + 1 ) = ( 2 − 2 1 − 1 ) = A , A\cdot A = \begin{pmatrix} 4 - 2 & -4 + 2\\ 2 - 1 & -2 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix} = A, A ⋅ A = ( 4 − 2 2 − 1 − 4 + 2 − 2 + 1 ) = ( 2 1 − 2 − 1 ) = A ,
deci A = p A A = pA A = p A A ≠ O 2 A \ne O_2 A = O 2 p = 1 p = 1 p = 1 Barem: 3p + 2p.
c) B = ( 0 b b 0 ) B = \begin{pmatrix} 0 & b\\ b & 0\end{pmatrix} B = ( 0 b b 0 ) det ( A + B ) = 0 \det(A + B) = 0 det ( A + B ) = 0
A + B = ( 2 b − 2 b + 1 − 1 ) , det ( A + B ) = − 2 − ( b − 2 ) ( b + 1 ) = − b 2 + b . A + B = \begin{pmatrix} 2 & b - 2\\ b + 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad \det(A + B) = -2 - (b-2)(b+1) = -b^2 + b. A + B = ( 2 b + 1 b − 2 − 1 ) , det ( A + B ) = − 2 − ( b − 2 ) ( b + 1 ) = − b 2 + b .
− b 2 + b = 0 ⟺ b ∈ { 0 , 1 } -b^2 + b = 0 \iff b \in \{0, 1\} − b 2 + b = 0 ⟺ b ∈ { 0 , 1 }
Răspuns: B = O 2 B = O_2 B = O 2 B = ( 0 1 1 0 ) B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} B = ( 0 1 1 0 ) Barem: 2p + 3p.
2. x ∘ y = − x y + x + y x\circ y = -xy + x + y x ∘ y = − x y + x + y
a) 1 ∘ 2015 1\circ2015 1 ∘ 2015
− 2015 + 1 + 2015 = 1. -2015 + 1 + 2015 = 1. − 2015 + 1 + 2015 = 1.
Barem: 3p + 2p.
b) x ∘ y = − ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1 x\circ y = -(x-1)(y-1) + 1 x ∘ y = − ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1
− x y + x + y = − x ( y − 1 ) + ( y − 1 ) + 1 = − ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1. -xy + x + y = -x(y - 1) + (y - 1) + 1 = -(x-1)(y-1) + 1. − x y + x + y = − x ( y − 1 ) + ( y − 1 ) + 1 = − ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1.
Barem: 3p + 2p.
c) 3 x ∘ 5 x = 1 3^x\circ5^x = 1 3 x ∘ 5 x = 1
− ( 3 x − 1 ) ( 5 x − 1 ) + 1 = 1 ⟺ ( 3 x − 1 ) ( 5 x − 1 ) = 0. -(3^x - 1)(5^x - 1) + 1 = 1 \iff (3^x - 1)(5^x - 1) = 0. − ( 3 x − 1 ) ( 5 x − 1 ) + 1 = 1 ⟺ ( 3 x − 1 ) ( 5 x − 1 ) = 0.
3 x = 1 3^x = 1 3 x = 1 5 x = 1 5^x = 1 5 x = 1 x = 0 x = 0 x = 0
Răspuns: x = 0 x = 0 x = 0 Barem: 2p + 3p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. f ( x ) = 3 x x 2 + 1 f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1} f ( x ) = x 2 + 1 3 x
a) lim x → 1 f ( x ) \lim\limits_{x\to1} f(x) x → 1 lim f ( x )
f f f f ( 1 ) = 3 2 f(1) = \dfrac32 f ( 1 ) = 2 3 Barem: 2p + 3p.
b) f ′ ( x ) = − 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) 2 f'(x) = -\dfrac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2} f ′ ( x ) = − ( x 2 + 1 ) 2 3 ( x − 1 ) ( x + 1 )
f ′ ( x ) = 3 ( x 2 + 1 ) − 3 x ⋅ 2 x ( x 2 + 1 ) 2 = 3 − 3 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 = − 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) 2 . f'(x) = \frac{3(x^2 + 1) - 3x\cdot2x}{(x^2+1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2} = -\frac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}. f ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 3 ( x 2 + 1 ) − 3 x ⋅ 2 x = ( x 2 + 1 ) 2 3 − 3 x 2 = − ( x 2 + 1 ) 2 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) .
Barem: 2p + 3p.
c) Intervalele de monotonie
f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = ± 1 f'(x) = 0 \iff x = \pm1 f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = ± 1 f ′ f' f ′ 3 − 3 x 2 3 - 3x^2 3 − 3 x 2
x x x ( − ∞ , − 1 ] (-\infty, -1] ( − ∞ , − 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [ − 1 , 1 ] [ 1 , + ∞ ) [1, +\infty) [ 1 , + ∞ ) f ′ f' f ′ − - − + + + − - − f f f descrescătoare crescătoare descrescătoare
Barem: 2p + 1p + 1p + 1p.
2. f ( x ) = x 5 + x f(x) = x^5 + x f ( x ) = x 5 + x
a) ∫ − 1 1 x 5 d x \displaystyle\int_{-1}^1 x^5\,dx ∫ − 1 1 x 5 d x
x 6 6 ∣ − 1 1 = 1 6 − 1 6 = 0. \frac{x^6}{6}\Big|_{-1}^1 = \frac16 - \frac16 = 0. 6 x 6 − 1 1 = 6 1 − 6 1 = 0.
(Funcție impară pe interval simetric.) Barem: 3p + 2p.
b) ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 5 ) e x d x = 1 \displaystyle\int_0^1(f(x) - x^5)e^x\,dx = 1 ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 5 ) e x d x = 1
∫ 0 1 x e x d x = x e x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1. \int_0^1 xe^x\,dx = xe^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1. ∫ 0 1 x e x d x = x e x 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1.
Barem: 3p + 2p.
c) Volumul pentru g ( x ) = f ( x ) − x x 3 = x 2 g(x) = \dfrac{f(x) - x}{x^3} = x^2 g ( x ) = x 3 f ( x ) − x = x 2 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ]
V = π ∫ 1 2 x 4 d x = π x 5 5 ∣ 1 2 = 31 π 5 . V = \pi\int_1^2 x^4\,dx = \pi\frac{x^5}{5}\Big|_1^2 = \frac{31\pi}{5}. V = π ∫ 1 2 x 4 d x = π 5 x 5 1 2 = 5 31 π .
Barem: 3p + 2p.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.1 5 5 5 I.2 1 1 1 3 3 3 I.3 x = 2 x = 2 x = 2 I.4 p = 2 5 p = \frac25 p = 5 2 I.5 M ( 4 , 4 ) M(4, 4) M ( 4 , 4 ) II.1.a 0 0 0 II.1.b p = 1 p = 1 p = 1 II.1.c b ∈ { 0 , 1 } b \in \{0, 1\} b ∈ { 0 , 1 } II.2.a 1 1 1 II.2.c x = 0 x = 0 x = 0 III.1.a 3 2 \frac32 2 3 III.2.a 0 0 0 III.2.c 31 π 5 \frac{31\pi}{5} 5 31 π
Ce merită reținut din modelul 2015
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b sin 2 + cos 2 = 1 \sin^2 + \cos^2 = 1 sin 2 + cos 2 = 1 Legea − ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1 -(x-1)(y-1) + 1 − ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1 : ecuația u ∘ v = 1 u\circ v = 1 u ∘ v = 1 ( u − 1 ) ( v − 1 ) = 0 (u-1)(v-1) = 0 ( u − 1 ) ( v − 1 ) = 0 Integrala unei funcții impare pe [ − a , a ] [-a, a] [ − a , a ] 0 0 0 Matrice idempotentă (A 2 = A A^2 = A A 2 = A 0 0 0